考研数三(历年真题+答案详解)之-2003至2013年真题

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

21若x工Q

⑴设/(x)=4xC0S7'X'其导函数在x=0处连续，则2的取值范围是_____.

0*若x=0,

(2)已知曲线〉=/一342了+/,与x轴相切，则〃2可以通过a表示为从=.

Q才‘0<JV<1

(3)设a>0,f(x)=g(x)=\二L一'而D表示全平面，则

[0,其他，

1=^f(x)g(y-x)dxdy=------.

D

(4)设n维向量a=(〃,0,…。GlovO；E为n阶单位矩阵，矩阵

A=E-aaT,B=E+—aaT,

a

其中A的逆矩阵为B,则2=.

(5)设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为

(6)设总体X服从参数为2的指数分布，X”Xz，…,X”为来自总体X的简单随机样

I«

本，则当〃―8时，工=一依概率收敛于.

«,=1

二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有•

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且广(0)存在，则函数g(x)=/^

X

(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.

(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.|]

(2)设可微函数f(x,y)在点(/，先)取得极小值，则下列结论正确的是

(A)/(而,〉)在y=>0处的导数等于零.(B)/'(入0，〉)在y=%处的导数大于零.

(C)/(了0，》)在y=处的导数小于零.(D)/(工0，》)在y=为处的导数不存在.

[]

a„+\a,\a„-a„

(3)设p“=」2口，q”=2,〃=1，2,…，则下列命题正确的是

(A)若fa,条件收敛,则£>“与£纵都收敛•

n=ln=l/»=!

则£>“与£纵都收敛•

(B)若.绝对收敛,

”=1H=1/1=1

若£明条件收敛，则£p“与敛散性都不定.

(C)

M=1n=ln=l

若£明绝对收敛,则与£纵敛散性都不定.

(D)]

«=|"=1〃=】

abb

(4)设三阶矩阵A=bab,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有

bba

(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2bH0.

(C)aHb且a+2b=0.(D)aHb且a+2bH0.

(5)设4,a2，4均为n维向量，下列结论不正确的是

(A)若对于任意一组不全为零的数占，心，…，右，都有匕％+公。2+…#0,

则%,。2，…,见线性无关.

(B)若必,22,…,见线性相关，则对于任意一组不全为零的数匕，七，…，龟，都有

k｝a｝+k2al4----1-ksas-0.

(C)%,a2,…，见线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.

(D)4,a2，…,4线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.IJ

(6)将•枚硬币独立地掷两次，引进事件：4=｛掷第一次出现正面｝,42=｛掷第二次

出现正面｝,4=｛正、反面各出现一次｝，44=｛正面出现两次｝,则事件

(A)A],A2，A3相互独立.(B)A2，A3，A4相互独立.

(OA，4,4两两独立.①)&，43，人4两两独立.[]

三、(本题满分8分)

设

,/、111J八

/(X)=---h-------------7,Xe[不1).

7txsinGzr(l-x)2

试补充定义f(l)使得f(x)在gj上连续.

四、(本题满分8分)

设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足°?+吗=1,又g(x,y)=〃孙」(J一y2升,

dudv2

五、(本题满分8分)

计算二重积分

I=J)sin，+y2)dxdy.

D

其中积分区域D={(x,〉)—+y2<万}.

六、(本题满分9分)

求幕级数1+£(-1)"—(|x|<1)的和函数f(x)及其极值.

„=i2n

七、(本题满分9分)

设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-00,+oo)内满足以下条件：

f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e\

(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；

(2)求出F(x)的表达式.

八、(本题满分8分)

设函数f(x)在［0,3］上连续,在(0,3)内可导，且f(0)+f(l)+f(2)=3,f(3)=l.试证必存在

《€(0,3),使/《)=0.

