新高考数学小题狂练3含解析

PAGEPAGE16小题狂练（3）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，，则．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的可加性，即可证明充分性成立；再根据作差法和不等式的性质，即可证明必要性成立.【详解】若，则，所以，充分性成立．若，则，即，又，所以，所以，即，必要性成立．故“”是“”的充要条件．故选:C.【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断，以及不等式性质的应用，属于基础题.3.函数的图象大致为（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值对选项惊喜排除，由此确定正确选项.【详解】由得的定义域为，因为，所以函数为奇函数，排除A，D；由题易知，图中两条虚线的方程为，则当时，，排除C，所以B选项符合.故选：B【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.4.函数定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式知，解不等式组即可得定义域【详解】由函数，知解之得：故选：B【点睛】本题考查了函数的表示，根据函数解析式的性质求函数的定义域，属于简单题5.若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】【分析】分类讨论、分别对应单调减函数、单调增函数，结合已知最值情况即可求m的值；【详解】函数在上：当时，单调递减：最大值为，最小值，即有；当时，单调递增：最大值为，最小值，即有；综上，有或；故选：D【点睛】本题考查了指数函数的性质，根据指数函数的单调性，结合已知最值求参数值，属于简单题.6..若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数函数的性质求解．【详解】∵，∴0＜＜1，0＜＜1，∵2＞1，要使logb2＜0∴0＜＜1，∵，∴＞，且0＜＜1，∴．故选B．【点睛】本题考查两个数的大小的比较，注意对数函数的性质的合理运用，属于基础题．7.已知函数，若，则不等式的解集（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用已知条件求出的值，然后分类讨论解不等式即可.【详解】因为，所以，所以，所以，当时，由，解得，所以；当时，由，解得，故的解集为．故选：D.【点睛】本题主要考查了利用分段函数解不等式的问题.属于较易题.8.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，可以把细颗粒物进行处理．已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，则每吨细颗粒物的平均处理成本最低为（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】B【解析】【分析】列出处理成本函数，然后由基本不等式求最小值，并得出取最小值时处理量．【详解】依题意，，记每吨细颗粒物的平均处理成本为，则．∵，当且仅当，即时取等号，∴当时，取最小值，最小值为（元）.故选：B.【点睛】本题考查基本不等式在函数中的应用，解题关键是列出函数关系式．属于较易题.二、多项选择题．9.下列命题正确的是（）A.在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小B.已知，当不变时，越大，的正态密度曲线越矮胖C.若在平面内存在不共线的三点到平面的距离相等，则平面平面D.若平面平面，直线，，则【答案】AB【解析】【分析】对选项A，根据独立性检验的原理即可判断，对选项B，根据正态曲线的几何特征即可判断，对选项C，D，利用面面和线面的位置关系即可判断.【详解】对选项A，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故A正确.对选项B，根据正态曲线的几何特征，即可判断B正确.对选项C，当平面与平面相交时，在平面内存在不共线的三点到平面的距离相等，故C错误.对选项D，若平面平面，直线，，则直线有可能在平面内，故D错误.故选：AB【点睛】本题主要考查了独立性检验和正态分布，同时考查了线面和面面的位置关系，属于简单题.10.已知函数（）A.为的周期B.对于任意，函数都满足C.函数在上单调递减D.的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】A.由函数周期定义判断是否满足；B根据诱导公式判断是否满足；C.根据定义域，化简函数，并判断函数的单调性；D.在一个周期内，分和两种情况讨论函数，并判断函数的最小值.【详解】A.，即，所以为的周期，故A正确；B.，，所以，故B正确；C.当时，，此时，而，故C正确；D.由A可知函数的周期是，所以只需考查一个周期函数的值域，设，当时，，，，即，当时，，，，即，所以时，的最小值为-1，故D不正确.故选：ABC【点睛】本题考查三角函数的性质，重点考查诱导公式，周期性，函数的单调性和最值，属于中档题型.11.关于函数，下列判断正确的是（）A.函数的图像在点处的切线方程为B.是函数的一个极值点C.当时，D.当时，不等式的解集为【答案】ACD【解析】【分析】先对函数求导，得到，求出函数的图像在点处的切线方程，即判断A；根据时，恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出时，的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，，所以，因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故A正确；当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；当时，，由得；由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；因此，即；故C正确；当时，上恒成立，所以函数在上单调递减；由可得，解得：，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型.12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则（）AB.双曲线的离心率C.双曲线的渐近线方程为D.原点在以为圆心，为半径的圆上【答案】ABC【解析】【分析】根据双曲线的定义求出焦点弦长与实半轴长的关系，然后计算离心率，求渐近线方程，同时在假设D正确的情况下，出现矛盾的结论，最终得出正确选项．【详解】如图，设，则，所以，，，所以，∴，A正确；，，在中，，在中，，即，，所以，B正确；由得，，渐近线方程为，C正确；若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，，与B矛盾，不成立，D错．故选：ABC．【点睛】本题考查双曲线的焦点弦有关问题，解题关键是利用双曲线的定义把焦点弦焦半径用表示．从而寻找到的选题关系可求得离心率和渐近线方程．三、填空题．13.已知数列中，，，则______．【答案】16【解析】【分析】直接由递推式逐一计算得出．【详解】由题意，，，，．故答案为：16．【点睛】本题考查数列的递推公式，由递推公式求数列的项，如果项数较小，可直接利用递推公式逐一计算，如果项数较大，则需要从递推式寻找到规律，或求出通项公式，再去求某一项．14.四张卡片上分别写有数字3、4、5、6，甲、乙、丙、丁四名同学各取走一张，若甲、乙两名同学卡片上的数字都是偶数，甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于9，则______同学卡片上的数字最小．【答案】丁【解析】【分析】根据题意，先得到甲的卡片数字只能是6，从而可分别得出其他同学的卡片数字，进而可得出结果.【详解】由题意，因为甲、乙两名同学卡片上的数字都是偶数，所以甲的是4、乙的是6，或乙的是4、甲的是6；又甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于9，则甲的卡片数字只能是6，所以乙的是4，丙的是5，故丁的是3.即丁同学卡片上的数字最小.故答案为：丁.【点睛】本题主要考查合情推理，根据题中条件合理推断即可，属于基础题型.15.已知，其中，则______．【答案】3【解析】【分析】是的系数，由多项式乘法结合二项式定理可得．【详解】由题意展开式中的系数为，解得．故答案为：3．【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键．对两个多项式相乘，注意乘法法则的应用．16.在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为棱上的动点，则的最大值为______，若点为棱的中点，三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】连接交于点，根据正方体的特征，得到，为的中点，点到直线的距离最大为，由题中数据，求出，得到当点与点重合时，的面积最大；再由，即可求出的最大值；若点为棱的中点，连接交于点，连接，则点为右侧面的中心，取左侧面的中心为点，连接，记的中点为，则为正方体的中心，连接，则，得到的外接圆圆心为点，根据球的结构特征，得到三棱锥外接球的球心在直线上，记作点，连接，，设三棱锥外接球的半径为，根据题中条件，列出方程求解，即可得出，从而可求出球的表面积.【详解】连接交于点，因为四边形是正方形，，分别为棱，的中点，所以易得，，为的中点，且正方形中，点到直线的距离最大为，又正方体的棱长为，所以，，因此，所以，所以，又点为棱上的动点，所以当点与点重合时，的面积最大，为；因为正方体中，平面，所以平面，又，所以；若点为棱的中点，连接交于点，连接，则点为右侧面的中心，取左侧面中心为点，连接，记的中点为，则为正方体的中心，连接，则，因为为棱的中点，