不等式大综合

-106-不等式综合讲义目录TOC\o"1-3"\h\u一、不等式的基本性质 -2-二、重要不等式 -3-三、例题展示 -5-3.1比较法 -5-3.2分析法 -6-1.凑项 -6-2.凑系数 -8-3.凑完全平方式 -9-4.分离 -10-3.3代换 -11-1.消元 -11-2.整体代换（“1”的代换） -12-3.判别式法（万能K法） -15-4.局部代换（换元） -19-5.三角代换 -22-6.均值代换、比值代换 -24-3.4构造 -28-1.形式构造 -28-2.对偶式构造 -29-3.函数构造 -30-4.数形结合 -30-3.5待定系数法 -32-1.均值不等式添加参数 -33-2.柯西不等式添加参数 -34-3.6切割线放缩 -46-3.7导数 -52-四、综合练习 -53-五、练习题 -96-一、不等式的基本性质（1）对称性：a>b⇔b<a；（2）传递性：a>b，（3）可加性：a>b，（4）加法法则：a>b，（5）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；（6）乘法法则：a>b>0，（7）乘方法则：a>b>0⇒an>（8）开方法则：a>b>0⇒na>（9）倒数法则：；（10）有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则①真分数的性质：；；②假分数的性质：；；（11）**不等式的对称性（了解）设f(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)如xy+yz+zx，等.设f(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)如x3y+y显然，完全对称的一定是轮换对称的.

二、重要不等式1.无理式化为有理式，分式化为整式（1）（2）2.1.含有绝对值的不等式（1）；（2）；（3）对形如|x-a|+|x-b|≤(≥)c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．（4）含有绝对值的不等式的性质|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.取等条件：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0，且|a|≥|b|.2.2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)a>0x>x≠--∞<x<∞a<0-b+无解无解对于a<0的情况，先移项将系数变为正然后求解.2.3．基本不等式（1）设a,b∈R，则a2+b（2）若a,b>0，则，当且仅当a=b时，等号成立．（3）若a,b>0，则，当且仅当a=b时，等号成立．其中，称为调和平均数，称为几何平均数，称为算术平均数，称为平方平均数2.4.柯西不等式（1）柯西不等式简单形式：，，证：得证.当时取等号.（2）柯西不等式向量形式：|如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α=(a,b),β=(c,d)，α与β之间的夹角为θ根据向量数量积的定义，有α⋅β=|α|⋅|当且仅当β是零向量，或者α//（3）二维形式的三角不等式：x当且仅当P1,P2与原点O在同一直线上，并且点三、例题展示3.1比较法【例1】设a、b是非负实数，求证：【证明】当时，，从而，得；当时，，从而，得；所以【例2】已知，证明：.【证明】，，当时，，，于是；当时，.所以.【例3】设，则()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，，.故答案为：C3.2分析法1.凑项【例4】设a>1，则的最小值是▲．【答案】5【解析】当且仅当，即时取等号.【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.【练习】设x,y为正实数，且，则xy的最小值为▲．【答案】27【解析】因为，所以，，因此当且仅当y-1=2,y=3时取等号，即xy的最小值为27.未知定值（没有形如“a+b=1”这样的定值式）【例5】设x,y为正实数，则的最小值为【答案】3【解析一】配凑，当且仅当时，即x=3y取等号.【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法，其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件，对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题，要灵活依据条件或待求式合理构造定值式．【解析二】比值换元令y=kx，k>0则.当且仅当时，即时取等号.【点评】由于分子，分母皆为x,y的一次方式子，通过减量换元的方法可将两个未知量x,y减少为一个未知量k，再通过一元函数求值域的方法或者基本不等式求出最值.【例6】已知，，则的最小值为.取等条件：所求最小值为取等条件：2.凑系数【例7】当0<x<4时，y=x(8-2x)的最大值为▲．【答案】8【分析】由0<x<4知8-2x>0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可．【解析】，当2x=8-2x，即x=2时取等号，∴当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8．【评注】本题也可通过二次函数求最值的方法求解，当无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．【练习】已知实数x，y满足x>y>0，且x+y=2，则的最小值是▲．【分析】将凑出λ(x+3y)+μ(x-y)的形式（本质是换元法），即可使用均值不等式或者柯西不等式求出最小值：【解析】即，取等条件：或者直接换元：令x+2y=m，2x-y=n，可得.3.凑完全平方式凑完全平方式用于条件与问题皆为一次、二次式的情况.【例8】已知4x解：取参数k∈R，M=(4+4k)当(4+4k)x(4+kM2于是2x-y=04x22x+y有最大值22【例9】若，则的取值范围是.取参数，有当为完全平方式时，有最值.于是令当时，取等条件：.即当时，取等条件：，即于是所求的取值范围是【评析】将问题中变为的形式，可得最小值；变为的形式可得最大值.变形过程需要利用已知条件凑成完全平方，于是设出参数，列方程求解即可.4.分离对于形式的分式函数，将分子降次，化为的形式运用不等式.【例10】求的值域．【分析】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有x+1的项，再将其分离．【解析】，当x>-1，即x+1>0时，（当且仅当x=1时取“＝”号）．【练习】已知a，b都是负实数，则的最小值是.【答案】2(【解析】.【例11】已知，求的最小值.【解析】.