九、(本题满分13分)

己知齐次线性方程组

(0,+b)xt+a2x2+a3x3+---+anxn=0,

“内+(a2+b)x2+a3x3H-----Fanxn=0,

\alxi+a2x2+(%+b)x3+---+anxn=0,

+a2x2+ayx3+■••+(«„+b)xn=0,

其中£卬Ho.试讨论外,。2和b满足何种关系时,

>=1

(1)方程组仅有零解；

(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的•个基础解系.

十、(本题满分13分)

设二次型

1；

/(X),x2,x3)=XAX=ax：+2x-2xf+2bxxxy{b>0),

中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.

(1)求a,b的值；

(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.

十一、(本题满分13分)

设随机变量X的概率密度为

，若xe[l,8],

/(x)=

其他；

F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.

十二、(本题满分13分)

设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为

x~r21，

(0.30.7J

而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

2003年考研数学(三)真题解析

一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

21若X工0

(1)设/5)=广‘os],二’其导函数在x=0处连续，则4的取值范围是4>2.

o若尤=0,

【分析】当可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.

【详解】当几>1时，有

r?、cos工+x，-2si/,若xH0,

fM=\/

x0,若x=0,

显然当4>2时，有lim/'(x)=0=/'(0),即其导函数在x=0处连续.

x->0

(2)已知曲线y=Y—3/x+b与x轴相切，则。2可以通过a表示为/=之.

【分析】曲线在切点的斜率为0,即y'=0,由此可确定切点的坐标应满足的条件，

再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b2与a的关系.

【详解】由题设，在切点处有

y'=3x2—3a2=0.有x：=a2.

又在此点y坐标为0,于是有

0=X；-3。%+%=0,

故b?=x：(342—X：尸=a?♦4a4=4〃6.

【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.

%苔0<t<]

(3)设a>0,/(x)=g(x)=1一’而D表示全平面，则

[0,其他，

/=JJ7(x)g(y_x)dxdy=色.

D

【分析】本题积分区域为全平面，但只有当04x41,04y-x«l时，被积函数才不

为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

【详解】/=J，(x)g(y-x)dxdy=jja2dxdy

【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积

函数不为零的区域的公共部分上积分即可.

(4)设n维向量二=(〃。…,0,幻7,〃<0；E为n阶单位矩阵，矩阵

A-E-aar,B=E-\--aar»

a

其中A的逆矩阵为B,则a=-1.

【分析】这里aa7■为n阶矩阵，而ara=2/为数，直接通过A5=E进行计算并

注意利用乘法的结合律即可.

【详解】由题设，有

AB=(E-aa7)(E+—aaT)

a

7*1T1TT

-E-aa+—aa---aa・aa

aa

=E-aar+—aaT--a(aTa)a1

aa

=E-aar+—aaT-2aaaT

a

1

=E+(—1—2。4—)ococT—E,

a

于是有一1一2。+工=0,即2q2+a—1=0,解导。=」,“=一1.由于人<0,故2=-1.

a2

(5)设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为

0.9.

【分析】利用相关系数的计算公式即可.

【详解】因为

cov(y,z)=cov(r,x-0.4)=£[(y(x-0.4)]-E(Y)E(X-0.4)

=£(%y)-0.4£(y)-E(Y)E(X)+0.4£(r)

=E(XY)-E(X)E(Y)=cov(X,Y),

且DZ=DX.

于是有3=等"詈号2―=0.9.

4DY4DZ4DX4DY

【评注】注意以下运算公式：D(X+a)=DX,cov(X,V+a)=cov(X,y).

(6)设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,…,X”为来自总体X的简单随机样

1n1

本，则当〃->8时-，匕=—依概率收敛于一.

【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量

X”X2,…,x“，当方差一致有界时•，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值:

I«p1fl

-£XjT—^EXj(n—>oo).

【详解】这里X：,X；,…,X；满足大数定律的条件，且EX；=DXi+(EXj2=

-+(-)2=-,因此根据大数定律有

422

1«1〃I

2

Yn=-YX,依概率收敛于一£EX；=—.

