长江水质的数学评价和预测

/长江水质的数学评价和预测朱金杨浩乐摘要：本文应用插值原理对长江水质现状进行综合评价,分析了各地区水质的污染状况，并应用状态空间模型和改进的kａlｍam递归式对长江未来水质状况进行预测分析。得出：如果不及时加以治理,长江污染状况将会随着工业的发展和时间的推移迅速恶化;并根据计算结果提出解决长江水质的建议和意见。关键词:水质，插值评判,状态空间模型，Kａlmam递归式。问题复述:水是生命之源，是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，是我们每个人应尽的责任。对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重.长江是我国第一、世界第三大河流，是华夏5000年文明的发祥地.如今，长江水质污染程度日趋严重已经引起相关政府部门和专家们的高度重视。根据国家环保局的政府网站〔〕2０03年6月至２０05年9月发布的长江沿线８个省、1７个水文监测站的水质报告,长江水利委员会编辑出版的《长江年鉴》１9９5年至20０4年长江流域水质报告表以及2004年4月至２００５年4月发布的长江干流主要观测站点的基本数据表明，原本“一江清水向东流”的母亲河正在悄悄被污染，而且污染指数在急剧攀升.２0０4年１0月1０日,全国政协与中国发展研究院联合掀起了“保护长江万里行”活动。11月13日，南方新闻中心〔〕刊登了《专家称若不及时拯救，长江生态10年濒临崩溃》的文章.１２月14日根据200２年6月国家重新修订颁布的《地表水环境质量标准》,长江水质中Ⅳ类，Ⅴ类,劣Ⅴ类的比例正在逐年增加。新标准采用单因子极值评价方式似乎过于严格。所谓“极值法”是指以其中最差的指标来评价水质等级，也就是说水质标准当中只要１项达不到Ⅴ类,那么整体水质就要被判为劣Ⅴ类。这种“一票否决”式的考评方式有一定的片面性，对水质的考评应该综合各项指标后得出结论,现在只考虑其中１项指标不是太科学。为此，应用插值原理,并采用国家水利部门提供的最新监测数据〔附件3〕,对长江水质进行多因子线性综合评价。对于长江未来水质的预测,根据资料〔附件4〕中数据，通过分析实验，长江水质污染状态具有很强的随机性，因此这种状态在时间状态的变化下具有“无后效性”的特点.为此,本文采用了状态空间转移模型和改进了的Kalｍaｍ递归式进行了较为合理、准确的预测分析.问题〔1〕：对长江近2年多的水质情况做出定量的综合评价,并分析各地区水质的污染状况。1插值评判原理1。1定义:已知n＋1节点，j＝０，1…，n,其中互不相同,不妨设,求任一插值点x*〔≠〕处的插值y＊。可以看成是由某个函数ｙ＝g〔x〕产生的,ｇ的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式，也可以未知．㈠1．2求解的基本思路是:构造一个相对简单的函数y＝f﹙x﹚,使f通过全部节点，即ｆ﹙﹚=﹙j=０,1，…,ｎ﹚,再用f﹙x﹚计算插值，即ｙ＊＝ｆ﹙x*﹚。见参考文献1。２水质综合评价的SP插值模型设根据水质评价标准产生的某次水样的标准水质等级及其水质指标分别为y﹙i﹚及﹛ｘ*﹙i，ｊ﹚｜j=1~m﹜，i＝1～n。其中，n、m分别为样本容量和水质指标数目。污染越严重，水质等级就越高，最低水质等级设为1、最高水质等级设为Ｎ.为消除各水质指标的量纲效应，使建模具有一般性，对水质指标进行标准化处理＝(１）式中：Ex(j）、Sx(ｊ）分别为原第j个水质标准｛x*(i.j)｜I=1～n｝的均值和标准差。当得到研究水体的水质指标值｛ｘ(n＋1,j）｜j=1~m｝后，利用上述ｎ个样本内插研究水体的水质等级yc(n+1）,使下式:E=达到最小.