(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(四)导数运算法则新人教A版选修22

课时追踪检测（四）导数的运算法例层级一学业水平达标1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为()A．1B.2C．－1D．0分析：选A∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4分析：选Dy′＝[(x＋1)2]′(－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(－1)＋(x＋1)2xx＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.3．曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为()A．y＝2x＋2B．y＝2x－2C．y＝x－1D．y＝x＋1分析：选C∵f′( )＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)x的切线方程为y＝x－1.234.已知物体的运动方程为s＝t＋t(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为()1917A.4B.41513C.4D.4分析：选D∵s′＝2t－32，∴s′|t＝2＝4－3＝13.t445．设曲线y＝－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2，则＝()axxaA．0B．1C．2D．31分析：选Dy′＝a－x＋1，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．分析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴切线方程为－3＝2(x－1)，即2－＋1＝0.yxy答案：2x－y＋1＝011327．已知曲线y1＝2－x与y2＝x－x＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.分析：由题知y′1＝12，′2＝32－2x＋2，所以两曲线在x＝0处切线的斜率分别为12，xyxxx02302－20＋2－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.3x02x0答案：1ππ8．已知函数f(x)＝f′4cosx＋sinx，则f4的值为________．分析：∵f′( )＝－fπsinx＋cosx，′x4ππ22∴f′4＝－f′4×2＋2，π得f′4＝2－1.∴f(x)＝(2－1)cosx＋sinx.πf4＝1.答案：19．求以下函数的导数：2ex＋1(1)y＝xsinx；(2)y＝ex－1；x＋cosx(3)y＝x＋sinx；(4)y＝cosx·sin3x.解：(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.xx－1xx(2)y′＝e＋1ee＋1e－1x－12ex＝－2e2.ex－1(3)y′＝x＋cosxx＋sinxx＋cosxx＋sinxx＋sinx2＝1－sinxx＋sinxx＋cosx1＋cosxx＋sinx2－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1＝x＋sinx2.(4)y′＝(cosx·sin3)′x2＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的分析式．解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.9a＝2，c＝－2.∴函数f(x)的分析式为f(x)＝54－92＋1.2x2x层级二应试能力达标1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c知足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0分析：选B∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.2．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1分析：选C函数的导数为f′(x)＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1，当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2，应选C.3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且知足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝( )A．e－1B．－1C．－e－1D．－e分析：选C∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，1∴f′(x)＝2f′(e)＋x，11∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，应选C.ee34．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为()A．(－1,2)B．(1，－3)C．(1,0)D．(1,5)分析：选C33－1＝设点P的坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝4x－1，所以f′(x0)＝4x03，即x0＝1，把x0＝1代入函数f(x)＝x4－x得y0＝0，所以点P的坐标为(1,0)．5．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________．1分析：∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝x＋a，设切点为(x0，y0)，1则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且x0＋a＝2，1解之得a＝2ln2.1答案：2ln26．曲线y＝x在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的2x－1近来距离是____________．分析：y′＝－12，则y′|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即xx－1＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求近来距离为22－1.答案：22－17．已知曲线f()＝x3＋＋b在点(2，－6)处的切线方程是13－y－32＝0.xaxPx求a，b的值；1(2)假如曲线y＝f(x)的某全部线与直线l：y＝－4x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，由题意可得f′(2)＝12＋＝13，(2)＝8＋2＋＝－6，afab解得a＝1，b＝－16.1∵切线与直线y＝－4x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，2则f′(x0)＝3x0＋1＝4，∴x0＝±1.由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，4或y0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.y即y＝4x－18或y＝4x－14.8．设fn(x)＝x＋x2＋＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求fn′(2)；(2)证明：fn(x2内有且仅有一个零点(记为12n)在0，n)，且0＜n－＜n＋1.332解：(1)由题设fn′(x)＝1＋2x＋＋nxn－1.所以n′(2)＝1＋2×2＋＋(nnfn－1)2－2＋·2－1，①n2n－n－1n则2fn′(2)＝2＋2×2＋＋(1)2＋n·2，②①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋＋nn2－1－n·21－2nnn＝1－2－n·2＝(1－n)·2－1，所以f′(2)nn(2)因为f(0)＝－1＜0，22n231－32n22fn3＝2－1＝1－2×3≥1－2×3＞0，1－3因为x≥0，≥2.n所以fn(x