高等基础工程学讲义弹性地基梁理论

高等基础工程学讲义弹性地基梁理论第一页，共五十四页，2022年，8月28日地基基础设计内容1、弹性地基梁的选择、布置与构造(1/8)第二页，共五十四页，2022年，8月28日1、弹性地基梁的选择、布置与构造(2/8)第三页，共五十四页，2022年，8月28日1、弹性地基梁的选择、布置与构造连续基础：柱下条形基础筏板基础交叉条形基础箱形基础特点：底面积大地基承载力整体刚度大减小不均匀沉降补偿作用箱形基础，设置地下室的筏形基础1、弹性地基梁的选择、布置与构造(3/8)第四页，共五十四页，2022年，8月28日浅基础设计方法满足了静力平衡条件，忽略了地基、基础和上部结构三者之间受荷前后的变形连续性。地基越软弱，与实际情况差别越大。1、弹性地基梁的选择、布置与构造(4/8)第五页，共五十四页，2022年，8月28日常规设计法：满足下列条件时可以采用：（1）沉降较小或较均匀（2）基础刚度大1、弹性地基梁的选择、布置与构造(5/8)第六页，共五十四页，2022年，8月28日弹性地基梁：在工程结构中，有时在柱子下面设置连续梁基础(或板基础)，这种梁(板)基础和地基的接触面积很大，整体刚度也很大，向地基传递、扩散荷载，如果假定地基是弹性的，这种基础梁(梁基础)就叫弹性地基梁。弹性地基梁与连续梁的区别？普通连续梁（1）只在支座处与地基相连，是有限次超静定结构（2）通常连续梁是刚性支座，不计支座及地基变形弹性地基梁（1）全断面和地基相连，是无限次超静定（2）同时考虑与地基的变形，变形的连续性，上部结构和地基、基础的共同工作1、弹性地基梁的选择、布置与构造(6/8)第七页，共五十四页，2022年，8月28日弹性地基梁的布置1)和柱网一致2)纵横方向都是柱下梁式基础(弹性地基梁)的主方向，弹性地基梁在纵横两个方向都着地，见图3-1。此时是双向交叉弹性地基梁，应按双向交叉弹性地基梁计算。为了简化，也可以在两个方向上分别按单向弹性地基梁计算，在柱位处附近配置加强构造筋，以抗弯和抗扭。1、弹性地基梁的选择、布置与构造(7/8)第八页，共五十四页，2022年，8月28日3）在一个方向上是主方向，另一个方向上是次方向，在主方向上的梁着地，按弹性地基梁计算，次方向上的梁不着地，按连续梁(联系梁)计算，见图3一2。1、弹性地基梁的选择、布置与构造(8/8)第九页，共五十四页，2022年，8月28日地基计算模型在上部结构、基础与地基的共同作用分析中，或者在地基上的梁板分析中，都要用到土与基础接触界面上的力与位移的关系，这种关系可以用连续的或离散化形式的特征函数表示，这就是所谓的地基计算模型。地基计算模型可以是线性或非线性的，且一般是三维的，但常予以简化。最简单的地基计算模型是线性弹性模型，并且只考虑竖向力和位移的关系，主要介绍常用的几种线弹性地基模型。2、弹性地基梁模型及讨论(1/12)第十页，共五十四页，2022年，8月28日地基模型地基反力直线分布模型文克尔地基模型半空间弹性地基模型有限深度可压缩性地基模型层状地基模型双参数、三参数弹性地基模型非线弹性及弹塑性模型各种本构模型：DuncanandChang、剑桥模型及修正、沈珠江模型、DruckerandPrager等2、弹性地基梁模型及讨论(2/12)第十一页，共五十四页，2022年，8月28日1、地基反力直线分布模型

前提条件：1)基础梁本身假定是绝对刚性的，没有弹性变形，只产生刚体的位移和转动，没有挠曲；2)地基反力假定在任一点与其沉降是正比关系。地基反力的线性分布规律，即：式中:—地基反力的偏心距，,

