2022年江苏省南京市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022年江苏省南京市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.A.A.5B.3C.-3D.-5

3.设Y=e-3x，则dy等于()．

A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

4.A.f(1)－f(0)

B.2[f(1)－f(0)]

C.2[f(2)－f(0)]

D.

5.A.0或1B.0或-1C.0或2D.1或-1

6.

7.微分方程y'+y=0的通解为()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

8.（）。A.e-6

B.e-2

C.e3

D.e6

9.下列命题正确的是（）．A.A.

B.

C.

D.

10.

11.A.A.较高阶的无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.较低阶的无穷小量

12.

13.

14.（）。A.e-2

B.e-2/3

C.e2/3

D.e2

15.

A.6xarctanx2

B.6xtanx2＋5

C.5

D.6xcos2x

16.

17.

18.

19.

20.

二、填空题(20题)21.设区域D由曲线y=x2，y=x围成，则二重积分

22.

23.

24.

25.

26.设y=sinx2，则dy=______．

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.设y=，则y=________。

35.

36.37.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.

42.

43.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

44.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

45.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

46.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

47.证明：

48.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

49.

50.

51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

52.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

53.

54.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

55.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

56.

57.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

58.求微分方程的通解．

59.

60.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

四、解答题(10题)61.

62.

63.求由曲线y=3-x2与y=2x，y轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．

64.

65.

66.

67.

68.

69.设z=xsiny，求dz。

70.

五、高等数学(0题)71.求

的极值。

六、解答题(0题)72.证明:ex＞1+x(x＞0).

参考答案

1.D

2.Cf(x)为分式，当x=-3时，分式的分母为零，f(x)没有定义，因此

x=-3为f(x)的间断点，故选C。

3.C

4.D本题考查的知识点为定积分的性质；牛顿－莱布尼茨公式．

可知应选D．

5.A

6.C解析：

7.D可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解。解法1将方程认作可分离变量方程。分离变量

两端分别积分

或y=Ce-x解法2将方程认作一阶线性微分方程．由通解公式可得解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为r+1=0，特征根为r=-1，方程通解为y=Ce-x。

8.A

9.D本题考查的知识点为收敛级数的性质和绝对收敛的概念．

由绝对收敛级数的性质“绝对收敛的级数必定收敛”可知应选D．

10.C解析：

11.C本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．

12.D解析：

13.A

14.B

15.C

16.C

17.B

18.B

19.A

20.C

21.本题考查的知识点为计算二重积分．积分区域D可以表示为：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此

22.

23.

24.

25.3yx3y-13yx3y-1

解析：

26.2xcosx2dx本题考查的知识点为一元函数的微分．

由于y=sinx2，y'=cosx2·(x2)'=2xcosx2，故dy=y'dx=2xcosx2dx．

27.

28.

29.

30.00解析：

31.

32.本题考查的知识点为换元积分法．

33.

34.

35.

36.

37.F(sinx)+C

38.1/61/6解析：

39.0

40.

41.

42.由一阶线性微分方程通解公式有

43.函数的定义域为

注意

44.

45.

46.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

47.

48.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

49.

50.

51.

52.由二重积分物理意义知

53.

54.

列表：

说明

55.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

56.

57.

58.

59.

则

60.由等价无穷小量的定义可知

61.

62.

63.所给曲线围成的平面图形如图1-3所示．

解法1利用定积分求平面图形的面积．由于的解为x=1，y=2，可得

解法2利用二重积分求平面图形面积．由于

的解为x=1，y=2，

求旋转体体积与解法1同．本题考查的知识点有两个：利用定积分求平面图形的面积；用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积．

本题也可以利用二重积分求平面图形的面积．

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

∴I"(x)=x(x一1)=0；驻点