取等条件：【例12】已知，且，则的最小值为【解析】取等条件：【练习】变形：已知，则的最小值为.【解析】拆开运用基本不等式：或用柯西不等式：，于是取等条件：.3.3代换对于一些结构比较复杂，变元较多而变化关系不太清楚的不等式，可适当引进一些新的变量或等式进行代换，以简化其结构.主要目的：非标准问题标准化；复杂问题简单化；降次；化分式为整式；化无理式为有理式；化超越式为代数式.1.消元【例13】已知实数，且，求的取值范围.【解析】由已知条件得，，，取等条件，.2.整体代换（“1”的代换）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．【例14】已知x>0,y>0，且1x+9【错解】x>0,y>0，且1x+9y=1，x+y=(【错因】解法中两次连用基本不等式，在x+y≥2xy等号成立条件是x=y，在1x+9y【正解】x>0,y>0,1x+9y=1∴x+y=(x+y)(1x+【练习】已知正实数x,y满足，则的最小值为________．【答案】7+4【解析】正实数x，y满足1x+1则：，故的最小值为7+43．【例15】已知a，b为正实数，2b+ab+a＝30，求y=1【分析】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行．【解法一】由已知得a=30-2bb+1,ab=30-2bb+1⋅b=-2b令t＝b+1，则1<t<16，∴ab=-2t2+34t-31t=-2(t+当且仅当t＝4，即a＝6，b＝3时，等号成立．【解法二】由已知得：30-ab=a+2b．∵a+2b≥22ab，∴30-ab≥2令u=ab，则u2+22u-30≤0，-52≤u≤32，【点评】①本题考查不等式a+b2≥ab(a>0,b>0)的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式ab=a+2b+30(a>0,b>0)出发求得ab的范围，关键是寻找到a+b与ab之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含ab【例16】已知且，求的最大值.【解析】将代入得，即可将二元变量问题转化为一元函数求值域问题，即时，有最大值6.部分使用“1的代换”若形如“已知，求的最小值”，只需部分使用“1的代换”，即【例17】设正实数满足的最小值为．【答案】1【解析】，．当且仅当即时取得等号．【例18】设a+b=2,b>0,则当a=时,取得最小值.【答案】【解析】因为，所以所以当且仅当，即时取等号，当时，；当时，；所以的最小值为，此时又，所以，即【例19】已知且，则的最小值是.【答案】32【解析】，当且仅当，即时取等号；，当且仅当，即时取等号；所以，当且仅当时取等号；所以的最小值为32【点评】在使用“1的代换”时，注意保持两和式是同次的.；在使用两次基本不等式时，注意两次等号成立的条件是否一致.3.判别式法（万能K法）判别式法（万能K法）并不万能，很容易出错，因此求出最值后，必须验证取等条件！！如果二次项系数不为0，此方程为关于x的一元二次方程。其中，当时（是含字母y的式子），将这个范围内的y值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x值；而当时，方程无解，这说明在此范围内的y值没有x值与之对应，因此此范围内的值y不属于值域.如果二次项系数为0，此方程为关于x的一次方程，将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y值不属于值域.3.1一类分式函数值域问题【例20】求函数的值域.【解析】由已知条件可得：，当时，考虑关于x的二次方程，当时，可得，舍去.综上，函数值域为.【练习】求证：.证明：设，则，定义域为R时，是定义域中的一个值，是值域中的一个值。时，由，得。综上所述成立.3.2二元二次函数最值问题【例21】设x，y>0为实数，若，则2x+y的最大值为【解析】令k=2x+y，则y=k-2x，代入等式得：即关于x的方程有解，于是当k取到最大值时，【例22】设x，y>0为实数，若2x+y=1，则的最小值为【解析】令，将y=1-2x代入，若，，求的最小值.【解析】已知等式可化为，令，将代入解得或（舍去）取等条件：【例23】若x和y满足不等式，求x+3y的最大值.【解析】令k=x+3y，将x=k-3y代入，，关于y的二次不等式只有在时有解，当且仅当时取等，所以x+3y的最大值.【例24】已知，满足，求xy的取值范围.【解析】令k=xy,k>0，将代入等式得，【例25】对于c>0，当非零实数a，b满足且使最大时，的最小值为.【解析】设，将代入得，，即取得最大值为，与已知等式联立，解得于是当且仅当时取等.【例26】已知实数x,y满足，求的最大值.【错解】令，将代入等式得，关于y的方程有解，得.取等条件：当时，有，无实数解.错解原因：未考虑x,y的范围：

由于，无法在处取值.【正解】化已知等式为：，令令，函数，在时取得最大值，于是最大值为取等条件为，即，于是错解原因就是在处取得的，显然取不到.一般地，已知条件与问题皆为二元二次式用判别式可能会得错解，此时需用三角换元.【例27】已知实数x,y满足，求的取值范围.【解一】设，令，代入等式得，得，解得.【解二】对已知条件进行配方：令于是【解三】令，已知条件可化为将代入已知条件得，关于y的二次方程有解，得于是.【解四】，对于不等式，令，解得，于是若实数x,y满足，求的取值范围.【解一】将已知条件化为，不是类型，考虑用平方差化为积式：，于是可令将代入得：取等条件：.4.局部代换（换元）将多元变量问题减元，变为一元函数问题，或者变为具有一元函数结构的形式.即将的最值问题变为或的形式.求出“一元”函数的定义域，即可运用所学知识求出值域（最值）.【例28】设正实数x,y满足x+y=1，则x2【答案】[1,【解析】因为1=x+y≥2xy，所以x设xy=t∈(0,1当t=14时，上式取得最大值98所以x2+【点评】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．【例29】已知实数a>b>0，且a+b=2，则的最小值为____.【答案】【解析】由于a+b＝2，且a＞b＞0，则0＜b＜1＜a＜2，将b=2-a代入得令t=2a-1∈(1,3)，则，当且仅当t=5t(1<t<3)【例30】已知实数，求的最大值.【解一】局部代换令，于是【解二】此式没有限定条件等式，观察发现分子分母都为一次式，于是可令，得到关于k的一元函数，即可求出最值.，令关于k的方程：有解，当时，代入可得，不满足题意，舍去；当时，有【例31】已知a>0,b>0,a+b=4，求的最大值.【解析】以下有两种换元方式：①在处换元：此式为“分子一次，分母二次”的情况，可用的形式求最大值.于是，令，，于是，取等条件：即，与联立，解得②在处换元：令x=ab-1=a4-a-1=-a2+4a-1于是（舍去）Mx在-∞,8-45单调递增，在于是Mx【例32】已知x,y>0，求的最大值.【解析】令，于是，而在单调递增，于是当k=4时，M有最大值.5.