«,=1〃i=l2

二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且尸(0)存在，则函数g(x)=£@

x

(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.

(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.[D]

【分析】由题设，可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.

【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.

于是有limg(x)=lim/®=lim'」-"°)=广(0)存在，故x=0为可去间断点.

【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x,则此时g(x)=2=F'**°'可排除

x[0,x=0,

(A),(B),(C)三项，故应选(D).

【评注2】若f(x)在x=x0处连续，则1曲2至=Ao/(Xo)=0,/'(Xo)=A-

Xf"X-Xa

(2)设可微函数f(x,y)在点(x。,%)取得极小值，则下列结论正确的是

(A)/(入0，〉)在y=凡处的导数等于零.(B)/(%，切在y=%处的导数大于零.

(C)/(了0，〉)在y=>0处的导数小于零.(D)/(%0，)>)在y=为处的导数不存在.

[A]

【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.

【详解】可微函数f(x,y)在点(%,%)取得极小值，根据取极值的必要条件知

/；(%,汽)=0,即/*0，〉)在》=外处的导数等于零，故应选(A).

【评注1】本题考查了偏导数的定义，八/，田在^=外处的导数即火(飞，打)；而

/(3,%)在％=/处的导数即f^x0,y0).

【评注2】本题也可用排除法分析，取/(x,y)=/+y2,在(0,0)处可微且取得极小

值，并且有/(0,y)=y2,可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).

a„+|a„|a„-k„|

⑶设必=，2%q"=2'…'则下列命题正确的是

(A)若£a,条件收敛，则Zpn与£q”都收敛.

〃=1n=l〃=1

QO800

(B)若z%绝对收敛，则SPn与£q”都收敛.

n=ln=l"=1

(C)若£对条件收敛，则£p„与£心敛散性都不定.

”=1n=\n=l

88OP

(D)若Z%绝对收敛，贝“与"敛散性者B不定.[B]

«=171=1/1=1

【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.

【详解】若绝对收敛，即收敛，当然也有级数收敛，再根据

”=1〃=1〃=1

Q+4Ia—\dI产,

p“="।",q”及收敛级数的运算性质知，ZP"与都收敛，故应选

22"=1n=l

(B).

abb

(4)设三阶矩阵4=bab,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有

bha

(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b#0.

(C)a0b且a+2b=0.(D)aHb且a+2b00.[C]

【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2,由此可确定a,b应满足的条件.

【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2,故有

abb

bab=(a+2b)(a—b)2=0.即有a+2b=0或a=b.

bba

但当a=b时，显然秩(A)H2,故必有awb且a+2b=0.应选(C).

【评注】n(n»2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系:

n,r(A)=n,

r(A*)--1,r(A)-n-1,

O,r(A)<«-l.

(5)设%均为n维向量，下列结论不正确的是

(A)若对于任意一组不全为零的数占，左2,…，幻，都有占%+寸2%+…+冗4H0,

则名,火，…,a，线性无关.

(B)若%,4线性相关，则对于任意一组不全为零的数占«2,…,右，都有

k1%+k2a24----1-k、a*=0.

(C)%,a2，…,见线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.

(D)%,a2,…,a,线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.[B]

【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等

价表现形式.应注意是寻找不正确的命题.

【详解】(A):若对于任意一组不全为零的数占也，…,九，都有

kiai+k2a2+---+ksas0.则ai,a2,---,as必线性无关，因为若囚,。?，…,线性相关，

则存在一组不全为零的数匕，心，…,⑥，使得3+%2a2+…+£a,=0,矛盾.可见(A)

成立.

(B)：若%,a?,…,a,线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数

ki,k2,---,ks,klal+k2a2+•••+ksas=0.(B)不成立.

(C)4,…，见线性无关则此向量组的秩为s；反过来,若向量组鬼的秩

为s,则%,%，…,4线性无关，因此(C)成立.

