2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区第三中学校数学高三上期末复习检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意：1考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。12560xOy绕原点O逆时针旋转90B，设直线OBx轴正半轴所成的最小正角为，则等于( )A．2 55

55

25《易·之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六5的概率为1 6A． B．5 25

8 2C． D．25 5 y2cos2x1的图像向左平移mm0个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 2 8 最小值为（ ） A． B．3 4

C． D．2设(1i)z1i，则复数z的模等于( )A．2 B．2 C．1 D．3在中，C，cosA2，AC 152，则AC边上的高为（ ）3A．52

15B．2 C．5 D．2x4y402xy100

x,y

xmy

105x2y20

所表示的平面区域内存在点0

，使不等式0 0 0成立，则实数m的取值范围为（ ）A．(,5]2

B．(,1]2

C．[4,) D．(,4]随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城1月至8月的空气质量检测情况，图中一二三四级是空气质量等级一级空气质量最好一级和二级都是质量合格天气下面叙述不正确的（ A．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个BC．8月是空气质量最好的一个月D．6月份的空气质量最差.哥德巴赫猜想是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质素数之和，也就是我们所谓的“1+1”问题它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜的证明中做出相当好的成若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）1 1A． B．5 3

3 2C． D．5 3已知数列 满足 ，且

，则数列

的通项公式为（）A． B． C． D．lA、B是直线l、DDAll，AD3，AB6，CB6．P是平面PD，PC与平面PBCD的余弦值的最小值是（） 5

3 C．12 2

D．160 fx2cosxsinxm（mR）的部分图象如图所示60

（ ）2C．66D．3若复数z满足iz2i，则z（ ）A．2 B．3 C．2 D．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。若x，y均为正数，且xyxy，则xy的最小值为 .BCC1B1BCC1B1BC1与AC所成角的余弦值为 ．已知等比数列

的前n

，a

，且a

S5 5

= .5n n 1 3 25

2 4 4 a6设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)(x2x1，则f(1)g(1) 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知动圆Q经过定点F0,a，且与定直线l:ya相切（其中a为常数，且a0记动圆圆心Q的C．CC是什么曲线？P的坐标为aPCAPmCM，N两点，m，使得AFMAFNm.18（12分）已知某种细菌的适宜生长温度为1℃~2℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃14161820222426繁殖数量y/个2530385066120218对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：x y k

7i

xx2 7ki i1

k2 7i1

xxyyi i

7xii1

xi

k20 78 4.1 112 3.8 1590 20.5ki

lnyi

，k

17k.7 ii1yxybxaycedxy关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由；根据（）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.；参考公式：对于一组数据u,v(i1,2,3,…,n)，其回归直线vua的斜率和截距的最小二成估计分别为i iinuii1

ui

v

avue5.5245.nuii1

u219（12分）设函数x4xsix−4co．在[−π，π]上的单调性；R20（12分）已知函数f(x)162x1．f(xx2；yf(xa存在零点，求a的求值范围．21（12分）在RtABC中，ABC90，tanACB

1.的中点将EF折2起，使C到C的位置且二面角CEFB60°，连接，如图：AFCABC求平面AFCBEC22（10分）已知函数fx4x1x2.fx2；yfx5x2的最小值为k，正实数a、bak

，求证：

2 6.9 ab参考答案125601、A【解析】设直线直线OAx，由任意角的三角函数的定义可以求得sin的值，依题有OAOB,则

90.【详解】如图，设直线直线OAx轴正半轴所成的最小正角为A1,2的终边上，所以sin

2 2 522 5依题有OAOB则 90，所以cos故选：A【点睛】

cos( 90) sin 2 5，52、A【解析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.【详解】因为阳数：1,3,5,7,92,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525个，满足差的绝对值为5,3,8共5P51.25 5故选：A.【点睛】P3、B

目标事件的个数基本本事件的总个数.【解析】

ycosx

，要想在括号内构造44

变为正弦函数，至少需要向左平移个单位2 4长度，即为答案.【详解】

x

x

y2cos22

81cos22

8cosx

4对其向左平移4个单位长度后，

ycosx

44cosx

2sinx，其图像关于坐标原点对称 m的最小值为4故选：B【点睛】4、C【解析】利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.【详解】因为(1iz1i,1所以z1