三角代换运用公式：，对问题进行三角换元，从而简化问题.根据变量的范围设置范围.①若，可设；若，可设；若，可设；若，可设，，②对于，，可设，或；对于，可设或；对于，可设或；【例33】已知，求的最大值.【解析】：设，其中，原式可转化为：，原式，所求最大值为20.【例34】已知实数x>0，求的最小值.【解析】换元：设，于是设，不等式可转化为，k的最大值即为所求函数的最小值.，其中，即所求最小值为.【例35】设实数a，b，c满足，，求【解析】由，运用三角换元消元，均值代换：由于，令，代入判别式：代入，得，所以关于c的方程有解，，得代入，得得数形结合：令，转化为直线与圆有公共点，于是圆心到直线的距离小于等于半径，即.已知实数a，b，c满足可以看做点与点的斜率，易得斜率取值范围为【例36】【换元消元】已知，有恒成立，求实数k的取值范围.【解析】原不等式等价为，即，用换元达到消元的目的，设，故k的取值范围为.6.均值代换、比值代换对于类型的和式，可以用，形式的均值代换以达到消元的目的.对于分式类型的齐次式，可取形式的比值代换.可将二元变量式转化为一元函数问题，从而简化问题.其中t的范围由a,b的范围确定.简例：已知已知a,b>0，且，求ab的最大值.均值代换：令，于是，在时可得最大值1.【例37】已知a,b>0，且，则a+b的最小值为.【解析】均值代换令令，即取等条件：…【另解】“1”的代换或判别式法也可解.，即令，.【例38】已知实数x,y满足，则的最小值为.【解析】由于，令x+y=t，，解得：或①当时，②当时，实数x,y是关于Z的一元二次方程的两个根，于是，此时于是.综上，最小值为.【例39】设实数x,y>0，且x+y=1，则的最小值为__________．【答案】．【分析一】考虑通法，消元化为单元函数，而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；【解析一】“1”的代换或者柯西不等式(又x+2+y+1【解析二】考虑整体替换的方法，分母的和为常数．设x+2=s，y+1=t，则【解析三】令，将y=1-x代入得，关于x的方程有解，得，解得或（舍去）即所求最大值为已知，，求证：.增量法：不妨设，则，有，所以，于是，∵，令，，，∴均值代换：令，（三元均值不等式）设，，求证.比值换元：令，，于是于是原不等式等价于：而原不等式得证.【例40】已知，求证：辅助函数法（主元法）：取a为主元，，，为直线，，于是，即原不等式得证.【例41】设x,y为正实数，则的最小值为【答案】3【解析一】配凑【解析二】比值代换令y=kx，k>0则.当且仅当时，即时取等号.【点评】由于分子，分母皆为x,y的一次方式子，通过减量换元的方法可将两个未知量x,y减少为一个未知量k，再通过一元函数求值域的方法或者基本不等式求出最值.【例42】已知，且，求的最小值.【解析】对已知等式取平方以得到问题的式子，，于是当且仅当时取等.3.4构造1.形式构造要求一个目标函数f(x,y)的最值，我们利用基本不等式构造一个以f(x,y)为主元的不等式（一般为二次不等式），解之即可得f(x,y)的最值．【例43】设x,y为实数，若4x2+【分析】利用基本不等式将已知定值式中4x2+y2【答案】210【解析】1=4x2+y2【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想，所求目标函数是和的形式，那我们就设法消去条件等式中的乘积，方法就是利用基本不等式，这里它的作用，一个是消元，还有就是把条件的等式变为了不等式．【练习】若正实数x，y满足x+y+1x+【分析】构成关于x+y的不等式，通过解不等式求最值【解析】由x+y+1x+1y(x+y)2-5(x+y)+4≤0.计算得出：1≤x+y≤4.x+y的最大值是2.对偶式构造在不等式过程中，合理地构造形式相似，具有某种对称关系的对偶关系式，并通过对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果.【例44】若x,y,z∈(0,1)，求证：解：构造对偶式：N=1-x+yM+N=而N=3，故M≥3，即.奇偶数对偶奇偶数对偶指利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式的方法.【例45】求证：.解：构造对偶式：，由于因此，从而，故.轮换对偶轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法.【例46】任意实数a>1，b>1，求【解一】构造对偶式，则，即而，∴M≥N≥8，即M≥8.当且仅当a=b=2时等号成立.【解二】化分式为整式取参数x,y>0，运用基本不等式：a两式相加得，a2当&2x-y=0&2利用导数求不等式最值3.函数构造【例47】已知：，证明：思路：以为主元构造函数，再由函数单调性可证。证明：视为主元构造函数，此为一次函数。由知，又故有即。【例48】设，证明：证明：作此为关于的一次函数由于，故有类题演练：设，证明：4.数形结合对于二元一次不等式，二元二次不等式可以考虑画出几何图形，由约束条件在图形上平移求解，或者利用几何关系如垂直，平行等求解.【例49】已知x，y满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为().【解析】z=ax+by取最小值时，最优解为(2,1所以，即转化为此条件下的最小值，易求出此二次函数最小值4.已知，求的取值范围.【解析】令，则问题可转化为直线在第一象限的圆上运动，取直线在y轴上的截距范围问题.于是当直线经过(0,1)时，k有最小值1；当直线与圆相切时，k有最大值.此时原点到直线的距离为1，可解得：，即k的最大值为.【错解】判别式法：将代入圆方程，得，关于x的二次方程有解，可得：，解得取最大值时的取等条件：，满足题设.取最小值时的取等条件：，与矛盾.【例50】已知a，b≥0，3a+2b=10，求函数k=3a【解析一】数形结合：令x=3a≥0，y=2b如图，当直线y=-x+k与圆相切时，在y轴上可得最大截距，即k可取最大值为2当直线y=-x+k经过10,0或0,10时，在y【解析二】三角代换因为，于是令，【解析三】均值不等式：k>0k∴k≤25【解析四】柯西不等式，得3.5待定系数法有限定条件的二元不等式，如，进行一次不等式运算，对于取等条件而言，已经出现2个方程了，此时即可解出二元变量.而有些情况下往往不好直接进行不等式运算，如这样的无理式，于是就需要引入一个变量（参数），相当于变为三元变量，在有一个限定条件的情况下运算，此时即可进行2次不等式运算，从而利用三个方程解三个变量来得到取等条件.所以，进行2次不等式运算可大大拓展可操作空间.这就是待定系数添加参数的优越之处.1.均值不等式添加参数【例51】已知x,y>0，x+y=1，求的最小值.【解一】“1”的代换【解二】添加参数，取k>0，取等条件：&于是M≥9.【例52】若已知a,b,c>0，则M=a【解析】由于b在分母中出现3次，可将b2拆分为ba当分子，分母中的ab,bc项分别对应成比例时，右边的式子即为定值，于是令2λ=M=即M最小值为25【例53】设x,y,z,w是不全为零的实数，求的最大值．