(D)%,。2,…,4线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无

关，可见(D)也成立.

综上所述，应选(B).

【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：若存在一组不全为零的数

占,火2,…人，使得kI%+%2a2+…+&"=0成立，则%,。2,…，见线性相关.其逆否

命题为:若对于任意一组不全为零的数4,左2,…,左，都有占四+左2a2+…+&a,关0,

则%,。2,…,4线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等

价性.

（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A=｛掷第一次出现正面｝,42=｛掷第二次

出现正面｝,43=｛正、反面各出现一次｝，儿=｛正面出现两次｝，则事件

（A）4,42,4相互独立.（B）42,4，人4相互独立.

（C）4,42，43两两独立.（D）&，43,44两两独立.[C]

【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成

立，再检验是否相互独立.

【详解】因为

p（A）=g,P（4）=pP（&）=g，P（&）=；，

且P（A4）=；，P（A|4）=：，P（A2A3）=：,P（444）=：P（A44）=0,

可见有

「（A1A2）=P（A）P（A2）,P（A1A3）=P（A）P（A3）,P（A2A3）=P（A2）P（4）,

尸（A44）wP（A）P（A2）P（4）,尸（A2A4）HP（A2）P（A4）.

故A，A2,A3两两独立但不相互独立；A2，A3，A4不两两独立更不相互独立，应选（C）.

【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.

三、（本题满分8分）

设

//、111」，、

/（%）=——+-------------£匚]）・

71XSin欣7T（1-X）2

试补充定义f（l）使得f（x）在上连续.

【分析】只需求出极限lim/（x）,然后定义f（l）为此极限值即可.

【详解】因为

limf（x）=lim[—+—--------!---]

x—rxf7ixsin^x

11..乃（l-x）-sinK

=—+—lim---------；------

7t乃（1-x）sin^x

11「-7T-7TCOS71X

=—+—lim-----------------------

7171Xf「-sin依+（1-X）7TCOS71X

117r2sinG

=—+—lim-------------------------------------------------

71乃Xfl-COSTlx-71COS71X-(1-X)7t~sin^X

71

由于f(x)在6，1)上连续，因此定义

71

使f(x)在±1]上连续.

2

【评注】本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.

在计算过程中，也可先作变量代换y=l-x,转化为求yf0+的极限，可以适当简化.

四、(本题满分8分)

设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足驾+驾=1,又g(x,y)=f[xy,-(x2-y2)],

dudv2

求驾+驾.

dx2dy~

【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题：g=/(〃­)，〃=xy#=一y?)，

直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用"=2上.

dudvdvdu

df红

【详解】-y-------Fx

dudv'

/V

=-x------y

dudv

22工

a2g2a7df2更

故二-+2孙——+x

dx2y"dudvdv2dv，

a2g“弯d2f2d2f/

-2xy——+y

dy2du2dvdudv2dv

32g।2)以、也

a2g222

所以=(x+y■+U+yJ2

dx2②2du2dv

22

=x+y

【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.

五、(本题满分8分)

计算二重积分

1=We(x+y2~ff)sin(x2+y2)dxdy.

D

其中积分区域D={(X,y)|x2+y2〈万}.

【分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.

【详解】作极坐标变换：x=rcos0,y=rsind,有

1=eK(x+y2)sin(尤2+y2)dxdy

D

-en『『re"sinr~dr,

令£=/,则

I=7ien/e~lsintdt.

记A=£e_/sintdt,则

A=-^e~/intde1

=-[e~fsinr-Ce~fcostdt]

0J)

=-£costde~l

=-[e~lcosr0+/e1sin,力]

3+1-A.

因此A=g(l+e-"),

j7teJ7i八

/=-(1+e")=7(l+e").

22

【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积

分后，再通过换元与分步积分(均为最基础的要求)，即可得出结果，综合考查了二重积分、

换元积分与分步积分等多个基础知识点.

