高中数学函数单调性判断方法

时间：二O二一年七月二十九日高中数学函数单一性的判断方法之邯郸勺丸创作时间：二O二一年七月二十九日单一性是函数的重要性质,它在数学中有很多应用,如我们经常使用求函数单一性的方法求函数的值域.那么,有哪些求函数单一性的方法呢？方法一：定义法关于函数f(x)的定义域I内某个区间A上的随意两个值x1,x2（1）当x1x2时,都有f(x1)f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数；（2）若当x1x2时,都有f(x1)f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数.比如：依据函数单一性的定义,证明：函数在上是减函数.要证明函数f（x）在定义域内是减函数,设随意x1,x2R且x1x2,则f(x1)f(x2)x23x13(x2x1)(x22x1x2x12),由于x1x2因此x2x10,且在x1与x2中起码有一个不为0,不妨设x20,那么x22x1x2x12(x1x2)23x220,因此f(x1)f(x2),故f(x)在(,)上24为减函数.方法二：性质法时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日除了用基本初等函数的单一性以外,利用单一性的相关性质也能简化解题.若函数f(x)、g(x)在区间B上拥有单一性,则在区间B上有：f(x)与c?f(x)当c＞0拥有同样的单一性,当c＜0拥有相反的单一性；当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)?g(x)当二者都恒大于0时也是增(减)函数,当二者都恒小于0时也是减(增)函数；比如,已知f（x）在R上是减函数,那么-5f（x）为____函数.这道题很简单,我们依据单一性的性质,很简单就能判断它是增函数.方法三：同增异减法（办理复合函数的单一性问题）关于复合函数y＝f[g(x)]知足“同增异减”法(应注意内层函数的值域),可令t＝g(x),则三个函数y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f[g(x)]中,如有两个函数单一性同样,则第三个函数为增函数；如有两个函数单一性相反,则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有同样的单一性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单一性；（2）互为反函数的两个函数有同样的单一性；（3）假如f(x)在区间D上是增（减）函数,那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数.比如,求函数y=log4(x2－4x+3)的单一区间.时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日u＞0,u=x2－4x+3,解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.当x∈(－∞,1)时,u=x2－4x+3为减函数,而y=log4u为增函数,因此(－∞,1)是复合函数的单一减区间；当x∈(3,±∞)时,u=x24x+3为增函数y=log4u为增函数,因此,(3,+∞)是复合函数的单一增区间.方法四：图像法画出函数的图形,直接依据图像走势,判断函数在某一子区间的单调性.比如,画出函数yx22|x|1图象并写出函数的单一区间.x22x1(x0)(x1)22(x0)解：y2x1(x0)即y2(x0)x2(x1)2如下图,单一增区间为(,1]和[0,1],单一减区间为[1,0]和[1,)方法五：导数法函数的单一性与导数的关系：在某个区间(a,b)内,假如假如

f'(x)0,那么函数f'(x)0,那么函数

f(x)yf(x)

在这个区间内单一递加,在这个区间内单一递减.比如,求函数f(x)x42x23的单一区间.解：函数f(x)的定义域为R,f(x)x44x4(x1)(x1)x令f(x)0,得1x0或x1．∴函数f(x)的单一递加区间为（－