高三数学总复习选修41圆进一步认识教案新人教A版

2014届高三数学总复习选修4-1圆的进一步认识教学设计新人教A版考情剖析考点新知①理解圆的切线的判断定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，订交弦定理，割线掌握圆的切线的判断定理和性质定理，弦切定理，切割线定理和圆内接四边形的判断定角定理割线定理，切割线定理和圆内接四边理与性质定理.形的判断定理与性质定理，能用这些定理解②能应用圆的切线的判断定理和性质定理，决相关圆的问题．圆周角定理，弦切角定理，订交弦定理，割.线定理，切割线定理和圆内接四边形的判断定理与性质定理解决与圆相关的问题如图，点P在圆O直径AB的延伸线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，求PC和CD的长．2解：由切割线定理得PC＝PB·PA＝12，∴PC＝23，连接OC，1则OC＝2OP，∠P＝30°，1CD＝2PC＝3.如图，AC为圆O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC＝2，PA＝8，求tan∠ACD的值．解：由订交弦定理和垂径定理得BP2＝PC·PA＝16，BP＝4.∵AP8∠ACD＝∠ABP，∴tan∠ACD＝tan∠ABP＝BP＝4＝2.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，求圆O的面积．解：(解法1)连接OA、OB，则∠AOB＝90°.AB＝4，OA＝OB，∴OA＝22，则S圆＝π×(22)2＝8π.42(解法2)2R＝sin45°＝42R＝22，则S圆＝π×(22)8π.如图，点B在圆O上，M为直径AC上一点，BM的延伸线交圆

O于N，∠BNA＝45°，若圆

O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．解：∵∴BM＝4.∵

∠BNA＝45°，∴BM·MN＝CM·MA＝

∠BOA＝90°.(23＋2)(2

∵OM＝2，BO＝23，3－2)＝8，∴MN＝2.如图，已知P是圆O外一点，PD为圆O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝43，求圆O的半径长和∠EFD的大小．216×32PD解：由切割线定理，得PD＝PE·PFPE＝PF＝12＝41EF＝8，OD＝4.∵OD⊥PD，OD＝2PO，∴∠P＝30°，∠POD＝60°，∴∠PDE＝∠EFD＝30°.圆周角定理圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半．推论1：同弧(或等弧)上的圆周角相等．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．半圆(或直径)上的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弦为直径．圆的切线圆的切线的性质与判断①切线的定义：当直线与圆有2个公共点时，直线与圆订交；当直线与圆有且只有1个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．②切线的判断定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．③切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．④切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．弦切角①弦切角的定义：极点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆订交的角称为弦切角．②弦切角定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．③推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．订交弦定理订交弦定理：圆的两条订交弦，被交点分红的两段的积相等．切割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等．切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项．圆内接四边形圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补．圆内接四边形判断定理：假如四边形的对角互补，则此四边形内接于圆．[备课札记]题型1探究角的关系例1如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延伸线订交于点E，EF垂直BA的延伸线于点F.求证：∠DEA＝∠DFA.证明：连接AD，由于AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A、D、E、F四点共圆．所以∠DEA＝∠DFA.备选变式（教师专享）(2011·南通三模)如图，圆O的直径AB的延伸线与弦CD的延伸线订交于点P，E为圆O上一点，AE＝AC，求证：∠PDE＝∠POC.证明：由于AE＝AC，AB为直径，故∠OAC＝∠OCA＝∠OAE.所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA＝∠OAC＋∠OAE＝∠EAC.又∠EAC＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC.题型2求线段长度例2如下图，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延伸线于点F，FG切圆O于点G.求证：△DEF∽△EFA；假如FG＝1，求EF的长．证明：由于EF∥CB，所以∠BCE＝∠FED.又∠BAD＝∠BCD，所以∠BAD＝∠FED.又∠EFD＝∠EFD，所以△DEF∽△EFA.EFFD解：由(1)得FA＝EF，即EF2＝FA·FD.由于FG是切线，所2以FG＝FD·FA，所以EF＝FG＝1.变式训练如图，圆O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延伸BC到点D，使CD＝AC，连接AD交圆O于点E，连接BE与AC交于点F.判断BE能否均分∠ABC，并说明原因；若AE＝6，BE＝8，求EF的长．解：(1)BE均分∠ABC.CD＝AC，∴∠D＝∠CAD.AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∠EBC＝∠CAD，∴∠EBC＝∠D＝∠CAD.∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ACB＝∠D＋∠CAD，∴∠ABE＝∠EBC，即BE均分∠ABC.由(1)知∠CAD＝∠EBC＝∠ABE.∵∠AFE＝∠ABE，AEEF∴△AEF∽△BEA.∴＝.BEAEAE＝6，BE＝8，AE2369EF＝BE＝8＝2.题型3证明线段相等例3如图，在△ABC中，已知CM是∠ACB的均分线，△AMC1的外接圆交BC于点N.若AC＝2AB，求证：BN＝2AM.ACAM证明：在△ABC中，由于CM是∠ACB的角均分线，所以＝.BCBM1AB2AM又已知AC＝AB，所以＝.①2BCBM又BA与BC是圆O过同一点B的割线，所以BM·BA＝BN·BC，即BABN＝.②BCBM由①②可知，2AMBN＝，所以BN＝2AM.BMBM备选变式（教师专享）如图，圆O的直径AB＝25，C是圆O外一点，AC交圆O于点E，BC交圆O于点D，已知AC＝AB，BC＝4，求△ADE的周长．解：∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BC.又AC＝AB，∴AD是△ABC的中线．又BC＝4，∴BD＝DC＝2，2AD＝AB－BD＝4.45由CE·CA＝CD·CB，得CE＝5.456∴AE＝25－5＝55.由∠DEC＝∠B＝∠C，所以DE＝DC＝2.5则△ADE的周长为6＋5.题型4证明线段成比率例4如图，在△ABC中，∠B＝90°，以AB为直径的圆O交AC于D，过点D作圆O的切线交BC于E，AE交圆O于点F.求证：E是BC的中点；AD·AC＝AE·AF.证明：(1)连接BD，由于AB为圆O的直径，所以BD⊥AC.又∠B＝90°，所以CB切圆O于点B且ED切圆O于点D，所以EB＝ED，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE＋∠EDB＝90°＝∠EBD＋∠C，所以∠CDE＝∠C，得ED＝EC，所以EB＝EC，即E是BC的中点．连接BF，明显BF是Rt△ABE斜边上的高，可得ABAE△ABE∽△AFB，于是有AF＝AB，即AB2＝AE·AF，同理可得AB2＝AD·AC，所以AD·AC＝AE·AF.备选变式（教师专享）如图，PA切圆O于点A，割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的角均分线分别与AB、AC订交于点D、E，求证：AD＝AE；AD2＝DB·EC.证明：(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.由于PE是∠APC的角均分线，所以∠EPC＝∠APD.又PA是圆O的切线，故∠C＝∠PAB.所以∠AED＝∠ADE.所以AD＝AE.(2)∠PCE＝∠PAD，△PCE∽△PADEC∠CPE＝∠APDAD＝PC∠PEA＝PDB，△PAE∽△PBDAEPA.∠APE＝∠BPD＝.又PA是切线，PBCPADBPB2PAPCECAE2是割线PA＝PB·PCPB＝PA.故AD＝DB.又AD＝AE，所以AD＝DB·EC.(2013·广东)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延伸BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的值．解：依题意易知△ABC∽△CDE，所以ABBC＝，又BC＝CD，所CDDE2以BC＝AB·DE＝12，进而BC＝23.2.(2013·重庆)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，求DE的长．解：延伸BA交切线CD于M.由于∠C＝90°，所以AB为直径，所以半径为10.连接OC，则OC⊥CD，且OC∥BD.由于∠OAC＝60°，所以∠AOC＝60°，∠OBE＝60°，即BE＝OB＝10且∠M＝30°.所以OM＝2OC＝20，所以AM＝10.110＋20所以BD＝2(AM＋AB)＝2＝15，即DE＝BD－BE＝15－10＝5.(2013·江苏)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连接OD，∵AB、BC分别与圆O相切于点D、C，∴∠ADO＝∠ACB＝90°.∵∠A＝∠A，Rt△ADO∽Rt△ACB.BCAC∴＝.ODADBC＝2OC＝2OD，∴AC＝2AD.(2013·新课标Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角均分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.证明：DB＝DC；设圆的半径为1，BC＝3，延伸CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．证明：连接DE，交BC与点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.DB⊥BE，DE是直径，∠DCE＝90°.由勾股定理可得DB＝DC.解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，BD＝DC，故DG是BC的中垂线，3BG＝2.设DE中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，∴CF⊥BF，3∴Rt△BCF的外接圆半径等于2.如图，圆O与圆O′内切于点T，点P为外圆O上随意一点，PM与内圆O′切于点M.求证：PM∶PT为定值．证明：设外圆半径为R，内圆半径为r，作两圆的公切线TQ.2设PT交内圆于C，连接OP，O′C，则PM＝PC·PT，2PMPC·PTPC所以PT2＝PT2＝PT.由弦切角定理知∠POT＝2∠PTQ，∠CO′T＝2∠PTQ，则∠POT＝∠CO′T，所以PO∥CO′，PC所以PT＝