弹性地基梁应为中小偏心，;—和弯矩作用平面平行的基础边长。2、弹性地基梁模型及讨论(3/12)第十二页，共五十四页，2022年，8月28日通常用倒梁法(倒置的连续梁)求解：以地基净反力作为梁上荷载，柱子作为倒梁的支座，上部结构刚度很大，柱子可作为梁的不动支座，不产生竖向位移，基础不产生整体弯曲，只产生局部弯曲，这等于考虑了上部结构和地基、基础的共同工作。求解时用结构力学中的弯矩分配法或刚性支座上连续梁分析中的三弯矩方程法。但这样的计算结果，柱位处的地基反力和柱子往下传的荷载一般情况下是不相等的，如果柱位处的地基反力大于相应柱子往下传的荷载，说明地基反力算大了;如果柱位处的地基反力小于相应柱子往下传的荷载，说明地基反力算小了。需要在柱位两侧各1/3跨度内进行调整，即减小或加大地基反力，重新计算，直到柱位处的地基反力和相应柱子往下传的荷载相差不多或比较接近为止。当连续梁比较规则(荷载及跨度)时，可用连续梁内力系数表分析计算，当反力调整以后，就比较麻烦了，只能在各项荷载下分别用弯矩分配法分析计算，然后进行叠加。2、弹性地基梁模型及讨论(4/12)第十三页，共五十四页，2022年，8月28日2、文克尔地基模型该模型由捷克工程师文克尔(Winkler)提出,是最简单的线弹性模型,其假定是地基上任一点的压力p与该点的竖向位移(沉降)s成正比,即

2、弹性地基梁模型及讨论(5/12)第十四页，共五十四页，2022年，8月28日文克尔模型(假定)实际上使用了三个假定:1）基础底面每一点的挠度与该点下的地基沉降一致，即基底面和地基要全部接触，不能脱开，梁的刚度要比较大；2)基底变形后仍保持平面，认为基础的刚度大，故地基反力呈线型分布。3)只在受荷点处，才有地基沉降，超出受荷范围则没有地基沉降。这是局部变形理论，忽略了地基的连续性，忽略了地基中的剪应力和抗剪作用，因而应力和变形都不向周围扩展，这是把地基看成许多各自独立存在的弹簧或把地基看作是水体(无剪应力，局部冲切)。这显然不符合事实，文克尔假定是阿基米德原理的一个推论。2、弹性地基梁模型及讨论(6/12)第十五页，共五十四页，2022年，8月28日

按照文克尔假定，具体计算时，按照的值对弹性地基梁进行刚柔度分类，具体的分类方法很多，大同小异，我们选应用广泛的标准进行分类如下:,称为短梁，又称刚性梁，有的文献放宽到;当

