考研函数图像大全

函数图形

基本初等函数

骞函数(1)

幕函数(3)

X

指数函数(2)

Observethat

y=/

limex-o

2y

limex-+oo

xf+8

7T

指数函数（3）

X

对数函数（1）

4

y

y=log,x

(a>1)

y=log,x

(0<<1)

三角函数（1）

三角函数（2）

y=tanx

三角函数（3）

y=cotx

三角函数（4）

y=secx

三角函数（5）

y=cscx

反三角函数（1）

y=arcsinx

反三角函数（2）

y=arcsinx

反三角函数（3）

y=arccosx

反三角函数（4）

y=arctanx

反三角函数（6）

y=tanx

Q<y<7r

反三角函数（8）

y=arctanx

71

limarctanx=-

x-—002

「冗

limarctanx=—

Xf+oo2

y=arccotx

双曲函数（i）

Hyperbolicsiney—sinhX

双曲函数（2）

y=sinhx

双曲函数（3）

Hyperboliccosiney—coshX

双曲函数（4）

双曲函数（5）

y=

sinhx

双曲函数（6）

Hyperbolictangenty=tanhX

双曲函数（7）

Hyperboliccotangenty=cothx

反双曲函数（1）

反双曲函数(3)

Inversehyperboliccosiney=arccoshx

反双曲函数(4)

o154

反双曲函数（5）

Inversehyperbolictangenty=arctanhx

反双曲函数（6）

y=arctaiihx

y-tanhx

y=sin(l/x)(1)

)=sin—(-1<x<1)

y=sin—(-0,1<x<0,1)

x

y=sin(l/x)(3)

j=sin—(-0.01<x<0,01)

y=sin-在原点附近无限振荡

x

y=[i/x](i)

Thuslimx[-]=1

x-0x

1

当X-o+时,2"是正无穷大

1

2

y=xsin(l/x)

limxsin—=0

xf°X

y=arctan(l/x)

y=el/x

y=sinx(\->°°)

绝对值函数y=冈

符号函数y=sgnx

取整函数y=[x]

极限的几何解释（1）

\/£>Q3^>0VXG(x0-J,x0)U(x0,x0+^)

=^>A-8</(%)</+£

极限的儿何解释（3）

\/s>Q.3X>0,Vx:x>X^>|/(x)-A<8

极限hm/(x)=A的几何解释

r->co

极限的性质（1）（局部保号性）

定理3（收敛函数的局部保号性）

若极限lim/（x）>0,则函数心）在x°

x-^x0

的某个邻域内是正的。

即以正数为

极限的函数

在％附近是

正的

极限的性质（2）（局部保号性）

定理3（收敛函数的局部保号性）

若极限lim/（x）<0,则函数/（x）在/

x-^x0

的某个邻域内是负的。

推论（收敛函数不等式性质）

若在X。的某个邻域内/（X）>o

则极限lim/（x）>0

极限的性质（4）（局部有界性）

推论（收敛函数的局部有界性）

若极限lim/（x）存在，则函数〃）在与

的某个邻域内有界。

极限的性质（5）（局部有界性）

若lim/（x）=A〉

x—>ooV50mx>0

则函数心）在某

7=VxG(-005-X)U(X,+8)

个集合{x||M>x}

=>/一£</(%)</+£

上有界。

两个重要极限

smx

Itseemsthatlim------=1

xf0

limsinx/x的一般形式

.1

sin

「sinx.

lim------=1二

KfO%lim—1

X

应从本质上认识这个极限

..「sma1

lima=0=>lim------=l

a

lim*l=l

(5()

X

y=(l+l/x)Ax⑵

lim(l+l/x)Ax的一般形式(1)

lim(l+与=elim(l+与=e

Xf8Xoon

1

lim(l+x)x=e

x->0

一般

7

lima=0nlim(l+cr)6Z=e

从本质上认识这个极限

lim(l+l/x)Ax的一般形式(2)

2

lima=0nlim(l+cr)a=e

i

lim(l+[])M=e

[]->o

lim(l+l/x)Ax的一般形式⑶

一般(可以证明)

kk

lim(l+-)x=*lim(l+-)/x=髀

x—>coVx—>coY

1J_

lim(l+Ax)x=elim(l+Ax)x=e,d

x—>0x->0

e的值(1)

>evalf(exp(1),10);2.718281828

>evalf(exp(1),100);

2.7182818284590452353602874713526624977572470936999

59574966967627724076630353547594571382178525166427

>evalf(exp(1),1000);

2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427427466391932

99218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891495

75092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618386062613313845830007520449338265

67371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499

68644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392398

33203625094431173012381970684161403970198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567173613320698

61818815930416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796104841984443634632449684875602336

1978623209002160990235304369941849146314093431738143640546253152096183690888707016768396424378140592714563549©

7208510383750510115747704171898610687396965521267154688957035035

e的值(2)

>evalf(exp(1),3000);

2.71828182845904523536028747135266249力572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320的Of

992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488M

7509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826560299

6737113200709328709127443747047230696977209310141692836819025515108657463772111252389784425056953696770785449969969

68644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392398294鸵

332036250944311730123819706841614039701983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125C

618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482V

197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130E

720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981933432106817012100562788023519303322M

5015853904730419957777093503660416997329725088687696640355570716226844716256079882651787134195124665201030592123669

94325278675398558944896970964097545918569563802363701621120477427228364896134225164450781824423529486363721417402英

344124796357437026375529444833799801612549227850925778256209262264832627793338656648162772516401910590049164499828^

50566047258027786318641551956532442586982946959308019152987211725563475463964479101459040905862984967912874068705CM

5858671747985466775757320568128845920541334053922000U378630094556068816674001698420558040336379537645203040243225t

