专题1平面向量的概念及其线性运算精讲原卷版

专题6.1 平面向量的概念及其线性运算【考纲要求】.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念..向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等【知识清单】知识点1.向量的概念.向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模..零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的..单位向量：长度等于1个单位的向量..平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线..相等向量：长度相等且方向相同的向量..相反向量：长度相等且方向相反的向量.知识点2.平面向量的线性运算一.向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算巴a三角形法则a平行四边形法则(1)交换律：a+b=b+a；(2)结合律：(a+b)+c=a+(b^c)减法求a与b的相反向量—b的和的运算叫做a与b的差2ya三角形法则\二.向量的数乘运算及其几何意义.定义：实数力与向量0的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作相，它的长度与方向规定如下:①|加=|川|a|；②当丸＞0时，丸a的方向与a的方向相同；当丸＜0时，丸a的方向与a的方向相反；当丸=0时，丸a=0..运算律：设A,^是两个实数，则：

②(②(九+旦)a='a+旦a③X(a^b)=^a+入b.知识点3.共线向量共线向量定理：向量比"0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数九使得b=居.【考点梳理】考点一向量的有关概念【典例1】（2020•新泰市第二中学高一期中）下列命题中正确的个数有（）①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A.0 B.1 C.2 D.3【典例2】（2020•衡水市第十四中学高一月考）下列说法错误的是（）a.向量6r的长度与向量AO的长度相等B.零向量与任意非零向量平行C.长度相等方向相反的向量共线 D.方向相反的向量可能相等【易错提醒】1.有关平面向量概念的注意点⑴相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.⑵共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.⑶向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混淆.（4）两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点.⑸零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定，但方向不确定.【变式探究】1,给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若AB,C,D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|,则a>b；④入,为实数，若"=〃b，则a与b共线.其中假命题的个数为（）A.1 B.2C.3 D.4（2019•重庆高二期末）下列命题中，正确的个数是（）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a,b满足同>b且a与b同向，则a>b；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若a〃b,b//。，则a〃c.人・0个 B.1个 0.2个 D.3个【总结提升】,、,_,.一》a-一a一”. a 一〉 （1）非零向量a与E的关系：刀是与a同方向的单位向量，一|「是与a反方向的单位向量.⑵两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.⑶两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件.（4）几个重要结论①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性;②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.考点二平面向量的线性运算【典例3】（2020•湖南衡阳•三模（文））在平行四边形ABCD中，若CE=4ED，则BE=（）a—3Ab+Ad b4Ab-Ad c-Ab+4AD d-4Ab+AdTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".4 B5 C, 5 D. 5【典例4】（2018年新课标I卷理）在△48。中，AD为BC边上的中线，E为4。的中点，则EB=（ ）A.348-14。B.148-34。4 4 4 4C.3AB+14。D.148+34。4 4 4 4【规律方法】.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则..找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.【变式探究】（2018•广东高三会考）如图，o是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则下列等式正确的是I1B CA.DA-DC=AC b,DA+DC=DOC.OA-OB+AD=DB d,AO+OB+BC=AC(2019•广东高考模拟(理))已知A,B,C三点不共线，且点O满足16OA-12OB-3OC二。，则( )a.OA=12AB+3AC b.OA=12Ab-3AcC.OA=-12Ab+3AC D.OA=-12AB-3Ac【总结提升】平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.考点三利用向量线性运算求参数【典例5(2020•全国高一课时练习)已知X,y是实数,向量W,b不共线，若(%+y-1)a+(%-y)b=0,则％=,y=.【典例6】(2020・三亚华侨学校高一开学考试)已知四边形ABCD为正方形，BP=3CP,AP与CD交于点E，若PE=mPC+nPD，则m-n=.【总结提升】利用平面向量的线性运算求参数的一般思路⑴没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.⑵利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.⑶比较、观察可知所求.【变式探究】

1.（2019•山东高考模拟（文））在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE=九AB+四AC，则九十N的值为（）A.1BA.1B.2D.12.（2019•北京高考模拟（文））设E为，ABC的边AC的中点，BE=mAB+nAC，则m，n的值分别为（）2.A.-1，22,A.-1，22,-1-2，1d1，2考点四共线向量及其应用【典例7】设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b),求证：A,B,口三点共线;⑵试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.【典例8】（2020•上海高三专题练习）设£,b是不共线的两个向量，已知AB=2a+kb,BC=a+b,CD=a—2b若A、B、D三点共线，求k的值.【规律方法】1.平面向量共线定理的三个应用证明向量共线对于非零向量q,伍若存在实效人使a=Ab,则口与办共线证明三点共线若存在实数九使％至=4就.施与就有公共点A,则三点共线求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值2.求解向量共线问题的注意事项⑴向量共线的充票条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定⑴向量共线的充票条件中，当两向量共线时，系数法和方程思想的运用.⑵证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线⑵证明三点共线问题，可用向量共线来解决，且有公共点时，才能得到三点共线.⑶直线的向量式参数方程：A,P,⑶直线的向量式参数方程：A,P,8三点共线OP=(1—t)・OA+tOB(O为平面内任一点,t£R).【变式探究】.设卷3是不共线的两个向量，已知前=五+2江瓦^袤一跖，丽=-五+2讥则()A. 4、B、。三点共线 B. B、C、。三点共线C. 4、B、^三点共线 D. 4、C、。三点共线2.已知A,B,P三点共线，O为