时称为绝对刚性梁；

称为有限长梁，又称中长梁；对

，称为无限长梁或半无限长梁(在荷载作用点两侧，都满足时称无限长梁;在荷载作用点两侧，只有一侧满足对

时称半无限长梁)。有的文献放宽到。弹性地基梁的刚柔度类型不同，荷载的影响范围大小不同，相应的分析、计算方法也不同，在实践中先分类，再按相应的方法进行分析计算。2、弹性地基梁模型及讨论(7/12)第十六页，共五十四页，2022年，8月28日文克尔假定的修正(改正)原因：原始的文克尔假定局限性很大，甚至不适用。①文克尔原来假定在受荷点处，地基反力与该点的地基沉降成正比。实际的地基基础哪有点荷载，在应用中我们把它扩大为地基反力与其沉降成正比，地基受荷载，或看作均布荷载，或看作线荷载;②文克尔原来假定基础梁(地基梁)是绝对刚性的。实际上不是，我们对地基梁的刚度进行分类，分类求解。有限长梁用原来的文克尔假定很难求解，经研究，俄国学者克雷洛夫提出了初参数法;③按原来的文克尔假定，在受荷点处以外就不产生沉降。这是一个错误。完全不计地基中的应力传播和变形的连续性，它只是阿基米德浮力原理的推论。我们在应用中确认，在受荷处以外一定范围内也有沉降，只是小一些，这是符合实际情况的。2、弹性地基梁模型及讨论(8/12)第十七页，共五十四页，2022年，8月28日文克尔模型(假定)在工程中的适用范围l)铁路钢轨和枕木，厂房中的吊车轨道；2)船坞及滑道工程；3)浮桥、船舰、海上冰山运动，地基是水；4)地基是深厚淤泥层、荷载又大；5)荷载很大、埋置深度很浅()的基础；6)荷载很大，基底下压缩层很薄，其下是硬层或基岩；7)荷载很大、地基中塑性区开展很大；8)上部结构、基础柔性大，基本上不存在共同工作；9)典型的端承桩或典型的摩擦桩；10)砂土地基和粘上地基上有较厚的砂石垫层时更适用于基床系数法。2、弹性地基梁模型及讨论(9/12)第十八页，共五十四页，2022年，8月28日3、半空间弹性地基模型将地基看成是匀质的线性变形的半空间体，利用弹性力学中的半空间弹性体理论建立的地基计算模型称为半空间弹性地基模型。

最常用的弹性半空间地基模型采用布辛奈斯克解，即当弹性半空间表面作用着集中力P时半空间体中任一点的应力和位移解。2、弹性地基梁模型及讨论(10/12)第十九页，共五十四页，2022年，8月28日弹性地基梁的受力和变形优点反映了地基的连续整体性，同时从几何上、物理上对地基进行了简化缺点弹性假设没有反映土壤的非弹性性质；均质假设没有反映土壤的不均匀性；半无限体的假设没有反映地基的分层特点；数学处理上比较复杂。2、弹性地基梁模型及讨论(11/12)第二十页，共五十四页，2022年，8月28日小结：

地基计算模型实际上具体描述了地基沉降与基底压力之间的关系。选用地基模型是地基上梁和板分析中的关键问题，应按地基的实际情况和模型的适用条件适当考虑。地基模型一经选定，则分析时都以下面两个条件为出发点:

（1）地基与基础始终保持接触，不得出现脱开的现象。这就是地基与基础之间的变形协调条件。（2）基础在外荷载和基底反力的作用下必须满足力平衡条件。根据这两个基本条件可以列出求解问题所需的微分方程式，然后结合必要的边界条件求解。2、弹性地基梁模型及讨论(12/12)第二十一页，共五十四页，2022年，8月28日3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（1/9）1、基本假定：地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的挠度处处相等；由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直；地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。第二十二页，共五十四页，2022年，8月28日2、弹性地基梁的一般方程由理论力学知道:平衡状态、稳定状态下的微元体上，在各种力作用下应有。由右下图中，对左下角点取矩得到，继而得到3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（2/9）第二十三页，共五十四页，2022年，8月28日取，得到：由材料力学可知：在图示坐标系下应为：故有：经变换得：弹性地基梁的基本微分方程式满足了两个基本条件：静力平衡条件和变形协调条件3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（3/9）第二十四页，共五十四页，2022年，8月28日式

是一个四阶、常系数、非齐次、线性偏微分方程，对应的齐次方程为式的特解为：式的通解为：3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（4/9）第二十五页，共五十四页，2022年，8月28日根据弹性地基梁的边界条件和连续性条件，确定积分常数求出梁的挠度方程之后，可依次得到：梁的轴线转角梁的截面弯矩梁的截面切力梁底地基反力3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（5/9）第二十六页，共五十四页，2022年，8月28日3、基床系数的求法（1）由定义及试验直接得到①由定义式中：--试验荷载和相应的沉降量②根据定义得到式中：E—地基的变形模量；H-地基压缩层厚度，根据文献H=（）b或H=（）b,b为基础宽度显然，这种估计适合于大、中型基础，b较大3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（6/9）第二十七页，共五十四页，2022年，8月28日3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（7/9）第二十八页，共五十四页，2022年，8月28日（2）根据试验结果并考虑基础大小、形状及埋置深度的修正详见：《工程地质手册》（第4版）

