新教材高中数学第二章平面解析几何章末总结学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE11第二章平面解析几何章末总结体系构建题型整合题型1直线的方程例1已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B（O为坐标原点）.（1）当△ABO的面积为4时,求直线l的一般式方程;（2）当|MA|⋅|MB|取最小值时,求直线l的一般式方程.答案：（1）由题意,设直线l的方程为xa则S△ABO=因为直线l过点M（2,1）,所以2a+1所以直线l的方程为x4+y（2）设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k≠0),则A（-1k所以|MA|=所以|MA|⋅|MB|=1当且仅当k2所以当|MA|⋅|MB|取最小值时,k=-1（正值舍去）,此时直线方程为y-1=-x+2,即x+y-3=0.方法归纳求直线方程时常用以下两种方法：（1）直接法：直接选取适当的直线方程的形式,写出结果．（2）待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程,再由直线满足的另一个条件求出待定系数,从而求得方程．迁移应用1.（2021山东青岛二中期末）已知定点A(3,1).（1）若直线l经过点A且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l的方程;（2）若直线l经过点A且坐标原点到直线l的距离等于3,求直线l的方程.答案：（1）设与直线2x+y-5=0垂直的直线的方程为x-2y+a=0,把A(3,1)代入,得3-2+a=0,解得a=-1,所以直线l的方程为x-2y-1=0.（2）当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,原点O(0,0)到直线l的距离d=|-3k+1|k2所以直线l的方程为y-1=-43(x-3)综上,直线l的方程为x=3或4x+3y-15=0.题型2直线与圆例2（2020山东烟台高二期中）已知圆C1（1）在以下两个问题中任选一个作答.①已知不过原点的直线l与圆C1相切,且直线在x轴、y轴上的截距相等,求直线l②从圆外一点P(2,1)向圆引切线,求切线方程;（2）若圆C2:x2+y2解析：（1）圆C1的方程可变形为(x+1)2答案：（1）选择①：∵直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零,∴直线l的斜率为-1.∴设直线l的方程y=-x+b,又直线l与圆(x+1)∴|-1+2-b|2=3,整理得b=1±32,∴所求直线l的方程为选择②：当过P的直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,此时圆C1所以直线x=2是圆C的切线;当过P的直线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,由|-k-2+1-2k|k得k=43,∴切线方程为43综上所述,切线方程为4x-3y-5=0或x=2.（2）联立得得{得{∴|DE|==(方法归纳（1）判断直线与圆的位置关系以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性质简化解题过程.直线和圆相切时,可以利用圆与直线联立的方程组有一组实数解,或者利用圆心到直线的距离等于圆的半径求得参数,有时利用后面方法计算,运算量较小.（2）解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征,利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系,充分利用几何图形的直观性来分析问题.迁移应用2.（2021北京昌平一中高二期中）已知圆C的圆心在x轴上,且经过点A(-1,0),B(1,2).（1）求线段AB的垂直平分线的方程;（2）求圆C的标准方程;（3）已知直线l：y=kx+1与圆C相交于M、N两点,且|MN|=22,求直线l答案：（1）设AB的中点为D,则D(0,1)．由圆的性质,得CD⊥AB,所以KCD×K所以线段AB的垂直平分线的方程是y=-x+1.（2）设圆C的标准方程为(x-a)2+y2由圆的性质,知圆心C(a,0)在直线CD上,所以圆心为C(1,0),r=|CA|=2,所以圆C的标准方程为(x-1)2（3）设F为MN的中点,则线段CF⊥l,|FM|=|FN|=2则圆心C到直线l的距离d=|CF|=故d=|k×1+1|k2+1=2,解得题型3圆锥曲线的定义与方程例3（1）（2020广东实验中学高二月考）已知椭圆x24+y2b2=1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1A.1B.2C.3D.3（2）过双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左焦点F作斜率为3的直线,恰好与圆xA.x2-C.x2-答案：（1）C（2）B解析：（1）因为0<b<2,所以椭圆的焦点在x轴上,可知a=2,因为过F1的直线交椭圆于A,B两点,所以由椭圆的定义知,|B所以|BF当AB⊥x轴时,|AB|最小,|BF此时|AB|=2b2a=（2）设F(-c,0),则直线的方程为y=3(x+c),即因为直线3x-y+3c=0所以圆心(0,0)到直线3x-y+3则|AF|=a+c=3解得c=2,所以a=3,则b=c2-a方法归纳（1）研究有关两点的距离的最值问题时,常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,再结合几何图形,利用几何意义去解决最值的有关问题.（2）确定双曲线或椭圆的标准方程需要一个“定位”条件,两个“定量”条件,“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上,“定量”是指确定a,b的值,常用待定系数法求得．