式(2)中：(2）式中:ｄｉ为第i个样本的水质指标与研究水体水质指标之间的距离:wi为权重，表示第i个样本对内插研究水体的水质等级yc(ｎ+１）的贡献大小;b为待定参数，一般为大于1的常数，ｂ取得越大，则在点{x（n＋１,j）｜ｊ=１～m｝附近的拟合曲面将变得越平坦,而使远离点｛x（n＋１，ｊ)｜j=1～ｍ｝处的拟合曲面将变得越陡峻.对式（2)求导数并令其为0,可解得式（２)的最小值为：(3）这就是所求的对应点｛x(ｎ＋1,j）｜ｊ=1~m｝的水质等级值。建立SＰ模型的步骤可归纳为如下3步：(1)根据水质评价标准随机生成水质等级样本系列ｘ(i。j）及y（i），i=1～n，j＝１～m。（２）根据样本系列对参数b进行优化估计.在样本系列中任取某样本I，由其它n－1个样本进行Ｓheｐaｒd插值，得到相应于水质等级y(ｉ)的插值记ｙｃ(i).可通过求解如下优化问题来优化估计参数b（４)s．t1≤b≤5式(6）的区间是根据笔者的经验确定的。这是一个一维非线性优化问题，模拟生物进化过程中优胜劣汰规则与群体内部染色体信息交换机制的加速遗传算法(AcｃｅleratiｎgＧeneｔicAlｇｏrｉthm，简称AGA）[7］是一种通用的全局性优化方法,用它来求解该问题显得十分简便而有效。AGA的详细算法可参考文献［7］。（３)进行水质综合评价.当得到研究水体各水质指标值{x（n+1，ｊ)｜j=１~m}后，与样本系列一起代入式（3)、式（４)，即可由n个样本插出研究水体的水质等级yc（n＋1），作为该水质综合评价的结果。3模型求解现以长江水系四川攀枝花地区水质综合评价为例，应用SＰ插值模型求解。水质评价标准见附表:《地表水环境质量标准》附表:《地表水环境质量标准》(GB383８-２002）中4个主要项目标准限值单位:ｍg/L序号

分类

标准值

项目Ⅰ类Ⅱ类Ⅲ类Ⅳ类Ⅴ类劣Ⅴ类1溶解氧（ＤO)

≥7．5(或饱和率９0％)6５3２02高锰酸盐指数（COＤMｎ）≤24610１5∞3氨氮（NH３-Ｎ）

≤０。150．51.01。52．0∞４PH值(无量纲）6-——9根据附表和附件（3)利用4个主要项目标准限值对四川攀枝花地区28个月水质生成6个等级的样本系列,对应1、2、3、4、５、6，其中1、2、3类为可饮用水，４类为轻度污染，5类为中度污染,6类和6类以上为重度污染.利用SP插值模型求解可得表1-1(见附录),同理可得表1—2至表1-1７（见附录),此为长江水系17个地区２8个月内水质具体状况。根据表1中的17张表中每个地区在２８个月内各种等级水样所占比例得表2。ⅠⅡⅢⅣⅤ劣Ⅴ四川攀枝花龙洞0.2８5７１40。53５7140.1071４３0。07142900四川乐山岷江大桥０0．1４2857０。3２142９０．3２１4290。214２8６０四川宜宾凉姜沟０．0357140.６785710.142８57０。０3５71４0.107１４3０四川泸州沱江二桥0。1０7１430．464286０。1４28５70．1４285７０．0３571４0．107１43重庆朱沱0０。７14２860。２８57１4000湖北宜昌南津关00。８９28570。107143000湖南岳阳城陵矶00。642８5７０．35７1430０0湖南长沙新港00.10714３０。5０.3９2８5700湖南岳阳岳阳楼00。535７140.357１4３0．１0７１4300湖北丹江口胡家岭0。7142860．2857１４0000湖北武汉宗关０0。6785７1０。2857140．03５７1４00江西九江河西水厂０.０７1４290.9285７1０0０0江西南昌滁槎000。1071430.357143０．035714０.5江西九江蛤蟆石０0。