高考数学一轮复习单元检测十二概率随机变量及其分布提升卷单元检测理含解析新人教A版

/09/9/单元检测十二概率、随机变量及其分布(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的点数分别为X，Y，则log2XY＝1的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(5,36)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,2)答案C解析由题意知X，Y应满足Y＝2X，所以满足题意的有(1,2)，(2,4)，(3,6)三种，所以概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).2．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为()A.eq\f(1,32)B.eq\f(1,64)C.eq\f(3,32)D.eq\f(3,64)答案D解析从中有放回地取2次，所取号码的情况共有8×8＝64(种)，其中编号和不小于15的有3种，分别是(7,8)，(8,7)，(8,8)，共3种．由古典概型概率公式可得所求概率为P＝eq\f(3,64).3．已知ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.eq\f(π,4)B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8)D．1－eq\f(π,8)答案B解析根据几何概型得，取到的点到O的距离大于1的概率P＝eq\f(d,D)＝eq\f(圆外部分的面积,矩形的面积)＝eq\f(2－\f(π,2),2×1)＝1－eq\f(π,4).4．欧阳修《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．卖油翁的技艺让人叹为观止．设铜钱是直径为4cm的圆，它中间有边长为1cm的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴(不计油滴的大小)正好落入孔中的概率为()A.eq\f(1,4π)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,16π)D.eq\f(1,16)答案A解析由题意得，所求的概率为eq\f(12,π×22)＝eq\f(1,4π)，故选A.5．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,10)答案C解析一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为：P＝eq\f(1,10)＋eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,5).6.如图所示，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O作为起点作射线OC，OD，则使∠AOC＋∠BOD＜45°的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,16)答案C解析设∠AOC＝x°，∠BOD＝y°，把(x，y)看作坐标平面上的点，则试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤90,0≤y≤90}，若事件A表示∠AOC＋∠BOD＜45°，则其所构成的区域为A＝{(x，y)|x＋y<45,0≤x≤90,0≤y≤90}，即图中的阴影部分，故S阴影＝eq\f(1,2)×45×45.由几何概型的概率公式，得所求概率P(A)＝eq\f(\f(1,2)×45×45,90×90)＝eq\f(1,8).7．有一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金金额，其余商标牌的背面是一张笑脸，若翻到笑脸，则不得奖，参加这个游戏的人有三次翻牌的机会．某人前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么此人第三次翻牌获奖的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,5)D.eq\f(3,20)答案B解析因为20个商标有5个中奖，翻了两个都中奖，所以还剩18个，其中还有3个会中奖，所以这位观众第三次翻牌获奖的概率是eq\f(3,18)＝eq\f(1,6).故选B.8．(2018·福建省厦门外国语学校模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则其速度超过120的概率为()A．0.05B．0.1C．0.15D．0.2答案C解析由题意可得，μ＝100，且P(80＜ξ＜120)＝0.7，则P(ξ＜80或ξ＞120)＝1－P(80＜ξ＜120)＝1－0.7＝0.3.∴P(ξ＞120)＝eq\f(1,2)P(ξ＜80或ξ＞120)＝0.15.则他速度超过120的概率为0.15.9．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.4B．0.6C．0.75D．0.8答案D解析设“某一天的空气质量为优良”为事件A,“随后一天的空气质量为优良”为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，∴P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8.10．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)等于()X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)A.2B．3C．4D．5答案C解析p＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)，E(X)＝0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋a×eq\f(1,3)＝2，则a＝3，∴D(X)＝(0－2)2×eq\f(1,6)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝1，∴D(2X－3)＝22D(X)＝4.11．(2018·黑龙江省哈尔滨市第六中学考试)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为eq\f(2,3)，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(4,5)答案B解析由题意，甲获得冠军的概率为eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(20,27)，其中比赛进行了3局的概率为eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，∴所求概率为eq\f(8,27)÷eq\f(20,27)＝eq\f(2,5).12．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))满足：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，第n次摸到红球，,1，第n次摸到白球，))如果Sn为数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和，那么S7＝3的概率为()A．Ceq\o\al(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5 B．Ceq\o\al(2,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5C．Ceq\o\al(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5 D．Ceq\o\al(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5答案B解析据题意可知7次中有5次摸到白球，2次摸到红球，由独立重复试验即可确定其概率，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若某人在打靶时连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的对立事件是______________．答案两次都未中靶14．若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，则点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．