迁移应用3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距为2,右顶点为A,过原点与x轴不重合的直线交C于M,N两点,线段AM的中点为A.x24C.x29答案：C解析：由题意知c=1,设点M(x则N(-因为直线BN经过点F,所以BF∥因为F(1,0),所以BF=(1-x0解得a=3,所以b2=8,所以椭圆的方程为题型4圆锥曲线的性质例4（1）（2020山东实验中学高二月考）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),A.y=±47xB.y=±2xC.y=（2）（2020四川成都高二期中）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F,短轴的上端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A.（0,32]B.（0,34]C.[32答案：（1）A（2）A解析：（1）设直线PF2与圆E:(x-c因为△PF1F2是以圆O的直径又因为圆E与直线PF2的切点为M,所以又|F2E||则|PF2|=2a+所以ba=4（2）取椭圆的左焦点F',连接AF'故四边形AFBF'为平行四边形,|AF|+|BF|=|AF|+|AF由点M(0,b)到l的距离d=|-4b|3所以e=ca方法归纳（1）圆锥曲线的性质问题的常见具体类型：①已知基本量求离心率e或求离心率e的取值范围;②已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围;③已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质．（2）解圆锥曲线的性质问题时,一般要灵活地应用圆锥曲线的定义、方程及其图形.迁移应用4.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是A.y=±3xB.y=±C.y=±2xD.y=±答案：C解析：设F1(-c,0),F2(c,0),易知△OM得|F1又因为|PF1|-|P所以4c2=16a25.若椭圆x2a2+y2bA.1617B.C.45D.答案：D解析：由题意知F1抛物线y2=2bx(b＞0)的焦点为F(b2,0),由题意可得c+b2c-b题型5直线与圆锥曲线的综合问题例5（2021山东聊城一中期中）已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B（1）求椭圆的方程;（2）求m的取值范围;（3）若直线l不过点M,试问直线MA,MB的斜率之和是不是定值,若是定值,求出定值;若不是定值,说明理由．答案：（1）设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0),因为e（2）将y=x+m代入x220+y25=1,消去y（3）是定值.设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,设A(x1则k=分子=(x1+m-1)(方法归纳直线与圆锥曲线的综合问题,主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题、定点与定值问题等,求解这类问题时,通常采用代数方法,将直线方程与圆锥曲线的方程联立,消去其中一个未知量,通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系,同时,还经常利用根与系数的关系,采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题．迁移应用6.设抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线l与C交于A,B两点,（1）求抛物线C和直线l的方程;（2）设点P是x轴上的一点,且△ABP的面积为82,求点P答案：（1）由题意得F(p2,0)设A(x1,y1),B(故x1所以|AB|=|AF|+|BF|=(x解得p=2,因此抛物线的方程是y2=4x,直线l的方程为（2）设P(a,0),点P到直线l的距离为d,则d=|a-0-1|又S△ABP=1所以|a-1|=4,解得a=5或a=-3,故点P的坐标为(5,0)或(-3,0).高考链接1.（2020课标Ⅲ文,8,5分）点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.1B.2C.3D.2答案：B解析：由y=k(x+1)可知直线过定点P(-1,0),设A(0,-1),当直线y=k(x+1)与AP垂直时,点A到直线y=k(x+1)距离最大,此时|AP|=22.（2020课标Ⅲ理,5,5分）设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C：y2=2px(p＞0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则A.(14C.(1,0)D.(2,0)答案：B解析：因为直线x=2与抛物线y2=2px(p＞0)交于D,E两点,且根据抛物线的对称性可以确定$\angleDOx=\angleEOx=\frac\mathrm{π}4$,所以D(2,2)（不妨设D在第一象限）,代入抛物线方程得4=4p,得p=1,所以焦点坐标为(13.（2020课标Ⅱ理,5,5分）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为()A.55B.C.355答案：B解析：因为圆上的点(2,1)在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆至少与一条坐标轴相交,不符合题意,所以圆心必在第一象限,设圆心的坐标为(a,a),则圆的半径为a,圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2.由题意可得(2-a)4.（2020课标Ⅲ理,11,5分）设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,A.1B.2C.4D.8答案：A解析：∵ca=5,∴c=5a,又S△PF5.（多选）（2020新高考Ⅰ,9,5分）已知曲线C：mxA.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n>0,则C是圆,其半径为nC.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±D.若m=0,n>0,则C是