新教材高中数学第二章平面解析几何加练课5离心率的求解学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE7加练课5离心率的求解学习目标1.会求椭圆与双曲线的离心率.2.进一步学习和掌握椭圆与双曲线的几何性质.自主检测·必备知识一、概念辨析，判断正误1.椭圆越圆,椭圆的离心率越趋近于1.(×)2.等轴双曲线的离心率为2.(√)3.椭圆的离心率和双曲线的离心率取值范围相同.(×)二、夯实基础，自我检测4.已知椭圆C：x2A.13B.12C.22D.223答案：C解析：椭圆C：x2a2由a2-4=4,解得5.（2020重庆南开中学高二期中）已知双曲线x2a2A.2B.5C.6D.5答案：B解析：易知双曲线的渐近线方程为y=±b因为渐近线与直线y=2x-3平行,所以ba则e=ca6.（2020山东临沂卧龙中学高二月考）设椭圆x2m2A.22B.12C.2答案：B解析：设椭圆的半长轴长为a,半短轴长为b,半焦距为c,由题意知,2a=1+3=4,故a=2,即m2=4,b2=互动探究·关键能力探究点一直接求出a,c或求出a与b的比值,以求解e精讲精练例（1）（2020山东烟台高二期中）已知A、B为椭圆的左、右顶点,F为左焦点,点P为椭圆上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线与线段PF交于M点,与y轴交于E点,若直线BM经过OE的中点,则椭圆的离心率为()A.12B.12C.1（2）圆M：(x-m)2+y2=4与双曲线C：y2A.233B.答案：（1）C（2）A解析：（1）由题意可设F(-c,0),A(-a,0),B(a,0),直线AE的方程（由题知斜率存在）为y=k(x+a),令x=-c,可得M(-c,k(a-c)),令x=0,可得E(0,ka),设OE的中点为H,则H(0,ka2),由B,H,M三点共线,得kBH=kBM（2）如图所示,|AB|=2,|MA|=|MB|=2,所以△ABM是等边三角形,根据对称性可知A,B两点关于x轴对称,所以∠AMO=30∘,因为OA⊥AM,所以则渐近线的斜率k=tan 60∘=解题感悟（1）对于椭圆,根据题意求出a,b,c的值,再由e2（2）双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以借助e2迁移应用1.已知直线l:x+y-1=0经过椭圆C:xA.2-12B.2-1C.答案：D解析：椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为探究点二构造a,c的齐次式,解出e精讲精练例已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦距为2cA.32B.34C.1答案：A解析：设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(∴|OA|=x02解得x0=2∴又∵b2=a2解题感悟本题考查离心率的求法,解题的关键是把题中的基本量a,c表示出来,然后建立a,c间的关系式,再根据离心率的定义求解即可.对待此类型的方程,常见的方法就是方程左、右两边同除以一个参数的最高次项,即可转化成一个一元二次方程,化简的运算能力是解决此题的关键.迁移应用1.（2020重庆八中高二月考）已知双曲线x2a2-y2bA.1+5B.5-12C.答案：C解析：依题意知A(a,0),F(c,0),故kB1F⋅kB2A=-bc⋅b2.已知P为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)上的点,F1,F2分别为答案：2解析：设|OF2|=c,可得P(c,b2a),则四边形OF2PQ的内切圆的圆心为(c2,即|b2×c2-2ac×c2+探究点三利用焦点三角形求离心率精讲精练例（1）设F1,F2分别是椭圆C：x2a2+y2bA.33B.36C.1（2）如图,F1和F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)答案：（1）A（2）3解析：（1）设PF1的中点为M,连接因为O为F1F2的中点,所以OM所以OM∥PF2,因为∠PF1|F由椭圆的定义得2a=|PF1|+|P2c=|F1F2|=（2）如图,连接AF由△F2AB是等边三角形,知∠AF2F∴双曲线的离心率e=解题感悟涉及焦点三角形的题目一般都是利用圆锥曲线的定义找a,b,c的关系求解.迁移应用1.（2020成都外国语学校高二月考）设F1,F2分别是双曲线C：x2a2A.2+1B.C.6+1D.答案：B解析：因为|OP|=|OF1|=|O所以∠O所以π-∠因为|PF1又因为|PF1所以(16+83)a2所以离心率e=探究点四求离心率的取值范围精讲精练例（1）已知F是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点,P是双曲线的左顶点,过点FA.(1,2)B.(1,2)C.(1,3)D.(1,3)（2）已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为坐标原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2,且它们在第一象限的交点为P,△PF答案：（1）A解析：（1）由题可知△APB为等腰三角形,若△APB<π2,只需∠APF<π因为|AB|=2b2a所以b2＜a2+ac,即c2-a2＜a2+ac,答案：（2）设椭圆的半长轴长、半焦距分别为a1,c，双曲线的半实轴长、半焦距分别为a2,c,|PF1|=m,|PF2所以52＜5c+1＜3,即5故椭圆的离心率的取值范围为(1解题感悟求圆锥曲线离心率的取值范围的常用方法：（1）利用题目条件所给的不等关系,转化为离心率的取值范围.（2）利用焦半径的范围或椭圆、双曲线上点的坐标的范围,得到a与c的不等式,从而求得离心率的范围.迁移应用1.若直线y=2x与双曲线x2A.(1,5)B.(C.(1,5]D.[答案：B解析：双曲线的两条渐近线中,斜率为正的渐近线方程为y=b由双曲线与直线y=2x有交点知,ba＞2,故2.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若|PFA.(1,3]B.(1,3]C.(3,3]D.(3,+∞）答案：A解析：设|PF2|=m(m≥c-a)所以|PF当且仅当m=2a时,等号成立,所以c-a≤2a,即c≤3a.所以1<e评价检测·素养提升1.已知椭圆的短轴长是焦距的2倍,则椭圆的离心率为()A.12B.C.15D.答案：D2.已知双曲线x2a2-y2bA.52