【解析】显然我们只需考虑x≥0,y≥0,z≥0,w≥0的情形，但直接使用基本不等式是不行的，由于分子中y,z分别出现2次，于是将分母中的y2我们假设可以找到相应的参数α,β∈0,1x≥2当分子，分母中的xy,yz,zw项分别对应成比例时，右边的式子即为定值，于是令，参数就是我们要求的最大值．根据取等条件消去α,β得到一个方程4t2-4t-1=0【例54】设x,y,z是正实数，求的最小值．【解析】引进参数k，使之满足10依据取等号的条件，有：2k=2(10-k)=t⇒t=4，故综上所述，应用均值不等式求最值要注意：【例55】已知a,b,c>0,a2+解：引入参数:1=≥2当12原式可化为：即：根据取等条件解得：即所求最大值为2.柯西不等式添加参数柯西不等式：a,b,c,d>0(取等条件：ad=bc.添加参数：取λ,μ>0，有(提取λ2，有得(x2+所以一个二维柯西不等式中引入一个参数即可，这样可以减少参数的数量.【例56】已知a,b>0，且，求的最小值．解：尝试利用柯西不等式将分式设法向转化.引入参数λ,μ>0，，取等条件：1a-1=λ，取等条件：2b-1=μ当上式右边取1+λ=2+μ③时，即可得定值.联立①，②，③及1a+于是所求的最小值为74练习.已知a,b>0，且1a+1b=2解：(1a+(1b+∴2=当上式右边取4(1+λ)2=(1+μ)联立①，②，③及1a+于是，2≥16所求的最大值为114【例57】已知实数x,y>0，且2x+y=2，求x+x2【解一】取参数λ>0，，当时，右边可得2x+y的形式，此时，于是.取等条件：，所求最小值为【解二】数形结合：在第一象限作直线，作O关于直线的对称点，设，即，过点作y轴的垂线，问题可转化为的最小值，即为的最小值，于是当所在直线垂直于y轴时，有最小值.所以.【解三】求导：，，令，解得，易得在单调递减，在单调递增，于是为最小值点，.【解四】判别式法：令，将代入得：，关于x的方程有解，则将代入方程，得.【例58】求y=4解一：柯西不等式设参：取，思考：，取等条件：2xλ=5.当时，即时，.解一：(4∴y=4x2+25-一般地，不等式题型中，ax2+b(ax2解二：柯西不等式反向：∴y≥52【例59】面积为1，a，b，c【答案】12.解：（基本不等式）此为关键步骤，将包含a，b，于是，对于，可转化为以下问题：已知，求函数的最小值.①三角代换：代入，取②换元求导：令，，令在单调递减，在单调递增，于是③反向柯西不等式：，于是的最小值为12.取等条件：，得.④判别式法：关于x的二次方程有解，则有：当时，y有最小值1.【例60】已知a,b>0，a+b2+8【分析】若能将放缩为（x，y为参数）的形式，即可得到对问题进行代换：取参数，据柯西不等式得，，用柯西不等式得：，于是有：，当解一：（一般来说，应是一个整数，即等，解取等方程组时，猜根代入即可..）取等条件：，∴解二：取当式子为完全平方式时成立，其中∴，取等条件：①，②∵，即∴，取等条件：③联立①②③及，解得，∴解三：调和平均值≥算术平均值，取等条件：，取等条件：综上，当时取到最小值4.【例61】已知解：sin取等条件：联立①，②，∴解二：令fx=1sinx+3当tanx>13，f'【例62】已知，，求的最小值取参数k取等条件：即所求最小值为已知x,y∈(0,1)，k>0，x2+y2，取等条件：①，取等条件：②，于是，，联立①，②，x2+y∴当k=33时，1【例63在ΔABC中，2a,b,c成等差数列，则M=解：2a+c=2b，cosB=【例64】已知x≥0，则f(x)=2取参数，，取等条件：λx=1当时，右边可为定值.此时λ=1.，即当x=1λ=1时，f(x)有最小值已知，，求的最小值.解：柯西不等式待定系数：引入参数，，取等条件：①，取等条件：②当③时，即可得到最小值.联立①，②，③及题设，解得：于是.【例65】已知4x解一，比值代换：令y=kx，∵4∴4M==5+当k=2时取等.即当x=22y=2时，解二，判别式：将y=4即6xΔ=9M即2x+y最大值为2解三，均值不等式：M=5+3xy≤5+32∴M2≤8.即解四，带参数柯西不等式：4x∴2x+14(1+取等条件：②当③时，可得最大值.联立方程①②③，解得：于是(2x+y)2≤5(1+k2【例66】已知实数满足，则a+b最大值为【解一】取等条件：.【解二】取参数当为完全平方数时，可得最值.于是令，于是即，取等条件：.【解三】三角换元已知条件可转化为令，于是，，其中，即.【解四】判别式法令，将代入等式得，，关于b的二次方程有解，即.取等条件：.【解五】减量换元易得取最大值时，于是令，代入已知等式中，得于是，关于k的函数可用基本不等式，判别式解：即.或者令，即当时，不满足题意，舍去；当，关于k的方程为二次方程，有.综上，.【解六】柯西已知条件可转化为的形式从而运用柯西不等式，取参数，当时，不等式化为，即可得到a+b的最大值，此时于是【解七】求导由于为椭圆方程，令，则此直线与椭圆相切时即可得到纵轴上的最大/小截距.此时斜率为.于是，当时与等式联立，解得时取最大值，时取最小值于是【例67】已知，则的最大值为.解：引入参数，则当，即时，有最大值.解一：取等条件：解三：取参数，当时，右边可转化为的形式使用基本不等式，于是，取等条件：解四：设令，所以解五：设，则得关于m的方程：有实数根，∴，整理得：，而为凹形抛物线，则，解得.3.6切割线放缩切线放缩若函数在区间上有凹凸性，可以利用切线进行放缩．（1）若函数的图象在区间下凸（），则有：；（2）若函数的图象在区间上凸（），则有：.割线放缩若函数在区间上有凹凸性，可以利用割线进行放缩．（1）若函数的图象在区间下凸（），则有：；（2）若函数的图象在区间上凸（），则有：.附函数凹凸性的定义1、凹函数定义：设函数在区间上连续，对，若恒有，则称的图象是上凹/下凸的，函数为上凹/下凸函数；二阶导数2、凸函数定义：设函数在区间上连续，对，若恒有，则称的图象是下凹/上凸的，函数为下凹/上凸函数.二阶导数【例68】求证：解：①当时用切线放缩②当时用割线放缩练习：；；【例69】已知且，求证：解一：利用勾股定理刻画不等式中的几何意义．解二：利用切线和割线构造了函数不等式：【例70】已知a,b>0且a+b=1，求证：.法二

