新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式本章达标检测含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE11本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式x2≥2x的解集是 ()A.{x|x≥2} B.{x|x≤2}C.{x|0≤x≤2} D.{x|x≤0或x≥2}2.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是 ()A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N3.已知实数0<a<1,则以下不等关系正确的是 ()A.a2>1a>a>-a B.a>a2>1aC.1a>a>a2>-a D.1a>a2>a4.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)x-1a<0的解集为A.x|x<a或x>1C.x|x>5.关于x的不等式mx2+2mx-1<0恒成立的一个充分不必要条件是 ()A.-1<m<-12 B.-1<m≤0C.-2<m<1 D.-3<m<-6.已知a,b,c∈R,则下列说法中错误的是 ()A.a>b⇒ac2≥bc2B.ac>bc,c<0⇒aC.a3>b3,ab>0⇒1a<D.a2>b2,ab>0⇒1a<7.已知x>0,y>0,且1x+3+1y=12,则x+yA.5 B.6 C.7 D.88.设正数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2zA.0 B.1 C.94 二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为x|-12<A.a>0 B.b>0C.c>0 D.a+b+c>010.设a,b为非零实数,且a<b,则下列不等式恒成立的是()A.a2>ab B.a2<b2C.1ab2<1a2b 11.给出下列四个条件:①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<1x<1y.其中能成为x>y的充分条件的是 (A.① B.②C.③ D.④12.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是 ()A.a2+b2≥8B.1ab≥C.ab≥2D.1a+1b三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知a>b,a-1a>b-1b同时成立,则ab应满足的条件是14.若不等式ax2+5x+c>0的解集为x|13<x<12,则a=,c=.(15.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3,若对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是.

16.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使ax02+2x0+b=0成立,则a2四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)解下列不等式(组):(1)x(2)6-2x≤x2-3x<18.18.(本小题满分12分)已知a>0,b>0,且(a+b)ab=1.(1)求1a3+1(2)是否存在a,b,使得12a+13b的值为

19.(本小题满分12分)已知命题p:∀x∈R,x2+2m-3>0,命题q:∃x∈R,x2-2mx+m+2<0.(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;(3)若命题p,q至少有一个为真命题,求实数m的取值范围.20.(本小题满分12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB的长为3米,AD的长为2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.

21.(本小题满分12分)设y=ax2+(1-a)x+a-2.(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1(a∈R).22.(本小题满分12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销,预计在一年内的销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q=3x+1x+1(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品需再投入32万元,若该企业产能足够,生产的产品均能售出,且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的(1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式;(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大年利润为多少?