OO′OT

＝

R－rR

PM，即PT＝

R－rR

，为定值．如图，弦AB与CD订交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延伸线订交于点P.已知PD＝2DA＝2,求PE.解：∵BC//PE∴∠BCD＝∠PED.且在圆中∠BCD＝∠BADPEPD2∠PED＝∠BAD.△EPD∽△APEPA＝PEPE＝PA·PD＝3·2＝所以PE＝6.如图，正三角形ABC外接圆的半径为1，点M、N分别是边AB、AC的中点，延伸MN与△ABC的外接圆交于点P，求线段NP的长．x解：设正三角形ABC的边长为x，由正弦定理，得sin60°＝2，所以x＝3.延伸PN交圆于Q，则NA·NC＝NP·NQ.设NP＝t，则t·t＋3＝3215－315－3.所以t＝，即NP＝.2244如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角均分线，DE⊥BE交AB于D，圆O是△BDE的外接圆．求证：AC是圆O的切线；假如AD＝6，AE＝62，求BC的长．证明：连OE，∵BE⊥DE，∴O点为BD的中点．∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE.∵∠OEC＝∠OEB＋∠CEB＝∠OBE＋∠CEB＝∠CEB＋∠CBE＝90°，即OE⊥AC.又E是AC与圆O的公共点，∴AC是圆O的切线．解：∵AE是圆的切线，∴∠AED＝∠ABE.又∠A共用，∴△ADE∽△AEB，ADAE662AE＝AB，即62＝AB，解得AB＝12，∴圆O的半径为3.又∵OE∥BC，∴OEAO39＝，即＝，解得BC＝4.BCABBC12几个重要定理的符号语言及图形订交弦定理：圆内的两条订交弦，被交点分红的两条线段长的乘积相等．符号语言：∵在圆O中，弦AB、CD订交于点P，PA·PB＝PC·PD.(图①)图形