1i2iii,12由复数模的定义知,z12故选:C【点睛】

1.考查运算求解能力属于基础题5、C【解析】结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BCAC边上的高.【详解】过作BDCA，交CA的延长线于D由于cosA2，所以A为钝角，且sinA 1cos2A 5，所以B 3 3sinACsinAcosCcosAsinC 5 321 152.在三角形3 2 3 2 6a b BC

152ABC中，由正弦定理得

，即5sinA sinB

152，所以BC2 5在RtBCD中有BDBCsinC2 52故选：C

3 6 5AC边上的高为5.【点睛】6、B【解析】依据线性约束条件画出可行域，目标函数xmy 10恒过D1,0，再分别讨论m的正负进一步确定目标函数0 0与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：A2,6xmy10D1,0，m0x10x10m0xmy1010，mxmy10xmy10下方的区域，不满足题意；m0xmy1010，mxmy10xmy10上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点xy，0 0使不等式x0

my0

10xmy101

1km

2，解得m1.AD 2综上可得实数m的取值范围为(, ]，2B.【点睛】7、D【解析】由图表可知5月空气质量合格天气只有135月份的空气质量最差．故本题答案选D8、A【解析】6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知，所求概率为P1.5A.【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.9、D【解析】试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D．考点：数列的通项公式．10、B【解析】PBA为所求的二面角的平面角，由最大值对应的余弦值

DAP CPBPAP在PBA的PB【详解】DAl，，l，ADADBCDPAPD与平面CPBPC与平面所成的角DPA，又 DAP CPB，PA

DA1PB BC 2在平面ABxABy则A0B0，设Pyy02 x32y2 x32y2，整理可得：x52y2P在内的轨迹为M0为圆心，以4PBCBCPBBCABBCPBAPBCD的平面角，当PB与圆相切时，PBA最大，cosPBA取得最小此时PM4 3

16cosPBA

PB4 3 3MB 8 2故选B【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．11、C【解析】

2f

1,

1m ,

fxsin2x,

fx=0,由图象可知

3

可解得

2利用三角恒等变换化简解析式可得

6令 即可 求得x0.【详解】2

f

133

3sin6m1,1m

fx2cosxsinx12cosx sinx1cosx1解得 2

；因为

362222 36222231 1 36 3sinxcosxcos2x sin2x cos2xsin 2x6 2 2 2 2x故选

2k06 20

，当k1

76.【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.12、D【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.【详解】解：由题意知，iz2i，2i ii 12iz 12i，i i2 12225∴z12i2225【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.452013、4【解析】

xy2xy ,

xy2

xy4.由基本不等式可得

2 则 2

即可解得 【详解】方法一：xyxyxy2xy4，当且仅当xy2时取等.2 2 xyxy

xy

1

1

1，xy x y1 1 x y所以xy(xy) 22 124，当且仅当xy2时取等.x y y x故答案为:4.【点睛】本题考查基本不等式在求最小值中的应用,考查学生对基本不等式的灵活使用,难度较易.614、4【解析】ACBC1

相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.【详解】BBD//AC，过C作CD//ABABCDBD//AC，所以CBD是所求线线角或其补角.在三角形BC

D

CD2 2,BD2 3，故1cosCBD

1 1 18128 6.1 22 22 3 4【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15、63【解析】由题意知q

a a2

1，继而利用等比数列a

的前n

的公式代入求值即可.aa 2 n n1 3【详解】

a a 1

a(1q6) 11 1( )624解：由题意知q24

aa

2a6

1q aq5

1q6 q5(1q)

2 63.1S1 3 6 S

( )62故答案为：63.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.16、1【解析】令x1，结合函数的奇偶性，求得f(1)g(1)1，即可求解f(1)g(1)的值，得到答案.【详解】f(x),g(xRf(x)g(x)(x2x1，xf(1)g(1)f(1)g(1)(1201，所以f(1)g(1)1.故答案为：1.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题..7017（）x24ay（）存在，,.【解析】设Qx,y，易得

x2yx2ya2利用导数几何意义可得A2a,a，要使AFMAFN，只需k k 0.FM FN联立直线m与抛物线方程，利用根与系数的关系即可解决.【详解】x2yx2ya2Qx24ay，Fl为准线的抛物线