切线法如图，利用切线构造函数不等式：，于是a2+1【例71】已知，，已知数列满足，，且，则的最大值为______．(6030)构造上的函数不等式：.【例72】求函数的值域．解：定义域：，为上凸函数，于是，当且仅当x=3时取等.当且仅当，即时取等.于是函数值域为.【例73】已知且，求的最小值.解：设函数，，取这两个函数平行的切线，有，即与联立，解得【例74】已知，，则的最大值是______，最小值是_______．法一割线放缩处理最大值.，等号当时取得．于是有考虑到，于是当时右边取得最大值．因此所求的最大值为．切线放缩处理最小值．，等号当时取得．令等号当时取得．因此所求的最小值为．法二令【例75】已知满足，求的最值.解：设函数，，作出函数的图象，函数的图象在处的切线：，以及函数的图象过点和的割线：，如图．于是可得：左侧等号当或时取得；右侧等号当时取得．因此原式的最大值为，当时取得；最小值为，当，时取得．【例76】已知，，求证：.解：设函数，取其在和处的切线，分别为和，如图．直线与直线，函数的图象和直线分别交于，则有：注1类似的，我们还可以用割线和来估计的下界，如图．注2我们也可以利用函数图象的外接曲线得到更加精确的界，例如用和，如图．【例77】设为非负实数，满足，则的取值范围是______．设函数，考虑利用切割线放缩得到辅助不等式：当时，有：且左边不等式等号当时取得；右边不等式等号当时取得．左边不等式为：，右边不等式为：，容易得证.所以左侧等号当时可以取得；右侧等号当时可以取得．因此所求的取值范围是43,273.7导数导数方法求函数值域是一个好方法，数学逻辑简单，但运算量大到哭…【例78】函数的最大值是___________．【解析】当时，，当时，令，，，令，解得于是在为减函数，在为增函数，在为减函数，最大值在，中，又，，综上，.四、综合练习【例1】已知，有恒成立，求实数k的最大值.【解析】由得即恒成立，所以【例2】已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是．【分析】先求左边式子的最小值【解析】∵，且，∴，当且仅当，即时取等号，又，∴，，∴，要使恒成立，只需，即，解得，故答案为.【点评】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数恒大于，就必须对进行限制--令，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单.【练习】若对任意的正实数恒成立，求的最小值．【解析】对任意的正实数恒成立，∴对任意的正实数恒成立．设，由取等号条件：，消去，可以得到：，解得：，因此的最小值为．【例3】若不等式在上恒成立，则a的取值范围是________．，，【例4】若不等式对一切都成立，则实数x的取值范围为________．【解析】更换主元：对于直线在恒小于0，于是题型二基本不等式的实际应用【例5】某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解析】(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得：当时，；当时，．∴(2)当时，.对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)最大＝950(万元)；当x≥80时，(万元)，当且仅当时，L(x)最大＝1000(万元)，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．【点评】(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【练习】某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq\f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．【答案】80【解析】设每件产品的平均费用为y元，由题意得.当且仅当，即x＝80时“＝”成立．(2)年平均利润为，∵，∴，当且仅当，即x＝5时，取等号．【例6】如图所示电路，电源电压为E，内阻为r，外电路接有一个滑动变阻器，求电路的最大输出功率.【解析】当R=r2R，即R=r【例7】【江苏省南通市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末】对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．【答案】【解析】设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，由题意知，则，则三角形的面积，，则三角形的面积，当且仅当取等即这个直角三角形面积的最大值等于，故答案为：．2．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】在平面四边形中，，则的最小值为_____．【答案】【解析】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则，因为DA＝DB，可设，因为，AB＝1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，∴可设，又，所以，，即，，当且仅当，即时，取等号，故答案为.3．【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知正数满足，则的最小值为________.【答案】4【解析】由基本不等式可得，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为4，故答案为：4．4．【江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末】已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为_______．【答案】【解析】由于，即x+4y＝xy，等式两边同时除以xy得，，由基本不等式可得，当且仅当，即当x＝2y=6时，等号成立，所以，x+y的最小值为9．5．【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测】已知，且，则b的最大值为_________．【答案】【解析】化为，即，解得：，所以，b的最大值为.故答案为：6．【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】在锐角三角形ABC中，已知，则的最小值为___．【答案】【解析】由正弦定理，得：，如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，因为，所以，，化简，得：，解得：x＝3y，，，当且仅当时取得最小值.故答案为：.7．【江苏省镇江市2019届高三上学期期末】设函数．若不等式对一切恒成立，则的取值范围为_______．【答案】【解析】由题可得：，不等式对一切恒成立，可化为：对一切恒成立，所以，又，解得：，不等式对一切恒成立化为：对一切恒成立，所以：恒成立.所以，当且仅当时等号成立.8．【江苏省镇江市2019届高三上学期期末】已知，则的最小值为_______．【答案】3【解析】因为所以9．【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟】若正实数满足，，则c的最大值为________．【答案】【解析】由，解得，，10．【江苏省如皋市2019届高三教学质量调研（三)】已知，若满足，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】由，且，，所以，即，所以，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，综上，的最小值为11．