2023考研数学水平测试之线性代数测试(基础试题)(含详细答案)

2023考研数学水平测试之线性代数测试〔根底试题〕〔含详细答案〕一、单项选择题(本大题共10小题，每题2分，共20分)1．3阶行列式=中元素的代数余了式=〔〕A．-2 B．-1C．1 D．22．设矩阵A=，B=，P1=，P2=，那么必有〔〕A．P1P2A=B B．P2P1A=BC．AP1P2=B D．AP2P1=B3．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，那么B-1=〔〕A．A-1C-1 B．C-1A-1C．AC D．CA4．设3阶矩阵A=，那么A2的秩为〔〕A．0 B．1C．2 D．35．设是一个4维向量组，假设可以表为的线性组合，且表示法惟一，那么向量组的秩为〔〕A．1 B．2C．3 D．46．设向量组线性相关，那么向量组中〔〕A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7．设是齐次线性方程组Ax=0的一个根底解系，那么以下解向量组中，可以作为该方程组根底解系的是〔〕A． B．C． D．8．假设2阶矩阵A相似于矩阵B=，E为2阶单位矩阵，那么与矩阵E-A相似的矩阵是〔〕A． B．C． D．9．设实对称矩阵A=，那么3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的标准形为〔〕A． B．C． D．10．假设3阶实对称矩阵A=〔〕是正定矩阵，那么A的正惯性指数为〔〕A．0 B．1C．2 D．3二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)11．3阶行列式=6，那么=_______________.12．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，那么D3=__________________.13．设A=，那么A2-2A+E=____________________.14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的〔-2〕倍加到第1列得到矩阵B.假设B=，那么A=______________.15.设3阶矩阵A=，那么A-1=_________________.16.设向量组=〔a,1,1〕,=〔1,-2,1〕,=〔1,1,-2〕线性相关，那么数a=________.17.x1=(1,0,-1)T,x2=(3,4,5)T是3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，那么对应齐次线性方程组Ax=0有一个非零解向量=__________________.18.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为=(1，1)T,=(1，k)T，那么数k=_____________________.19.3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，那么|B+E|=_________.20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A=_____________.三、计算题〔本大题共6小题，每题9分，共54分〕21.3阶行列式=中元素的代数余子式A12=8，求元素的代数余子式A21的值.22.矩阵A，B=,矩阵X满足AX+B=X，求X.23.求向量组=(1,1,1,3)T，=(-1,-3,5,1)T，=(3,2,-1,4)T，=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.24.设3元齐次线性方程组，〔1〕确定当a为何值时，方程组有非零解；〔2〕当方程组有非零解时，求出它的根底解系和全部解.25.设矩阵B=，〔1〕判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；〔2〕假设B可与对角矩阵相似，求对角矩阵和可逆矩阵P，使P-1BP=26.设3元二次型,求正交变换x=Py,将二次型化为标准形.四、证明题〔此题6分〕27.A是n阶矩阵，且满足方程A2+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.参考答案一、单项选择题〔本大题共10小题，每题2分，共20分}1.C2.A3.D4.B5.C6.A7.B8.C9.D10.D1.【解析】2．【解析】此题考查的是矩阵的初等变换，是初等矩阵．表示矩阵作了一次l、2两行对换，故．令，那么P也是一个初等矩阵，PA就表示A作了一次1、2两行的对换，且将对换后的矩阵的第2行加到第1行得到的新矩阵，即，故此题正确选项为A．3．【解析】由于A.B、C均为可逆矩阵，且ABC=E，故，即，所以4．【解析】故的秩为1．7．【解析】选项A、C、D都线性相关，如A:D: 故此题选B．9．【解析】由实对称矩阵A可知：故二次型的标准形为二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕11． 12．-4 13． 14. 15． 16．-2 17．〔或官柏非震倍数〕18．-1 19．-4 20．11.【解析】因为故12.【解析】15．【解析】故16.【解析】由于向量组线性相关，令那么知a=-2．18.【解析】因为A是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以1×1+1×k-0故k=-1.19.【解析】因A～B，故A、B的特征值相同，那么B+E的特征值为1，-1，4，那么｜B+E｜=1×〔-1〕×4=-4．三、计算题〔本大题共6小题，每题9分，共54分〕20．解〔3分〕故z=-2．〔5分〕〔9分〕22．解由AX+B=X，得(E-A)X=B．〔2分〕又可逆，且〔6分〕所以〔9分〕23．解〔3分〕〔6分〕从而为一个极大无关组〔极大无关组不唯一〕〔8分〕且24．解(1)由方程组的系数行列式得a=-2或a=l，〔2分〕此时r(A)=2或r(A)=1，均小于3，方程组有非零解．〔4分〕(2)当a=-2时，得到根底解系〔5分〕此时全部解为〔A为任意常数〕；〔6分〕当a=l时，得到根底解系此时全部解为为任意常数〕．25．解(1)由得到B的特征值为对于，由于(E-B)x=0有两个线性无关解，故B有3个线性无关的特征向量，从而a可与对角矩阵相似．(2)对于，两个线性无关的特征向量为对于，对应的特征向量取，那么P可逆，