35278369511778838638744396625322498506549958862342818997077332761717839280349465014345588970719425863987727547109^

374152111513683506275260232648472870392076431005958411661205452970302364725492966693811513732275364509888903136020C

481765851180630364428123149655070475102544650117272115551948668508003685322818315219600373562527944951582841882947C

10852639813955990067376482922443752871846245780361929819713991475644882626039033814418232625150974827987779964373OE

7038886778227138360577297882412561190717663946507063304527954661855096666185664709711344474016070462621568071748189

44371436988218559670959102596862002353718588748569652200050311734392073211390803293634479727355955277349071783793死

37012050054513263835440001863239914907054797780566978533580489669062951194324730995876552368128590413832411607226院

833053537087613893963917795745401613722361878936526053815584158718692553860616477983402543512843961294603529133259M

94904337299085731580290958631382683291477116396337092400316894586360606458459251269946557248391865642097526850823(X/

42545993769170419777800853627309417101634349076964237222943523661255725088147792231519747780605696725380171807763矶

62459278778465850656050780844211529697521890874019660906651803516501792504619501366585436632712549639908549144200CM

747608193022120660243300964127048943903971771951806990869986066365832322787

等价无穷小

(x->0)

sinx等价于x

「sinx,

重要极限hm-----=1

5x

smxi小

------elsinxx(zx—>0)

arcsinx等价于x

arctanx等价于x

1-cosx等价于xA2/2

1-cosx九2

lim=11-COSA：»—(x->0)

xf012

-x

2

sinx等价于x

数列的极限的几何解释

>0,BNeN,V/7:77>TV=>xn-A<s

极限!叫="的几何解释一

VCOJNEN

A-8<xu<A+s(〃=N+l,N+2,N+3,…)

A—£//+£

•e00000oo]o

再XN+1XN+3XN+2X2

即数列｛X"的项最终将进入，的任何事先给定的£邻

域，在这个邻域以外最多只有有限项。

海涅定理

函数极限与数列极限的关系

lim/(')=/的充分必要条件是

V{x}limx'=/nhmf(xJ=A

力f00%f00

渐近线

函数极限与数列极限的关系

limf(x)=A的充分必要条件是

V{x%}:limx”=%=>lim/(%)=Z

力f0000

水平渐近线

若limf(x)=A

Xf8一

则水平直线『=/为曲线,=/(x)的一条

水平渐近线。

铅直渐近线

若lim/(x)=oo

Xf丫0

则x=x0为v=a)的铅直渐近线

VerticalAsymptote

y=sinx/x(x->°°)

3

夹逼定理(1)

Geometricalinterpretationofthe

SqueezeTheorem

数列的夹逼性（i）

准则I（数列的夹逼准则）

⑴力〈X“<zw（n=1,2,3,...）

（2）limy”=Alimzn=A

77f877—>00

则limx”=A

nfs

示意图

数列的夹逼性（2）

注意：若limy=A<limz=B

nsn877

则不能形成夹逼:

pi是派的意思（如果你没有切换到公式版本）

“是次方的意思，

$是公式的标记符，切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了

1.诱导公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

$sin(pi/2-a)=cos(a)$

$cos(pi/2-a)=sin(a)$

$sin(pi/2+a)=cos(a)$

$cos(pi/2+a)=-sin(a)$

$sin(pi-a)=sin(a)$

$cos(pi-a)=~cos(a)$

$sin(pi+a)=~sin(a)$

$cos(pi+a)=~cos(a)$

2.两角和与差的三角函数

$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$

$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$

$sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)$

$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$

$tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(l-tan(a)tan(b))$

$tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))$

3.和差化积公式

$sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)$

$sin(a)-sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)$

$cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)$

$cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)$

4.积化和差公式(上面公式反过来就得到了)

$sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]$

$cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]$

$sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]$

5.二倍角公式

$sin(2a)=2sin(a)cos(a)$

$cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-l=l-2sin2(a)$

6.半角公式

$sin2(a/2)=(l-cos(a))/2$

$cos2(a/2)=(l+cos(a))/2$

$tan(a/2)=(l-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))$

7.万能公式

$sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan2(a/2))$

$cos(a)=(1-tan2(a/2))/(1+tan2(a/2))$

$tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan2(a/2))$

8.其它公式(推导出来的)

$a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a2+b2)sin(a+c)$其中$tan(c)=b/a$

$a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a2+b2)cos(a-c)$其中$tan(c)=a/b$

$l+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))2$

$l-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))2$

其他非重点

$csc(a)=l/sin(a)$

$sec(a)=l/cos(a)$

1三角函数的定义

1.1三角形中的定义

图1在直角三角形中定义三角函数的示意图

在直角二角形ABC,如下定义六个三角函数:

正弦函数

sniA=一

c

•余弦函数

b

CQ"=-

c

・正切函数

tanJ=-

b

•余切函数

cotA=-

•正割函数

c

酝c.4=—

b

•余割函数

c

CftJCJ=-

(7

1.2直角坐标系中的定义

图2在直角坐标系中定义三角函数示意图

在直角坐标系中，如下定义六个三角函数:

•正弦函数

曲1。二L

•余弦函数

coscz=—

・正切函数

tan(z=—

・余切函数

cot6Z=—

・正割函数

a«eccz=—

・余割函数

c??ca=-

2转化关系

2.1倒数关系

c»!c(z=l

co*a♦i?eca=1

tan(z»cota=l

2.2平方关系

1+tan2&=sed8

1+cot2S=CSJC26

sail2tz+co/cz=1

2和角公式

CC或CZ+/?)=COft?&COSp-疝1&疝1p

疝Ka+p)=Nin(/cot?fl