yax24ay， t2 At4a

t0. y

x2，所以y x，4a 2at2a从而直线PA的斜率为4a

t ，解得t2a

a，t0 2aFaAF//x轴.要使AFMAFN，只需k k 0.FM FNmykxax2

4ay并整理，x24akx4a20. 16a2

k21

0，解得k或k1.MxyNxy，1 1 2 2则xx1

4ak，xx12

4a2.ya y a

yaxy

ak k 1 2FM FN x x

2 1 1 2xx1 2 12xkx2axkx

2a 2axx 2 1 1 2xx

2k 1 2xx12 122k2a4ak0.4a2.故存在直线m，使得AFMAFN，此时直线m的斜率的取值范围为.【点睛】18（1）ycedx更适合（2）ye0.1e0.2x（3）245【解析】由散点图即可得到答案；ycedx两边取自然对数，得lnydxlnc，由

7xxki

k

计算得到，再将xk代入di1

xx2ilnydxlnc可得lnc，最终求得lny0.2x0.1ye0.1e0.2x；x27ye0.1e0.2x中计算即可.【详解】（）绘出y关于x的散点图，如图所示：由散点图可知，ycedx更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；（2）ycedx两边取自然对数，得lnydxlnc，kdxlnc，7xxk由 i

k

20.5di1

xx2i

112

0.1830.2lnc4.10.2200.1.∴lny0.2x0.1，则y关于x的回归方程为ye0.1e0.2x；（3）当x27时，计算可得ye0.1e5.4e5.5245；即温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245.【点睛】本题考查求非线性回归方程及其应用的问题，考查学生数据处理能力及运算能力，是一道中档题.19、见解析【解析】（1）f(x)=2x−4xcosx−4sinx+4sinx=4x(1cosx)，2由f(x)=1，x∈[−π，π]得x=1或π或π．3 3当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：x[π)3π3(π,0)31π(0, )3π3π( ,3f(x)−1+1−1+f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以x在区间[π)，(0,π)上单调递减，在区间(π,0)，(π,π]上单调递增．3 3 3 3（2）由（1）得极大值为f(1)=−4；极小值为f(π)=f(π)<f(1)<1．3 3又f(π)=f(−π)=π2+4>1，所以x在[π)，(π,π]上各有一个零点．3 3x∈(π，2π)时，−4xsinx>1，x2−4cosx>1f(x)>1；x∈[2π，+∞)时，f(x)≥x2−4x−4>62−4×6−4=8>1，在f(−x)=(−x)2−4(−x)sin(−x)−4cos(−x)=x2−4xsinx−4cosx=f(x)，为偶函数，从而x<−π时，f(x)>1，即f(x)在(−∞，−π)上也没有零点．故x仅在[π)，(π,π]上各有一个零点，即x在R上有且仅有两个零点．3 320（）{x|x17或x 5}（）a16．3【解析】x的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；.【详解】有题不等式可化为x22x16，x≤2时，原不等式可化为x22x116x17；32x

1x22x116x13，不满足，舍去；2x

1x22x116x≥5，2x|x17或x5所以不等式的解集为 ． 3 1 2x,x21

x ，2x, x1 2yfxayfxya的图像存在交点，1 1 1函数f(x)在(, ]上单调增，在[ ,)上单调递减，且f( )16.2 2 2数形结合可知a16．【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集，将零点问题转化为曲线交点的问题来解决，数形结合思想的应用，属于简单题目.21（1）证明见解析（2）45°【解析】AC的中点为GFGBCH，连接GH，EH，从而BEC即为二面角CEFB的BEC60EHBCEFBECABEHEHABEHABCEHGFFGEHFGABC.B为原点，在平面BECBBExyz轴建立空间直角坐标系，利用向量AFCBEC.【详解】FACAF.AC的中点为GFG.BCH，连接GHEH.EFBEEF，BEC即为二面角CEFB的平面角.BEC60EBC的中点.BEECBECEHBC.①∵EF，EFBE，BEE，∴EF平面BEC.而EF∥AB，∴AB平面BEC，∴ABEH，即EHAB.②由①②，BC ABB，∴EH平面ABC.的中点.∴四边形EHGF为平行四边形.FGEHFGABCFGAFC.∴平面AFC平面ABC.AB2.则A2，B0，F1，E0