(骰子为正方体，且六个面分别标有数字1,2，…，6)答案eq\f(2,9)解析由题意得，基本事件总数为36，点P落在圆内包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8个，由古典概型概率公式可得所求概率为eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).15．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(c,k?k＋1?)，k＝1,2,3，c为常数，则P(0.5<ξ<2.5)＝________.答案eq\f(8,9)解析随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(c,k?k＋1?)，k＝1,2,3，∴eq\f(c,2)＋eq\f(c,6)＋eq\f(c,12)＝1，即eq\f(6c＋2c＋c,12)＝1，解得c＝eq\f(4,3)，∴P(0.5＜ξ＜2.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(c,2)＋eq\f(c,6)＝eq\f(4,6)×eq\f(4,3)＝eq\f(8,9).16．某篮球运动员投中篮球的概率为eq\f(2,3)，则该运动员“投篮3次至多投中1次”的概率是________．(结果用分数表示)答案eq\f(7,27)解析“投篮3次至多投中1次”包括只投中一次，和全部没有投中，故“投篮3次至多投中1次”的概率是Ceq\o\al(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(3,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(7,27).三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是eq\f(1,3)，eq\f(2,5)，eq\f(1,2).(1)现3人各投篮1次，求3人至少一人投进的概率；(2)用ξ表示乙投篮4次的进球数，求随机变量ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ)．解(1)记“甲投篮1次投进”为事件A，“乙投篮1次投进”为事件B，“丙投篮1次投进”为事件C，“至少一人投进”为事件D.P(D)＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝eq\f(4,5).(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,5)))，所以，P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))4－k(k＝0,1,2,3,4)，故随机变量ξ的分布列为ξ01234Peq\f(81,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(96,625)eq\f(16,625)E(ξ)＝0×eq\f(81,625)＋1×eq\f(216,625)＋2×eq\f(216,625)＋3×eq\f(96,625)＋4×eq\f(16,625)＝eq\f(8,5)，D(ξ)＝eq\f(24,25).18．(12分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x表示．(1)若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x的值及乙组同学投篮命中次数的方差；(2)在(1)的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10的同学中，各随机选取1名，求这2名同学的投篮命中次数之和为16的概率．解(1)依题意得eq\f(x＋8×2＋9＋10,5)＝eq\f(7＋8＋9＋11×2,5)－1，解得x＝6，eq\x\to(x)乙＝eq\f(41,5)，s2＝eq\f(1,5)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,5)－6))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,5)－8))2×2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,5)－9))2＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,5)－10))2))＝1.76.(2)记甲组投篮命中次数低于10次的同学为A1，A2，A3，他们的命中次数分别为9,8,7.乙组投篮命中次数低于10次的同学为B1，B2，B3，B4，他们的命中次数分别为6,8,8,9.依题意，不同的选取方法有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，共12种．设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件C，其中恰含有(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B4)，共3种．∴P(C)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).19．(13分)(2018·武汉重点中学模拟)某校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机时间(每月用手机时间总和)的长短将学生分为三类：第一类的时间区间在[0,30)，第二类的时间区间在[30,60)，第三类的时间区间在[60,720](单位：小时)，并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅导．现对该校二年级1014名学生进行调查，恰有14人属于第三类，这14名学生被学校带去政治学习．由剩下的1000名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图.(1)求这1000名学生每月用手机时间的平均数；(2)利用分层抽样的方法从1000名选出10名学生代表，若从该10名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手机时间属于不同类型的概率；(3)若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续10个月，每个月从这1000名学生中随机抽取1名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设X为获奖学生人数，求X的均值E(X)与方差D(X)．解(1)平均数为5×0.010×10＋15×0.030×10＋25×0.040×10＋35×0.010×10＋45×0.006×10＋55×0.004×10＝23.4(小时)．(2)由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生，其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，则从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45).(3)由题可知，这1000名学生中第一类学生占80%，则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数X～B(10,0.8)，其均值E(X)＝np＝10×0.8＝8，方差D(X)＝np(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6.20．(13分)现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.月收入(单位：百元)[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]频数510151055赞成人数4812521(1)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成a＝__________c＝__________不赞成b＝__________d＝__________合计(2)若对在[15,25)，[25,35)的被调查的人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及均值．附：K2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?).P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)2×2列联表如下：月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成a＝3c＝2932不赞成b＝7d＝1118合计104050因为K2≈6.2