六、(本题满分9分)

求基级数1+£(-1)"—(|x|<1)的和函数f(x)及其极值.

”=12〃

【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1.求出

和函数后，再按通常方法求极值.

【详解】

/(x)=£(-1)十=_1T.

n=\1+X

上式两边从0到x积分，得

12

/(X)-/(0)=-f7V//=-2ln(l+x).

1+r2

由f(O)=i,得

/(x)=l-1ln(l+x2),(|x|<l).

令尸(x)=0,求得唯一驻点x=0.由于

/"(0)=-1<0,

可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为

f(O)=l.

【评注】求和函数•般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的儿何级

数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.

七、(本题满分9分)

设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-oo,+oo)内满足以下条件：

f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0,/(x)+g(x)=2e*.

(3)求F(x)所满足的一阶微分方程；

(4)求出F(x)的表达式.

【分析】F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其

余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.

【详解】⑴由

F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

=g2M+f2(x)

=[fM+g(x)]2-2f(x)g(x)

=(2e")2-2F(x),

可见F(x)所满足的一阶微分方程为

F'(x)+2F(x)=4e2x.

⑵F(x)=e件[f4e2x-dx+C]

=e-2x[^4e4xdx+C]

=e_lx+।Ce__2x

将F(O)=f(O)g(O)=O代入上式，得

C=-l.

于是

F(x)=e2x-e-2x.

【评注】本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的

形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.

八、(本题满分8分)

设函数f(x)在［0,3］上连续,在(0,3)内可导，且f(0)+f(l)+f(2)=3,f(3)=L试证必存在

会(0,3),使尸《)=0.

【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点ce［0,3),使得/(c)=l=/(3),然后

在［c,3］上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(l)+f(2)=3等价于/(°)+川)+/(2)=1,问题转

3

化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.

【详解】因为f(x)在［0,3］上连续，所以f(x)在［0,2］上连续，且在［0,2］上必有最大

值M和最小值m,于是

m</(0)<M,

m</(I)<M，

m<f(2)<M.

故

3

由介值定理知，至少存在一点c€［0,2］»使

/⑹二如耍®“

因为f(c)=l=f(3),且f(x)在［c,3J上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在

"(c,3)u(0,3),使/&)=0.

【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结

合起来考.本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.

九、(本题满分13分)

已知齐次线性方程组

(%+h)x}+a2x2+a3x3H-----Fanxn=0,

a[+(。2+b)x2+43X3+・・・+Q“尤〃=0,

<a}x]+a2x2+(%+/?)%3+・・・+Q“X〃=0,

axx}+a2x2+ci3x3H-----卜(册+b)xn=0,

其“1Z"i工。试讨论,。2，…，〃〃和b满足何种关系时'

/=1

(1)方程组仅有零解；

(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.

【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而

系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等.可先将所有列对应元素相

加，然后提出公因式，再将第一行的(-1)倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.

【详解】方程组的系数行列式

a1+ba2a3••««

a\%+人心・•a„

闾=%a24+0•■a„

a2a3•.%+b

=人0+七%).

/=1

(1)当〃H0时且6+f%H0时，秩(A)=n,方程组仅有零解.

1=1

(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为

a[x[4-a2x2+・・・+a〃x〃=0.

由#0可知，为«=1,2/-,〃)不全为零.不妨设4工0,得原方程组的一个基础

/=1

解系为

%=(.....-,1,0,…,0),,。2=(---工…，。)丁,=(-二~，0，。，…

4为ax

当。=—f《时，有人工0,原方程组的系数矩阵可化为

/=1

1=1

。2一。3

/=1

4a2a3-Xa<

i=l

a

%a23a“一£《

i=]

（将第1行的-1倍加到其余各行,再从第2行到第n行同乘以-倍）

%

一“

%-Z%a2a3a„

(=1

-110•••0

01•••0

-100­••1

（将第n行-%倍到第2行的-a2倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）

--110…0-

-101­­•0

-100…1

000•­•0

由此得原方程组的同解方程组为

x2=xt,x3=X,,…，X“=X|.