【2018年江苏高考】在中，角所对的边分别为，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为9.12．若正数成等差数列，则的最小值为_________．【答案】【解析】因为正数成等差数列，所以2b=a+c.所以令，则所以当且仅当时取等号.故答案为：13．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研】已知为正实数，且，则的最小值为____．【答案】.【解析】由题得，代入已知得，两边除以得当且仅当ab=1时取等.所以，故答案为：14．【江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测】已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为__________．【答案】8【解析】由已知，；又双曲线C与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，，则双曲线；P在右支上，，根据双曲线的定义有，，，故的最小值为.15．【江苏省苏北六市2018届高三第二次调研】已知a，b，c均为正数，且，则的最小值为_______．【答案】8【解析】17．【江苏省扬州市2017-2018学年度第一学期期末】已知正实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】令，则：，即，则：，据此有：，综上可得：当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值为.18．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟】已知，求证．【解析】证明：证法一因为，所以．而，所以．证法二因为，由柯西不等式得．由，得，所以．19．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】已知，，求的最小值.【答案】8【解析】试题解析：因为，，所以两式相加：，所以.当且仅当且时取等.即时，取得最小值.20.【湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研】已知A，B为抛物线上两点，O为坐标原点，且，则的最小值为.解：设直线OA方程：，直线OB方程：，与抛物线联立，得：，取等条件：21．【山东省德州市2018届高三上学期期中】水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放（且）个单位的营养液，它在水中释放的浓度(克/升）随着时间(天)变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时，它才能有效.（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能达到几天？（2）若先投放2个单位的营养液，3天后再投放个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求的最小值.【答案】(1)3天；(2).【解析】（1）营养液有效则需满足，则或，即为或，解得，所以营养液有效时间最多可达3天；（2）解法一:设第二次投放营养液的持续时间为天，则此时第一次投放营养液的持续时间为天，且；设为第一次投放营养液的浓度，为第二次投放营养液的浓度，为水中的营养液的浓度；∴，由题意得在上恒成立，∴在上恒成立，令，则，又，当且仅当，即时等号成立；因为所以的最小值为.答:要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，的最小值为.解法二:设两次投放营养液后的持续时间为天，则第一次投放营养液的持续时间为天，第二次投放营养液的持续时间为天，且，设为第一次投放营养液的浓度，为第二次投放营养液的浓度，为水中的营养液的浓度；∴，由题意得在上恒成立∴在上恒成立，则又，当且仅当即时等号成立；因，所以的最小值为.答:要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，的最小值为.22．【江苏省南京市2018届高三数学上学期期初】某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设．（1）求的解析式，并写出其定义域；（2）当x等于多少时，f(x)取得最小值？【答案】（1），定义域为（2）当x＝75时，f(x)取得最小值．【解析】（1）因为，所以，定义域为．（2）因为，所以，所以，当且仅当，即当时取等号．答：当时，取得最小值．23．【江西省南昌市第二中学2019届高三第六次考试】已知数列的前n项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为.【解析】因为，所以.两式相减化简可得，公比，由可得，，则，解得，，当且仅当时取等号，此时，解得，取整数，均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当时，取最小值为.24．在中,若,则的最小值为.【解析】设的内角A,B,C所对应的三条边分别为,则有,由正弦定理得：展开可得,所以,则,当且仅当时,等号成立．

25．已知,则的最小值为__________．解：设以上两个等号当且仅当且，即时同时成立.所以所求的最小值为6.26．各项均为正数的等比数列中,若,则的最小值为________.【解析】因为是各项均为正数的等比数列,且,所以,则,即,解得.27．已知,,则的最小值是__________．【解析】,当即时取等.28.解一：解二：，取等条件：令，则，取等条件：，即29.已知实数，则的最大值为.解：取参数，有柯西不等式：于是当时，有取等条件：于是2．已知x,y满足xy+x+y=1，则x2解法一：解法二：这里介绍一种好方法：出现乘积项，可以用换元法，设所以即为双曲线可视为双曲线上的点与坐标原点连线距离的平方的2倍．所以当且仅当时，即时，的最小值为解法三：由得，解得或所以3.设为实数，若，则的最大值为．解：本题有多种解法，这里也利用换元来做．因为有乘积项，所以设则条件变为，求的取值范围．可以视为椭圆用三角换元做；令，所以也可以变成规划问题求切线做；也可以，所以，所以4．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是．解：令，则由均值不等式得，即，解得所以等价于在上恒成立所以，解得或5．已知正实数满足，，则实数的取值范围是.解法一：由得由得，即由均值不等式，所以，所以解法二：由，可将视为方程的两个正根故，即解法三：由，且，设所以所以6.设实数，，则的最大值为解法一：即当且仅当且，即时，取得等号解法二：换元使得题干更清晰，设则题目变为“实数，，求的最大值.