67857１0。１78５71０．１４2８5７０0安徽安庆皖河口0。03５７1４0.928５7１0。035714000江苏南京林山0。07142９０．８９２８570．０3571４000江苏扬州三江营0０。71428６0。250.03571400表2表2为1７个地区近两年多水质污染状况。（例如:四川攀枝花地区，1级水比例为０.28571４;2级水比例为0.53５７１4；３级水比例为0。107１43；4级水比例为0.０7１429；5级水、劣5级水比例均为0）由表1-１至表1—17（见附录）中ＳP计算值的平均值与GB平均值对长江近两年多水质情况定量的综合评价得表3：17地区两年水质综合评价ｓp均值GB均值1四川攀枝花龙洞1.９8331８1.96４2862四川乐山岷江大桥3．986746３．67８57１3四川宜宾凉姜沟２。５83３71２.54四川泸州沱江二桥3。765８6８2。９64２8６5重庆朱沱２.14６0212.2８57146湖北宜昌南津关2。2６17３62.1071437湖南岳阳城陵矶2。２７79792．３57143８湖南长沙新港3。２９7２７53。２85714９湖南岳阳岳阳楼2.30７98９２.５7１4291０湖北丹江口胡家岭1。3７７982１。28571４11湖北武汉宗关2。３643292．３５71431２江西九江河西水厂1.981４４６１。９２8５711３江西南昌滁槎４.68２77１4.9２８57114江西九江蛤蟆石2.4261462．46428６15安徽安庆皖河口2.0６84０721６江苏南京林山1．９926６4１。９６４2861７江苏扬州三江营2.５0７98２２.32142９表34误差分析利用误差绝对值落在绝对误差区间的百分比（％）得表4:长江水质等级的标准值与ＳＰ模型计算值之间误差分析结果。误差绝对值小于下列标准的百分比0.10.20.3０。4０.50。60．70。80．9１14４1711872３1２80316３563７93893９７0.3010．３58０.3920.４８4０.5870。6620．７4６0．7940．８150。832１.11．21.31。4１.５1。6１.7１。81。9２４２0426４35441447451４５5458４62４6４0。８800.8930.91１0。9240.9３70．9４50。9５30。9600.96８0.9７26由于SP模型对17个地区的综合评价结果绝大部分与国家标准上限值相近，且精确度较高，因此ＳP模型评价的长江全流域水质综合等级与各地区综合等级均是合理准确的。问题（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?解答：在问题１中表1—1至表1-１7里,依据高锰酸盐指数和氨氮含量取出列向量生成表5-1攀枝花时间ＤOＣODＭnＮH3－Ｎ水质实际标准实际标准实际标准２0０３年6月６．8≥50。2≤6０．1≤1。０II2００３年７月８．1≥55.6≤60.1≤1.0ＩＩＩ200３年8月8。１≥50。５≤60．１5≤1。0I２0０３年９月８.8≥51。1≤60．11≤1。0I2003年1０月８。6≥53.1≤60。17≤１.0Ⅱ20０3年11月9.1≥5１.５≤6０.06≤1。０Ⅰ2003年１2月9．39≥52.5≤60.07≤1．０Ⅱ2０04年1月9.47≥52≤60。42≤１．0Ⅱ2０04年2月9．49≥５０．4≤6１.2２≤1．0Ⅳ2004年3月8.9７≥５2.3≤６0.１3≤1。0Ⅱ２０04年４月9。04≥52.3≤60．15≤1。０Ⅱ200４年５月9.09≥５4.3≤6０.０7≤1。0Ⅲ2０04年6月8.79≥52。５≤60．0４≤1.0Ⅱ２004年7月8.46≥5２.4≤６0。