立体几何第六讲空间中的角

第六讲：间中的角（）二角一知点，本念1半平面：当两个平面相交时，我们往往画起一部分，就像一本翻开的书，我们把其中一部分叫做半平面。）二面角从一直出的个平形的形，如图为二面角

，二面角的大小指的是二面角的平面角的大分别在两个半平面内做交线的垂线条射线所成的角为二面角的平面角。，围

]特别：重合为0，共面为，即相当于把一张纸折叠后的两种极限情况。，骤一找，二证，三计算，二角平角定求面角大的键是明确构成二面角两个半平面和；明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关是看该角的两边是否都和棱垂直。二典例与读求解二面角是立体几何中最基本最重要的题型是各地高考中的热点问题虽然对此可说是“锤百炼”，我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的万变就是我研究的中心话.总的来说求解二面角的大体骤：“作求”其“作证”是键是点求依靠的计算，也决不能忽视，否因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之.定义即在二面角的棱上找一点（特殊二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角定法是众之源，万变不离其宗树高千叶归根求二面角的一切方法盖源出定义这个根！用定法，认观图的性例1在四棱锥P-ABCD中是正方形平面ABCDPA=AB=a二角B-PC-D的大小。-1-

、垂法已二角中个面一到个的线用垂定或定作二角平角例2在四棱锥P-ABCD中平行四边形PA平面ABCD，求二面角P-BC-A的大小。LA、垂法已二面内点两面垂时，两线平与个平的线成角为面，此知二角平角在平与棱直例3在四棱锥P-ABCD中ABCD是正形PA平面ABCD，求大小。

BHPA、影：用积影式SS其为平角大，方不在射图中出面；例4在四棱锥P-ABCD中ABCD为正方形，PA平面ABCDPA＝AB＝，求平PBA与平面PDC成二面角的大小。PAB

l-2-

练习，如图，长方体ABCD—BD中AA==2AD，点E、FG分是DD、AB、1111CC的中点，求二面角G-AF-D1

C

A

BD

C

F

，正方体ABCD-ABCD中求二面角A-BD-C的大小111A

DCBDAB

C三，难点突破二面角按有无交线和角可以分为交线有角有交线需要做角无交线也无角那么无交线一类一般都要难一些。例1：未角但知交线如图在多面体ABC-//B’CBC

'C

中平面AA’//BB’=

22

BC=2求证：’B

平面AA求证：’//平面’C求二面角C--A-3-

练习：，图，直三棱柱ABC

A1

的底面边长的3，侧棱

AA

=D是CB延长线上一点，且BD=BC.（1求证：直线

BC//平面BD1（2求二面角

——

的大小例2，未角未交本法是针对在解构成二面角的两半平面没有明确交线的求二面角题目时两平面的图形补充完整使之有明确的（称为补棱借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，般用补棱法解决如，边都是边为的方，，AE面ABCD，BG//AE且BG=1求面与平ABCD所成面的弦-4-

练：，如图所示，四棱底面ABCD是长为1的形BCD，是CD的中点，PA底面ABCD，PA＝2.（）证明：平面PBE面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角的大.

D

ECAB右图是一个直三（以ABC为底面被一平面所截得到的几何体截面为ABC已11知AB＝B＝lAB＝，AA＝4，CC＝．111ll1lll（1）设点O是中点，证明：OC平面ABC；1（2）求平面ABC与面B的面角大小；''（3）求此几何体的体积-5-

0000A1B1C1ABCA1B1C10000A1B1C1ABCA1B1C1ABCABCA1B1C1ABCA1B1C四，课后作业．二面角是指（）A两个平面相交所组成的图形B一平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C从个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平所组成的图形D从条直线出发的两个半平面所组成的图．在30的二面角的一个面内有一个，若它到另一个面的距离是，则它到棱的距离是()A5BC

10

D

．在直二面角α中ΔABC平面内，斜边BC在棱l上，若AB面β所的角为60，则AC与平面β所成的角为（）A30

0

B45

C60

0

D120．如下图（左线BDBABC两两互相直AB=BC=1BD=

，则弧度数为

的二面角是（）AD-AC-BBDA-BD-CADNBB

M

l

A．如上（右ABC在平面α射影AB，如ABC所在平面和平αθ角，1有ASθ