《工程地质手册》编委会编（此略）3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（8/9）第二十九页，共五十四页，2022年，8月28日（3）经验数据在土力学、基础工程、弹性地基梁、岩上工程的书上，通常都有基床系数k的经验数据。但我们不知道这些经验数据得来的背景和试验条件，所以不能简单的照搬和硬用，这些经验数据有参考价值，可以用于估算或用于初步设计。3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（9/9）第三十页，共五十四页，2022年，8月28日1、无限长梁受集中力作用

为系数，可查《弹性地基梁及矩形板计算》(中国船舶工业总公司第九设计研究院编，国防工业出版社，1983年)或《弹性地基梁的计算》(龙驭球编，高等教育出版社，1985年)。4、无限长梁及半无限长梁（1/12）第三十一页，共五十四页，2022年，8月28日4、无限长梁及半无限长梁（2/12）第三十二页，共五十四页，2022年，8月28日2、无限长梁受集中力偶作用4、无限长梁及半无限长梁（3/12）第三十三页，共五十四页，2022年，8月28日4、无限长梁及半无限长梁（4/12）第三十四页，共五十四页，2022年，8月28日4、无限长梁上局部受均布荷载的计算①所求截面处在均布荷载段内时②所求截面处在均布荷载段之外时上述两种问题的解答见同济大学编《多层及高层房屋结构设计》下册(上海科学技术出版社，1982年)。4、无限长梁及半无限长梁（5/12）第三十五页，共五十四页，2022年，8月28日5、半无限长梁，有限端自由并受集中力和力偶作用梁仅在荷载作用点的一侧满足条件，即属无限长梁，而在荷载作用点的另一侧则不满足，此时称为半无限长梁。因为梁上没有均布荷载，故有：4、无限长梁及半无限长梁（6/12）第三十六页，共五十四页，2022年，8月28日4、无限长梁及半无限长梁（7/12）第三十七页，共五十四页，2022年，8月28日6、半无限长梁在距梁端a处集中力或集中力偶时情况这种情况可查清华大学《弹性地基梁的计算》(龙驭球编，高等教育出版社，1985年)或查同济大学编《多层及高层房屋结构设计》(上海科学技术出版社，1982年)，都是实用数表。4、无限长梁及半无限长梁（8/12）第三十八页，共五十四页，2022年，8月28日7、半无限长梁，有限端铰支，全长受均布荷载座标系和荷载如下图示,因为梁上有均布荷载，所以应该用方程式(3-10)，即4、无限长梁及半无限长梁（9/12）第三十九页，共五十四页，2022年，8月28日4、无限长梁及半无限长梁（10/12）第四十页，共五十四页，2022年，8月28日8、半无限长梁，有限端固定，全长受均布荷载4、无限长梁及半无限长梁（11/12）第四十一页，共五十四页，2022年，8月28日9、有边载时的地基反力和梁的内力计算

在半无限长弹性地基梁中，当荷载作用在地基梁跨度以外(称边载)的地表面时，也会产生地基反力和梁的内力。计算见清华大学龙驭球《弹性地基梁的计算》(高等教育出版社，1985)中有关数表。4、无限长梁及半无限长梁（12/12）第四十二页，共五十四页，2022年，8月28日有限长梁

