高中数学第二章一元二次函数方程和不等式222基本不等式应用第一册数学教案

第2课时基本不等式的应用题型一利用基本不等式证明不等式[经典例题]a2b2c2例1已知a、b、c>0，求证：b＋c＋a≥a＋b＋c.a2b2c2【分析】∵a，b，c，b，c，a均大于0，a2a2∴b＋b≥2b·b＝2a.当且仅当a2＝b时等号成立．bb2b2c＋c≥2c·c＝2b.b2当且仅当c＝c时等号成立．c2c2·＝2c，＋≥2aaaac2当且仅当a＝a时等号成立．相加得a2＋＋b2＋＋c2＋≥2＋2＋2，bbccaaabca2b2c2b＋c＋a≥a＋b＋c.状元漫笔

判断a，b，c，a2，b2，c2bca

均大于0

→

证a2＋b≥2ab

b2→证＋c≥2bcc2→证a＋a≥2c

→得所证不等式方法概括(1)在利用

a＋b≥2

ab时，必定要注意能否知足条件

a>0，b>0.a＋b(2)在利用基本不等式

a＋b≥2

ab或

2

≥

ab(a>0，b>0)时要注意对所给代数式经过添项配凑，结构切合基本不等式的形式．此外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．追踪训练1已知x>0，y>0，z>0.yzxzxy求证：x＋xy＋yz＋z≥8.证明：由于x>0，y>0，z>0，yz2yz>0，所以x＋x≥xxz2xzy＋y≥y>0，xy2xyz＋z≥z>0，yzxzxy8yz·xz·xy＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．所以x＋xy＋yz＋z≥xyzyzxzxy分别对x＋x，y＋y，z＋z用基本不等式?同向不等式相乘．题型二利用基本不等式解决实质问题[教材P47例4]例2某工厂要建筑一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．假如池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么如何设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？【分析】设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为z元．根据题意，有z＝150×4800＋120(2×3x＋2×3y)3240000＋720(x＋y)．由容积为4800m3，可得3xy＝4800.所以

xy＝1600.所以

z≥240000＋720×2

xy，当x＝y＝40时，上式等号成立，此时所以，将贮水池的池底设计成边长为

z＝297600.40m的正方形时总造价最低，最低总造价是

297600元．状元漫笔贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确立．假如池底的边长确立了，那么水池的总造价就确立了．所以，应该观察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低．教材反省利用基本不等式解决实质问题的步骤解实质问题时，第一审清题意，而后将实质问题转变为数学识题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按以下步骤进行：理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．成立相应的函数关系式，把实质问题抽象为函数的最大值或最小值问题．在定义域内，求出函数的最大值或最小值．正确写出答案．追踪训练2某渔业企业今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各样花费12万元．从第二年起包含维修费在内每年所需花费比上一年增添4万元．该船每年捕捞总收入50万元．问捕捞几年后总盈余最大，最大是多少？问捕捞几年后的均匀收益最大，最大是多少？分析：(1)设该船捕捞n年后的总盈余y万元．则nn－1y＝50n－98－12×n＋×42＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，∴当捕捞10年后总盈余最大，最大是102万元．(2)年均匀收益为y4949n＝－2n＋n－20≤－22n·n－20＝12，49当且仅当n＝n，即n＝7时上式取等号．所以，当捕捞7年后年均匀收益最大，最大是12万元．状元漫笔1.盈余等于总收入－支出，注意支出，由两部分构成．2．利用基本不等式求均匀收益．一、选择题1．已知a，b，c，是正实数，且a＋b＋c＝1，则1＋1＋1的最小值为( )abcA．3B．6C．9D．12111111abacbc分析：∵a＋b＋c＝1，∴a＋b＋c＝a＋b＋c(a＋b＋c)＝3＋b＋a＋c＋a＋c＋b≥3＋22＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．3答案：C2.3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为( )A．9B.

9232C．3D.2分析：由于－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，3－aa＋6≤3－a＋a＋693＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时，等号成立．222答案：B3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为4.5m2的直角三角形框架，在以下四种长度的铁丝中，采用最合理(够用且浪费最少)的是( )A．9.5mB．10mC．10.5mD．11m分析：不如设直角三角形两直角边长分别为a，b，则ab＝9，注意到直角三角形的周长为l＝＋＋2＋2，进而l＝＋＋a2＋2≥2＋2＝6＋32≈10.24，当且仅当abababbababa＝b＝3时，l获得最小值．从最节约的角度来看，选择10.5m.答案：C94．已知函数y＝x－4＋x＋1(x>－1)，当x＝a时，y获得最小值b，则a＋b＝( )A．－3B．2C．3D．8999分析：y＝x－4＋x＋1＝x＋1＋x＋1－5.由x>－1，得x＋1>0，x＋1>0，所以由基本不999等式得y＝x＋1＋＋1－5≥2x＋1×＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝＋1，即x＝2时取xxx等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案：C二、填空题5．某企业购买一批机器投入生产，据市场剖析，每台机器生产的产品可获取的总收益y(单位：万元)与机器运行时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该企业年均匀收益的最大值是________万元．分析：每台机器运行年的年均匀收益为y＝－x＋25，而，故y≤－＝，xx18xx>0x182258当且仅当x＝5时等号成立，此时年均匀收益最大，最大值为8万元．答案：86．若正实数x，y知足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．分析：设xy＝t(t>0)，由xy＝2x＋y＋6≥22xy＋6，即t2≥22t＋6，(t－32)(t2)≥0，∴t≥32，则xy≥18，当且仅当2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，∴xy的最小值为18.答案：187．某种饮料分两次抬价，抬价方案有两种，方案甲：第一次抬价p%，第二次抬价q%；＋q方案乙：每次都抬价2%，若p>q>0，则抬价多的方案是________．分析：设原价为1，则抬价后的价钱为方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，p＋q2方案乙：1＋%，由于1＋p%1＋q%≤1＋p%＋1＋q%p＋q2＝1＋2%，且>>0，pq所以1＋%1＋%<1＋p＋q%，pq2即(1＋p%)(1＋q%)<1＋p＋q%2，2所以抬价多的方案是乙．答案：乙三、解答题118．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：1＋a1＋b≥9.证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，1a＋bb1＋a＝1＋a＝2＋a，a同理，1＋b＝2＋b，11＋a1＋ba2＋a2＋ba5＋2a＋b≥5＋4＝9.∴1＋11＋1≥9(当且仅当＝＝1时等号成立)．abab29．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特点的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购买一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(暗影部分所示)栽种桑树，鱼塘四周的基围宽均为2米，以下图，池塘所占面积为S平方米，此中a＝12.b(1)试用x，y表示S；若要使S最大，则x，y的值各为多少？分析：(1)由题可得，xy＝1800，＝2，则y＝＋＋6＝3＋6，＝(x－4)＋(x－baabaSay－6166)b＝(3x－16)a＝(3x－16)3＝1832－6x－3y(x>6，y>6，xy＝1800)．1616(2)方法一S＝1832－6x－3y≤1832－26x×3y＝1832－480＝135216当且仅当6x＝3y，xy＝1800，即x＝40，y＝45时，S获得最大值1352.1618009600

，9600方法二＝1832－6－×＝1832－6x＋≤1832－26×Sx3xxx832－480＝1352，

x

＝19600，即x＝40时取等号，S获得最大值，此时y＝1800当且仅当6