原方程组的一个基础解系为

【评注】本题的难点在匕=-时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的

/=1

秩为n-1（存在n-1阶子式不为零），且显然a=（1,1,…J）7"为方程组的一个非零解，即可作

为基础解系.

十、（本题满分13分）

设二次型

T

f（xl,x2,xi）-XAX=ax：+2x；-2x；+2bx/3s>0）,

中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.

(3)求a,b的值；

(4)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.

【分析】特征值之和为A的主对角线上元素之和，特征值之积为A的行列式，由此可

求出a,b的值；进一步求出A的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若

有必要)，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.

【详解】(1)二次型f的矩阵为

a0b

A=020.

b0-2_

设A的特征值为％(i=1,2,3).由题设，有一

4+4,+4=a+2+(—2)-1,

a0b

444=020=—4a—2b2=—12.

b0-2

解得a=l,b=-2.

(2)由矩阵A的特征多项式

2-10-2

\AE-A|=02-20=(4-2)2(/1+3),

-202+2

得A的特征值4=儿=2,=-3.

对于4=%=2,解齐次线性方程组QE-4)x=0,得其基础解系

。=(2,0,1尸，^2=(0,1,0/.

对于4=-3,解齐次线性方程组(-3£-A)x=0,得基础解系

刍=(1,0,-2)1

由于刍看2，刍已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将142右3单位化，由此

得

令矩阵

21

o

一

君

后

Q辰-O10

-23-

-2

1o

一

V5V5

则Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下，有

'200'

。7。=020,

00一3

且二次型的标准形为

/=24+234.

【评注】本题求a,b,也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：

二次型f的矩阵A对应特征多项式为

X—ci0-h

\AE-=0/L-20=(/I-2)[/l2-(a-2)2~(2a+b2)].

-b02+2

设A的特征值为4,4,4,则4=2,4+4=4-2,丸24=—(2a+02).由题设得

4+丸2+4=2+（4—2）=1,

44243=—2（2。+匕2）=—12.

解得a=l,b=2.

十一、(本题满分13分)

设随机变量X的概率密度为

，若尤w[1,8],

/（幻=

其他；

F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.

【分析】先求出分布函数F(x)的具体形式，从而可确定Y=F(X),然后按定义求Y的

分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围(0<F(X)<1)，再对y分段讨论.

【详解】易见,当xvl时,F(x)=0;当x>8时，F(x)=l.

对于xc[l,8],有

F（x）t-\[x-1.

设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当y<0时，G(y)=0；当y21时，G(y)=l.

对于yw[O,l),有

G(y)=P{y4y}=PS(X)Vy}

=P{^X-\<y}=P{X4()，+探}

=fl(y+l)3]=y.

于是，Y=F(X)的分布函数为

0,若y<0,

G(y)=-y,^0<y<l,

1,若

【评注】事实上，本题X为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布:

当y<0时，G(y)=0;

当yNl时，G(y)=l;

当04y<1时，G(y)=P{Y<y}=P{F(X)<y]

=P{X<F-l(y)}

=F(F-'(y))=y.

十二、(本题满分13分)

设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为

(12)

X~,

(0.30.7J

而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

【分析】求二维随机变量函数的分布，•般用分布函数法转化为求相应的概率.注意X

只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.

【详解】设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为

G(u)=P{X+Y<u}

=Q.3P[X+Y<u\X=l}+0.7P{X+r<M|X=2}

=0.3P{K<M-1|X=l}+0.7P{y<M-2|X=2}.

由于X和Y独立，可见

G(u)=<M-1}+0.1P[Y<M-2}

=0.3F(M-1)+0.7F(M-2).

由此，得u的概率密度