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文档简介

平面向量的数量积一．课标要求平面向量的数量积①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。二．命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~10分。平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主.三．要点精讲1．向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量与，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0≤≤180。（2）数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数（或内积）。规定；向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。（3）数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积.（4）向量数量积的性质①②或③④（5）平面向量数量积的运算律交换律成立：；对实数的结合律成立：；（6）两个向量的数量积的坐标运算①已知两个向量，则·=。②两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝0，③设，则或。A、B，那么(平面内两点间的距离公式).④向量的夹角：cos==。四．典例解析例1．判断下列各命题正确与否：（1）；（2）若，则（3）若，则当且仅当成立；（4）对任意向量都成立；（5）对任意向量，有。解析：（1）错；（2）错；（3）错；（4）错；（5）对。例2：（1）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角。（2）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角余弦值。（3）||=1，||=2，=+，且⊥，则向量与的夹角为（） A．30° B．60° C．120° D．150°解析：（1）；（2）由题意，，且与的夹角为，，，，同理可得。而，设为与的夹角，则。（3）C；设所求两向量的夹角为 即：所以点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握.例3．（1）（2022广东卷）已知向量与互相垂直，其中．求和的值；②若，求的值．解①∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.②（2）已知，其中。①求证：与互相垂直；②若与（）的长度相等，求。解析：①因为所以与互相垂直。②，，

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