０4≤1.０Ⅱ2004年８月13.9≥55．8≤61≤１。0Ⅲ200４年９月9．42≥56.1≤60.09≤１。0Ⅳ2004年１0月9。７2≥50.８≤６0．0８≤1.0Ⅰ2004年11月9。３4≥５2．８≤6０．06≤１．0Ⅱ2004年１2月10。3≥51。6≤６0.０８≤１。０Ⅰ2０05年1月10．２≥５1．2≤６0。0７≤１。0Ⅰ2０05年2月9．38≥50。9≤60.15≤１。０Ⅰ２005年３月9。6≥5１。1≤6０．２６≤1.0Ⅱ2005年4月9.03≥５1。１≤60。1≤1。０Ⅰ2０05年5月8。38≥52.５≤60.０7≤1。0Ⅱ2005年6月8.8≥52。9≤６０。０８≤1.０Ⅱ2０05年7月8.62≥54≤60．08≤1.0Ⅱ2０05年8月８．93≥5２。６≤60。０9≤1．0Ⅱ2005年9月8。５≥５４≤6０．０８≤1.0Ⅱ表5-1此表为四川攀枝花地区高锰酸盐和氨氮指数统计情况表。同理可得长江干流6个地区的高锰酸盐和氨氮指数统计情况表5-２至５—6（见附录)。根据表５的数据可知长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要来自支流地区,具体较重的是南昌、泸洲、乐山、长沙地区。问题（3）假如不采取更有效的治理措施,依照过去1０年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势作出预测分析，比如未来1０年的情况。3.1状态空间转移３.1。１定义参考《时间序列的理论与方法》〔田铮译〕第二版第1２章第一节3.１．2求解方法参考《时间序列的理论与方法》〔田铮译〕第二版第１２章3.2。１由附件４中１995－—2004年长江流域水质分析可知无论评价河长为多少，五类水等级的百分比包含各种评价指标、长江水体的自我清洁能力等各方面因素,且这种百分比无论是在时间还是空间上均无后效性，呈现随机状态,因此以每种等级的百分比作为状态变量。通过状态转移基本模型多次实验分析知，此种状态在向下一状态转移的过程中符合Ｘｔ=Fｔ*Xt－１＋Ｖｔ,依据表3—1中数据做状态预测，通过误差分析可知:Ｖｔ=0时预测结果更加接近监测值。因此以改进的Kalmaｍ递归式：Xt+１=Ft＊Xt—１为预测模型。３.２．2模型求解利用改进的Ｋａlｍam递归式和题目附件4里面对长江10年来主要统计数据进行状态预测,得表6(见附录）。对表６做归一化处理得表7（见附录），即是对长江未来10年的发展趋势的预测结果。同样，利用这个模型和１0年来长江总流量和废水量来预测出未来10年中每年的总流量和废水量表８（见附录）。由表7分析可知，随着时间的推移，长江水质污染程度日趋加重，即1，2，3类水比例逐年减小,４，５，6类比例逐年增加。长江的总流量每年都成递减趋势，而废水量日趋增加.、3。2.３模型评价（1)此模型为随机状态下的状态转移模型,不具有连续性，因此比较符合长江未来水质状况的实际情况。(2)在对系数矩阵Ft可靠性检验的过程中,次误差范围控制在0.05％之内，因此此模型比较可靠，具有良好的适应范围和准确性。（３）此模型可用于符合假设条件的任意随机状态，能够对下一状态作出比较准确的预测分析，具有广泛推广的意义。问题4根据你的预测分析,如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20％以内，且没有劣Ⅴ类水，那么每年需要处理多少污水?解答:根据问题3中对未来10年长江水质的预测数据，结合题设要求设：每年要处理的废水量Q；每年长江总流量ＡＱ；4、5、６级水的百分比分别为、、，其中、、为水文年的数据； 则根据题设建立等式