利用不等式链条，得当且仅当时取得等号解法三：三角换元，令，且满足则当时取得最大值，且此时满足解法四：令，则，即在上有解则，满足或解得，且故的最大值为7．已知为正实数，则的最大值为．解：当且仅当时取得等号．评注：齐次化的应用8．已知为正实数，且，则的最小值为．解法一：解法二：令，，则题目变为若，则评注：换元法有助于简化问题，看穿本质.9．设正实数满足，则实数的最小值为．解法一：将其视为关于的一元二次方程有正根，所以解法二：，解得10.设对任意实数，．若不等式恒成立，则实数的最小值为．解法一：令，则令，则故的最小值为解法二：待定系数法与题中所给不等式相比对，待定系数可得解得，故故的最小值为11.已知二次不等式的解集为，且，则的最小值为．解：显然且，故，又，故，12.实数满足，则的最大值为．解：因为，所以相加得即当且仅当同时满足，即或时上式取等号.点评：本题是三元均值不等式的问题，难点在于每个均值不等式的系数配凑.这里其实是用待定系数法来确定系数.，故因此，解得13.已知为实数，且，则的最小值为．解法一：令，则，且所以解法二：齐次化转函数求值域令，14.已知函数，且.对恒成立，则的最小值为.解法一：齐次化思想根据条件有，则因此令，则解法二：由题意可知，即此时已经转成齐次式了，所以分子分母同除则当且仅当及时，即时取得.解法三：根据条件有，则故令得当且仅当及时取得最小值，即时取得.解法四：令，得，代入得解法五：待定系数法假设，化简为又故比对系数得，得因为，所以因为，所以15.已知实数满足关系式，则的最小值是．解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条.由或所以点评：这里注意因为题干中没有告诉我们的正负性，所以不能直接用来求的取值范围，所以改为用重要不等式来来做.虽然答案正好一样，但做法要注意.解法二：遇到结构，所以用代数的极化恒等式变形.令，则问题转变为已知，求的最小值.因为所以还需要计算定义域，即所以解法三：设，则视为的两根所以所以或当且仅当时取得最小值.16．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为．解：，所以当且仅当时，等号成立所以令，则原式所以的最大值为1.17．若实数满足，则的最大值是.解：令，则，问题转变求为圆弧上一点到原点的距离的平方减3的最大值故已知实数，满足，，则的最大值是________．解：记，则因为故即的最大值是18.已知，，则的最大值是．解法一：判别式法令，代入得关于的一元二次方程有解得，即所以，当且仅当时取得等号.解法二：化齐次式令故当且仅当时取得等号.解法三：令，即设，则故解法四：利用余弦定理构造三角形设的三边分别为，由得由正弦定理，故故其中，故取，故评注：本题是很常见的最值问题，解法一、解法二是常规的两种方法，解法三利用三角换元，解法四构造三角形的方法不仅求出了最大值，还取到了最小值.19.已知正数满足，则的最大值为．解：解法一：令，得则当且仅当，即时取得等号.解法二：令，则令，则原式当且仅当，即时取得等号20.定义：{x，y}为实数x，y中较小的数．已知，其中a，b均为正实数，则h的最大值是．解：因为a，b均为正实数，当，即时，，即所以当时，综上，h的最大值是21.已知，则的最大值是_______.解法一：令，，则，目标函数为画出点所在的可行域如图为抛物线一部分上的点，如图，目标函数与相切时当且仅当，即时取得解法二：令，，则，所以解法三：三角换元，，则，令，故解法四：令，，则则，点评：本方法用的是不等式中的“极化恒等式”思想，即，这在12月18日每日一题的第一种解法中也有体现.22．已知，则的最小值为．解：构造函数，，则与两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点与之间的距离平方，令，所以是与平行的的切线，故最小距离为所以的最小值为423．已知正实数满足，则的最小值是.解：由故24．已知实数满足，且，则的最小值为.解：令，，则，当且仅当，即，即时取得等号.选题理由：在解决不等式问题时，如果出现分母里的字母较多较复杂时，不妨考虑先换元使得分母简单，更容易看清题目考查的本质.这里其实是以往我们非常熟悉的一次和与倒数和的不等式应用，只是将等式转化为不等式，注重考查了等号能否取到的问题.同类题：已知正数满足，则的最小值为.解：令，，则，所以故问题转化为分式函数求值域的问题.易得当，即时，25.已知函数与函数在区间上都有零点，则的最小值为．解：由题意知，，两式相加得，两式相加得所以当且仅当时取得等号.点评：这里用到了基本不等式，如果一下子看不出来，也可以先利用齐次化思想，将分子分母同除以，令，将式子简化，就容易发现了.26.已知二次函数为非负，则的最小值为．解法一：齐次化思想根据条件有，则因此令，则当且仅当及时取得最小值，即时取得.解法二：根据条件有，则故令得当且仅当及时取得最小值，即时取得.解法三：令，得，代入得当且仅当时取得等号解法四：待定系数法假设，化简为又故比对系数得，得，即，此时即因为，所以因为，所以27.已知，，则的最大值是．解法一：判别式法令，代入得关于的一元二次方程有解得，即所以，当且仅当时取得等号.解法二：化齐次式令故当且仅当时取得等号.解法三：令，即设，则故解法四：利用余弦定理构造三角形设的三边分别为，由得由正弦定理，故故其中，故取，故评注：本题是很常见的最值问题，解法一、解法二是常规的两种方法，解法三利用三角换元，解法四构造三角形的方法不仅求出了最大值，还取到了最小值.28.已知，求的最小值是．解法一：令，则因此，整理得故用判别式，解得解法二：设，，条件转化为，即所求代数式转化为的最小值由此可有斜率角度求值域：，（视为单位圆上的点与连线斜率），则也可由三角函数角度求值域：评注：这里因为遇到的结构，故三角换元设，.解法三：数形结合当时，点为上的一点，则如图，就是典型的“饮马问题”，点关于直线的对称点到轴的距离为当时，点为上的一点，则而于是29.已知实数，若，则的最小值是．解法一：待定系数法待定系数法，令，解得故，当且仅当时取得解法二：令，即时，，当且仅当时取得解法三：三角换元设，原问题转化为，求的最小值令，，，，故问题又转化为已知，求的最小值于是因为，故评注：这里又遇到的结构，故可三角换元设，，10月1日每日征解有相同的处理方法.30.若关于的方程（其中）有实数根，则的最小值为．解：本题思路是转换主元，将关于的方程看成关于的直线方程，于是目标视为直线上的点到原点的距离平方原点到直线的最短距离的平方（令）当且仅当时，的最小值为点评：同学们，你们还记得之前做过的几道比较经典的转换主元的题目吗？找找看，把几道题目放在一起，发现它们的门道.31.已知为实数，且，则的最小值为．解法一：令，则，且所以解法二：齐次化转函数求值域令，32.若正数满足，则的最小值为．解法一：分母复杂时采取换元.令，则问题变为已知，求的最小值.当且仅当，即，时取得等号.解法二：齐次化记，视为线段上的点与坐标原点连线的斜率设，反思：这个解法计算量很大，主要是题目设计的数据不好，但齐次化思想还是清晰的.