答案全解全析一、单项选择题1.D由x2≥2x得x(x-2)≥0,解得x≤0或x≥2,故选D.2.AM-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=a+122+34>0,∴3.C∵0<a<1,∴0<a2<1,1a>1,-1<-a0<a2<a,因此,1a>a>a2>-a.故选C4.A∵a<-1,∴a(x-a)x-1a<0⇔(x-a)·∵a<-1,∴1a>a,∴x>1a或x<a,∴原不等式的解集为x|x5.A当m=0时,原不等式可化为-1<0,显然成立;当m≠0时,原不等式恒成立需满足m<0,Δ=4综上可得原不等式恒成立的充要条件为-1<m≤0.结合选项,可知关于x的不等式mx2+2mx-1<0恒成立的一个充分不必要条件是-1<m<-12.故选A6.D对于A,c2≥0,则由a>b可得ac2≥bc2,故A中说法正确;对于B,由ac>bc,得ac-bc=a-bc>0,当c<0时,有a-b<0,则a对于C,∵a3>b3,ab>0,∴a3>b3两边同乘1a3b3,得到1b3>1a3,∴对于D,∵a2>b2,ab>0,∴a2>b2两边同乘1a2b2,得到1b2>1a2,不一定有1a<7.A解法一:由题意得,21x∴x+y=(x+3)+y-3=21x+3+1y=2+2yx+3=2yx+3≥22y=5,当且仅当2yx+3=2(x+3)y即x=1,y=4时等号成立,∴x+y的最小值为5.解法二:∵x>0,y>0,∴x+1>0,由1x+3+1y=12得∴x+y=x+2x+6x+1=x+2(x+1)+4x+1=x当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,∴x+y的最小值为5.8.B由题意得xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤14-3=1,当且仅当x=2y时,等号成立,此时z=2y2.故2x+1二、多项选择题9.BCD因为不等式ax2+bx+c>0的解集为x|-12<x<2,故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;易知2和-12是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,则有ca=2×-12=-1<0,-ba=2+-12=32>0,又a<0,故b>0,c>0,故B,C正确;因为ca=-1,所以a+c=0,10.CD对于A,当a=2,b=3时,a<b,但22<2×3,故A中不等式不一定成立;对于B,当a=-2,b=1时,a<b,但(-2)2>12,故B中不等式不一定成立;对于C,∵a<b,∴1ab2-1a2b=对于D,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·a+12b2+34b又a+12b2+34b2>0,∴a3<b3,11.AD①由xt2>yt2可知,t2>0,所以x>y,因此xt2>yt2是x>y的充分条件.②由xt>yt不能确定t的符号,因此不能确定x与y的大小,故xt>yt不是x>y的充分条件.③令x=-2,y=1,则x2>y2,但x<y,因此x2>y2不是x>y的充分条件.④由0<1x<1y可得,x>0,y>0,1x-1y<0,即y-xxy<0,所以y-x<0,所以x>y,因此0<1x故选AD.12.AB因为a>0,b>0,且a+b=4,所以a2+b2≥(a+b)22=8,即a2+b2≥8由ab≤a+b2=2得,0<ab≤4,所以1ab≥14,0<ab≤2恒成立,故由1a+1b=a+bab=4ab,0<ab≤4,得1a+1b≥三、填空题13.答案ab<-1或ab>0解析因为a-1a>b-1b,所以a-1a-又a>b,即a-b>0,所以ab+1ab>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab<-1或ab14.答案-6;-1解析由题意知a<0,且关于x的方程ax2+5x+c=0的两个根分别为13,12,由根与系数的关系得-15.答案{m|1≤m<19}解析①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1.若m=-5,则函数化为y=24x+3,其对任意实数x不可能恒大于0;若m=1,则y=3>0恒成立.②当m2+4m-5≠0时,根据题意得,m∴m<-5或m综上可知,1≤m<19.16.答案22解析已知不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立,当a=0时,2x+b≥0不一定成立,不符合题意;当a≠0时,依题意知a>0又存在x0∈R,使ax02+2x0+b=0∴4-4ab≥0⇒ab≤1,因此ab=1,且a>0,从而b>0.又∵a>b,∴a-b>0,∴a2+=(a-b)+2a-b≥当且仅当a-b=2,即a=6+22,b=6-四、解答题17.解析(1)由x得x<-2或所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}. (4分)(2)由6-2x≤x2-3x<18,得6即x2-x所以x所以-3<x≤-2或3≤x<6.所以原不等式的解集为{x|-3<x≤-2或3≤x<6}. (10分)18.解析∵a>0,b>0,且(a+b)ab=1,∴a+b=1ab, (1分又a+b≥2ab(当且仅当a=b时取等号), (2分)∴1ab≥2ab,∴ab≤12. (3(1)1a3+1b3≥21a3当且仅当a=b时取等号. (6分)(2)∵a>0,b>0,∴12a+13b≥212a·13b=26ab≥∵63<233,∴不存在a,b,使得12a+1319.解析(1)若命题p为真命题,则x2>3-2m对x∈R恒成立,因此3-2m<0,解得m>32因此,实数m的取值范围是m|m>3(2)若命题q为真命题,则Δ=(-2m)2-4(m+2)>0,即m2-m-2>0,解得m<-1或m>2.因此,实数m的取值范围是{m|m<-1或m>2}. (8分)(3)若命题p,q至少有一个为真命题,则结合(1)(2)得m∈m|m>32∪{m|m<-1或m>2}=20.解析(1)设DN的长为x(x>0)米,则AN的长为(x+2)米.∵DNAN=DCAM,∴AM=∴S矩形AMPN=AN·AM=3(x由S矩形AMPN>32,得3(又x>0,∴3x2-20x+12>0,解得0<x<23或x>6, (7分即DN的长(单位:米)的取值范围是x0<x<23或x>6. (8分)(2)设矩形花坛AMPN的面积为y平方米,则y=3(x+2)2x=3x2+12x+12x当且仅当3x=12x,即x=2(负值舍去)时,等号成立,此时y取得最小值24. (11分故DN的长为2米时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小为24平方米. (12分)21.解析(1)ax2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a≥0对一切实数x恒成立.当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意;(3分)当a≠0时,由题意得a解得a≥13. (5分所以实数a的取值范围是a|a≥1(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1等价于ax2+(1-a)x-1<0.当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}; (7分)当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-1a所以不等式的解集为x-1a<当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,①当a=-1时,-1a=1,不等式的解集为{x|x≠1}; (9分②当-1<a<0时,-1a>1,不等式的解集为x|x<③当a<-1时,-1a<1,不等式的解集为x|x<综上所述,当a<-1时,不等式的解集为x|x<-1a或x>1;当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-1<a<0时,不等式的解集为x|x<1或x