的计算实际的基础梁大多不能看成是无限长梁。对于有限长梁，要考虑荷载作用对梁端的影响。通常可利用无限长梁和叠加原理求得。基本思路：（1）把受有荷载的有限长梁Ⅰ

(实际梁)由A、B两端向外延伸到无限，这样形成无限长梁Ⅱ，此时梁Ⅱ上A、B两点的弯矩和剪力分别为Ma,Va。和Mb,Vb；（2）在梁且的A,B两点外侧，特意分别施加一对附加集中荷载MA、PA和MB、PB。(其正方向如图所示)，并要求这两对附加荷载在A,B截面中应生的弯矩和剪力分别等于-Ma，-Va和-Mb、-Vb。（3）根据梁端边界条件及叠加原理求解。因为实际上梁Ⅰ的两端是自由端，不存在任何内力。这样正好抵消了梁Ⅱ在外荷载作用下A,B两截面处的内力，其效果相当于把梁Ⅱ在A和B处切断。因此，有限长梁I的内力与无限长梁且在外荷载和附加集中荷载作用下叠加的结果相当。5、有限长梁的计算（1/4）第四十三页，共五十四页，2022年，8月28日由于PA、MA和PB、MB是为了梁且上实现梁I的边界条件所必须的附加荷载，所以叫作梁端边界条件。根据上述条件，有:5、有限长梁的计算（2/4）第四十四页，共五十四页，2022年，8月28日求解上式得：式中：5、有限长梁的计算（3/4）第四十五页，共五十四页，2022年，8月28日有限长梁的具体计算步骤

①把有限长梁Ⅰ延长到无限长，计算无限长梁Ⅱ上相应于梁Ⅰ两端的A和B截面由于外荷载引起的内力Ma,Va和Mb,Vb；②计算梁端附加荷载PA，MA和PB，MB;③再按叠加原理计算在已知荷载和虚拟荷载共同作用下梁Ⅱ上相应于梁Ⅰ各点的内力。这就是有限长梁I的解。5、有限长梁的计算（4/4）第四十六页，共五十四页，2022年，8月28日刚性梁的计算

当，是作用荷载作用点或荷载作用中心距梁端或距坐标原点的距离，此时称为刚性梁或短梁。很小，说明梁的EI很大，

很小，此时梁的刚度很大，不大可能弯曲(弹性变形)。当<0.5,甚至→0

时，称为绝对刚性梁。梁只能产生刚体的移动和转动，梁的位移(挠度)、地基的沉降、地基的反力分布均呈线性状态，适用地基反力的直线分布模型(理论、假定)。具体的分析计算方法有用倒梁法，也有用多跨静定梁法。倒梁法分析结果-M偏大(在跨中，基础结构的上表面，凸向上方)，静定梁法分析结果+M偏大(在柱位处，基础结构的下表面，凸向下方)。为了设计安全，在跨中、在柱位处都用最大值或偏大值，都按最大值配筋。这也不合理。倒梁法和静定梁法混着用，有待在实践中改进。6、刚性梁的计算(1/4)第四十七页，共五十四页，2022年，8月28日刚性梁简化计算方法采用基底压力呈直线分布假设，用倒梁法或静定分析法计算。简化计算方法仅满足静力平衡条件，是最常用的设计方法。简化方法适用于柱荷载比较均匀、柱距相差不大，基础对地基的相对刚度较大，以致可忽略柱间的不均匀沉降的影响的情况。静定分析法适用于上部结构刚度很小。倒梁法假定上部结构绝对刚性。6、刚性梁的计算(2/4)第四十八页，共五十四页，2022年，8月28日倒梁法（假定上部结构刚性）按柱的平面布置和构造要求确定条形基础长度L，根据地基承载力特征值确定基础底面积A，以及基础宽度B=A/L和截面抵抗矩。按直线分布假设计算基底净反力确定柱下条形基础的计算简图，系为将柱脚作为不动铰支座的倒连续梁。进行连续梁分析，可用弯矩分配法、连续梁系数表等方法。按求得的内力进行梁截面设计。翼板的内力和截面设计与扩展式基础相同。6、刚性梁的计算(3/4)第四十九页，共五十四页，2022年，8月28日静定分析法因为基础(包括覆土)的自重不引起内力，故可根据基