33.已知x,y∈R，且，则x+y+xy的最小值为.2x+y的最大值为.解：令x+y=t，，当时取最小值.取等条件或轮换取等.令于是.取等条件：34．若正实数满足，则的最大值是.35.设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为.，取等条件：，此时，于是，即是取得最大值1.36.设正数满足，则当取得最小值时，的最大值当且仅当时取等，此时时取等号.37.设，则的最大值为令，38.若为正数，，则的最小值为？，令，将代回等式，，最大值.换元，令，在单调递减，于是当取最大值.39.已知实数，，求的取值范围.40.已知，求的最小值.齐次化：（，当时，所求最小值为为定值1）令，，，时有最小值.41.求的最大值方法1.求导法通性通法,求函数最值大多可以通过求导研究函数单调性,极值来研究.,时,所以的最大值在时取得,最大值为.方法2.三角换元把代数问题转化为三角函数最值问题,利用辅助角公式.令,则函数可化为,因为所以,当时取最大值,值为4,即时取得.方法3.数形结合+换元①令可得的关系，即所以点（）的轨迹为第一象限的椭圆.问题转化为，与椭圆相关的线性规划问题，斜率为-1的直线与椭圆在第一象限相切时截距最大，即z最大，联立直线与椭圆可得，，所以即最大值为4.②在（1）的基础上三角换元，即利用参数方程，所以最大值为4.③令，，此时的轨迹为第一象限的圆，令，，与圆相关的线性规划问题，斜率为的直线与椭圆在第一象限相切时截距最大，即z最大，即,z=4.方法4.向量法①函数可看作是向量=（，）与向量=（1,1）的数量积，即最大，因为所以只需在的正摄影数量最大时最大，将向量的始点平移到原点，终点的轨迹方程为，做一个斜率为-1的直线与椭圆在第一象限相切，切点即为的终点，设直线方程为，联立椭圆可得，，所以，此时=.②函数函数可看作是向量=（，）与向量=（,1）的数量积，即最大，因为，所以只需在的正摄影数量最大时最大，将向量的始点平移到原点，终点的轨迹方程为，因为=（,1）的终点也在圆上，所以，同向共线时最大，值为22=4.方法5.柯西不等式=，凑柯西不等式形式，所以函数最大值为442.已知圆，动点A在圆上运动，，求的最大值.设根据柯西不等式：，得即最大值为42.已知实数满足，求的最小值.【解析一】反向柯西不等式，于是.【解析二】三角代换，，由于对称性只考虑的情况【解析三】由于对称性只考虑的情况，令双曲线上的动点所在的斜率为1的直线在y轴上的最小截距，【解析四】比值代换，令，，易得于是取等条件43.已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为令，将代入原等式：解不等式：44.设实数a，b，c满足45.设实数a，b，c满足，，求【解析】由，运用三角换元消元，均值代换：由于，令，代入判别式：代入，得，所以关于c的方程有解，，得代入，得得数形结合：令，转化为直线与圆有公共点，于是圆心到直线的距离小于等于半径，即.已知实数a，b，c满足可以看做点与点的斜率，易得斜率取值范围为46.已知为正实数，且，，则的取值范围是.【答案】【解析】令，，题目可转化为：，，求的取值范围.于是，取等条件：，检验，满足因为，令，解不等式，得，于是.取等条件：，于是所求式的取值范围为.

五、练习题1.已知，则的最大值为.2.已知实数x，y满足，则的最大值是.3.已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是.4.已知，且，则的最小值是.5.已知，且，则ab的最小值是.6.已知，，则的最小值是.7.已知实数，，则a+2b的最小值是.1.若，则的最小值为.2.若，则的最小值为.3.若存在实数满足，则实数的取值范围是.4.若，且，则的最大值为.5.各项均为正数的等比数列中，若，则最小值为.6.设是正实数满足，则的取值范围是.7.已知实数满足，则的最大值是.8.已知正数满足，则的最小值是.（补充题）已知，则的最大值是.14.已知正数x,y满足，则的最小值是.15.已知，则取到最小值时ab为.16.已知实数x,y满足，，则的最小值为.17.已知正数x,y满足，则的最大值为.18.已知正数x,y满足，则的最小值为.19.已知正实数a，b满足，则的最小值为.20.已知实数x,y满足，，则的最小值为.21.已知正实数a，b满足，则的最小值为.22.已知实数x,y满足，则的取值范围是.23.已知实数x,y满足，则的取值范围是.24.已知实数a，b满足，