傅立叶谱与反应谱

一个简单的简谐振动合成任意振动的例子一般情况，变化非常复杂的物理量难以直接定量分析，将复杂的现象分解为许多简单现象的合成，化繁为简，化难为易。什么是频谱？频谱是针对以时间为自变量的物理量变化函数而言，例如将任意复杂的振动分解为不同频率的简谐分量。如同白光能分解为各种频率的彩色光一样，任何复杂的地震动也都可以分解为许多简谐振动，这些简谐振动的振幅、初相位随频率变化。

时域和频域：时程和频谱不同频率信号的时域图和频域图复杂周期信号波形从一般信号分析（数学化）的观点来看：连续信号与离散信号周期信号与非周期信号周期信号：连续信号f(t)0t0tf(t)f0f1f2离散信号01234-1tf(tk)(3)(2)(4.5)(1.5)(6)(-1)

将振动信号（或任意变化的函数）分解为简谐振动（三角函数）的过程称为傅立叶（Fourier）分解。得到振幅和相位随频率变化的关系称为傅里叶谱，包括振幅谱和相位谱，统称(大多指振幅谱)为频谱，完成分解的运算称为傅立叶变换。

振动时程各不相同，傅里叶谱也互相各异，有各自的特点，即频谱特性。振动信号的频谱有重要的物理意义和应用。一、傅傅里叶叶谱在数学学上可可将任任意变变化的的周期期函数数分解解为正正弦或或余弦弦变化化的三角函函数（称为为简谐谐函数数）之之和，，分解解是通通过傅傅立叶叶展开开或傅傅立叶叶变换换完成成的。。对随时时间任任意变变化的的物理理量，，分解解具有有物理意意义：例如如对振振动信信号来来说，，时间间变量量的三三角函函数表表示简简谐振振动，，这种种分解解就是是将复复杂的的地震震动化化为无无数简简谐振振动之之和。。法国国数学学家傅傅立叶叶（J.Fourier）首先先研究究将任任意函函数分分解为为三角角级数数之和和的方方法和和条件件，并并建立立数学学基础础，后后人发发展并并以其其名字字命名名，称称为傅立叶叶级数数。埃森特特罗地地震记记录南南北分分量时时程（（上））与傅傅立叶叶振幅幅谱（（左下下）和和相位位谱（（右下下）傅里叶叶谱是是复数数，由由实部部和虚虚部组组成，，它的的模称称为幅幅值谱谱，幅幅角为为相位位谱实际上上地震震动时时程无无法用用解析析函数数表示示，因因此要要用离离散方方法做做数值值计算算可得解释：：1）称称为采采样间间隔，，时间间步距距；为为频率率间隔隔，或或频率率的分分辨率率。2）频率的的分辨辨率取取决于于时间间步距距，间间隔越越小，，或时时间步步距固固定，，则采采样点点（可可以补补零））越多多，频频率分分辨率率越高高。3）时间间分割割和频频率分分割精精度互互相矛矛盾，，是测测不准准原理理的体体现。。4）由于于（（共共轭）），故故为为对称称点，，称为为折叠叠频率率，可得若给定定时间间序列列的采采样间间隔则从采采样后后的离离散信信号中中所能能分辨辨出的的最高高频率率就是是折叠叠频率率：称为采样定定理，折叠叠频率率亦称称奈奎斯斯特频频率（（Nyquistfrequency）例如加加速度度时程程的时时间步步距为为0.01sec，则离离散傅傅里叶叶谱的的有效效高频频为50Hz。加速度度振幅幅谱特特点：：1）开始始（频频率小小)很小，，迅速速增大大，然然后减减小，，高频频和低低频都都小，，意味味某个个频段段幅值值大，，这些些振动动分量量强2）主要分分量在在0—10Hz之间3）因为是是离散散计算算，曲曲线毛毛刺多多，可可以平平滑化化，如如红线线示意意。2、用严严格的的数理理方法法求解解结构构地震震反应应时，，简谐谐振动动反应应容易易求解解。对对线性性体系系，先先求解解每个个简谐谐振动动的反反应，，再叠叠加求求得总总体反反应的的方法法，比比直接接求解解便利利得多多；分解对对研究究地震震动特特性具具有重重要的的意义义1、它定定量揭揭示地地震动动的动动力特特性。。以不不同频频率分分量的的表现现来研研究地地震动动及其其对结结构的的作用用，是是动力力分析析的特特点；；3、频谱谱分析析的结结果可可以方方便地地在结结构抗抗震、、基础础隔震震等工工程问问题中中应用用。二、反反应谱谱（地震工工程的的灵魂魂）回顾单单自由由度的的地震震反应应分析析，这这是结结构地地震反反应分分析最最简单单，最最本质质的分分析模模型。。mkc此时没没有外外力作作用，，结构构随地地面一一起运运动，，位移移是（（x+y），x，y分别为为相对对位移移和牵牵连位位移。。mkxcmkxc此时结结构加加速度度为mkxc绝对位位移：：x+y，相对对位移移：x地震反反应振振动方方程此解称称为杜哈梅梅积分分。如何估估计结结构地地震反反应？？方法：：解单单质点点对地地震动动的反反应只选取取加速速度最最大值值加速度度乘以以质量量就是是惯性性力与重力力之比比称为为地震震系数数基于两两个简简化：：1）结构构体系系模型型用单单质点点模型型，计计算简简单2）用一一个不不变的的（静静）力力表示示，便便于设设计应应用反应谱谱就是以以不同同单质质点自自振频频率（（或周周期））为横坐标标，反应应最大大值为为纵坐标标画出的的曲线线，因因为与与频率率（周周期））对应应，亦亦是谱谱的一一种。。反应谱谱表征征了地地震动动加速速度时时间过过程作作用于于单自自由度度弹性性体系系的最最大反反应（（加速速度、、速度度和位位移））随体体系的的自振振特性性（周周期、、阻尼尼比））变化化的函函数关关系。。表示地地震反反应的的物理理量不不同，，反应应谱的的形式式也不不同，，如加加速度度、速速度、、位移移等位移反反应谱谱；速度反反应谱谱；加速度度反应应谱（（绝对对）反应谱谱计算算公式式：对反应应谱的的注释释：反应谱谱是单单自由由度体体系对对地震震动输输入的的地震震反应应的最大值值；反应谱谱反映映的是是地震动动的频频谱特特性；；反应谱谱还与与体系系的阻尼比比有关关。在反反应谱谱计算算中大大多取取值0.05，有时时也取取值0、0.02和0.10；在反应应谱计计算公公式的的推导导中还还隐含含了“刚性地地基”的假定定。正规化化（标标准化化、规准化化、归归一化化）反应应谱。。1.02.03.0放大倍倍数单质点点的自自振周周期为为0，什么么含义义？即自振振频率率为无无穷大大。K无穷大大，此此物施施加多多大的的力