空间向量及向量的应用

空向及量应空间直角坐系的原则规定：一切间向量的点都是坐系原点，于是，空间任意一个向量它的终点标一一对。一个向量在角坐标系的坐标等表示这个向量的有向线段的终点的标减去起的坐标。设，，则：空间向量的角坐标运：空间两点间离：；空间线段

的中点M（，y，z）的坐标：；1利用间量明间置系（平向）2利用间量线角线角（）异面直线成角

设

分别为异面线

的方向向量则

（）线面角

设

是直线l的方向量，是平面法向量，则3利用间量二角其计算公式：设

分别为平面

的法向量，与

互补或相等操作方法：1．空间中各角包括：面直线所成的角、直线与平面所成角以及二角。（）异面直线成的角的围是

]

。转化为共问题。（）直线与平所成的角范围是[0,

]

。射影转化。（）二面角的围一般是

]

，解题时要意图形的置和题目要求。作二面角的平面角常有三种方法①棱上一点垂线法：面上一点垂线法：③空间一点垂面法：斜面面积和影面积的系公式：

S

(S为原斜面积S面积,为斜面与射影成二面角的平面角这公式对于面为三角,任意多边形都立是求二面角的方.当作二面角平面角有难,如果能找得面面积的影面,可直接应用公,求二面角的大。2．空间的距点线距，点距，线线，线面距面面距都是对应图形上两点间的最距离。3．空间向量应用

E（）用法向量异面直线的距离

ab

F

如右图所示a、b是两异直线是a和b的法量，点E∈aF∈b则异面直a与b之间的距是

d

；n（）用法向量点到平面距离如右图所示已知AB是平面的一条斜线，为面的向量，则A到平面的距离为

n

；（）用法向量直线到平间的距离首先必须确直线与平平行，然将直线到平面的距离问题转化成直上一点到面的距离题。（）用法向量两平行平间的距离首先必须确两个平面否平行这时以在一个平面上任取一点将平面间的离问题转成点到平的距离问题

A（）用法向量二面角

如图，有两平面与β分别作两个平面的向量n1

与

n

2

，则平面αβ成

CB的角跟法向n与n所成的角相或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是1角。（）法向量求线与平面成的角

α要求直线a与平面所的角，先求这个面α的向量直线a的夹的余弦或者。

a

，易知=

naα

β

ba22|ab2a2，m=·=b+·c211ba22|ab2a2，m=·=b+·c211112AB1111向量的应用例题1.在四边形ABCD中，

·BC=0，BC=

AD

，则四边形ABCD是A.直角梯形B.菱形C.形D.方形解析：由=0知AB⊥BC.由=AD知BC

AD.∴四边ABCD是矩形答案：C2.已ab是两个非向量，当a+tbt∈R的模取小值时，（）求t

的值；（2）求证：b⊥+tb）.解：（）设与的夹为，则|+|（a+=||+|b+2=|a|b+2a||b=|b++||sinθ，所以当=－

cos=－=－时，|a+|有最小值2|b（）证明：因b·（a）=b·－

b|

·b=a·b－ab，所以⊥（atb）.已知OA=aOB=b·b=|ab，当△AOB面积取最大时，求a与的夹.解：因为ab2=4所以a－2a·b2=4.以a|+||2=4+2·b=8，

=AOB

·OBsin=||1=2

||=

||b≤（

=

当且仅a|=||=2时取等）所以|ab时，△AOB的面积取最大值这时，cos

=

==，以θ=60.|b23.如图eq\o\ac(△,，)ABC的BC边的点为M利用向量明AB2+AC=22+2）证明：设=，=，=c则

bb112=2+2+AB·cos∠=2+2+··4244

AB

2

BCAB

2=

2+AC2+（2+2－2）.∴2=AB+AC－BC.4422又∵2=42，∴2+AC2=22+2）.4.已知A（4，），N10，若点满足

AN

·

AP

=6|

PN

|.（）求点P的轨迹程，并说该轨迹是什么曲线；（）求|PN|的取值围；（）若M－1，），求∠MPN在［0π上的取值范.

2PN|00002222≤MPN≤∴≤.1λ=3，即=3，=.1|AP|AP2PN|00002222≤MPN≤∴≤.1λ=3，即=3，=.1|AP|AP|AQ解：（）解设（（－PN（－－，AN（－0∵=6||∴－3（－）=6

1），即32+42=12.∴

=1.∴点轨迹是以（1）、（，）为焦点，轴长为4的椭.（圆右焦点为右准线到右准线的距为dx，=e=，|PN|=0）.

d0.∵－2x≤2，1||≤

当|PN|=1时，P（，0）当PN|=3，（－2，（）令||=（1≤≤3），则PM|=4－，MN|=2，cos∠=

|PN|PMMNPN||

=

tt）

=－.t4由1≤，得3（－t）4，∴

cos∠0∠5.如图，已知△ABC的点坐标依次A（1，0），B（，8），（，－4），在边AB上有一点P，其横坐标为，在AC上一点Q，线段PQ把ABC分成面积等的两部分.

解：设分的为，则4=1

|AB|1又

1212

||ACBAC|||

AB||3|=·=，∴=，即=2.AQ||设=2

QC

，则λ=2.∴=2Q

22

=5，y=Q

22

=－.∴（5，－）.6.已知a=（

2，），=（，－3），∈［－，4］（）求f（x）=·b的达式；（2求f（）的最小值并求此时a与的夹角.（）=a·b2·+·（－3=3+2－，∈［－，］（）f

（）=2+2－（+3）（－1）.－4（－