电磁学习题解答

解：依据毕——萨定理

各电流元产生的.Poyl例1.载流长直导线，其电流强度为I，试计算导线旁任意一点P的磁感应强度方向垂直纸面向里。取任意电流元其在P点产生的磁场为：I方向为7

若导线无限长：不一定要，只要。则：1=0，2=结论：(2)磁力线是沿着垂直导线平面内的同心圆，其方向与电流方向成右手螺旋关系。(1)载流长直导线四周B与ro成反比。类比.PoylI探讨8解：把铜片划分成无限个宽为dx的瘦长条，每条有电流：由对称性知：yadx例2.一条无限长传送电流的扁平铜片，宽为a，厚度忽略，电流为I，求离铜片中心线正上方y处P点的rxyP.该电流在P点产生的磁场为：I其中：方向平行X轴当y>>a时当y<<a时x无限大载流平面9例3求载流圆线圈轴线上的磁场B，已知半径为R，通电电流为I。解：先探讨B的方向I.Pxxo与是对X轴对称的rR02R方向沿x轴正向！动画102）当x=0时，圆心处：1)无论x>0或x<0,B与X轴同向4)x>>R时：3）轴线以外的磁场较困难，可定性给出磁感应线，电流与B线仍听从右手螺旋关系。SN定义：磁偶极矩磁偶极子NS

n与I的方向成右手关系若有N匝线圈，总磁矩为：即:比较：(延长线上)IoR.PxBB探讨11例4一个塑性圆盘，半径为R，圆盘表面均匀分布电荷q,如果使该盘以角速度绕其轴旋转，试证：(1)盘心处(2)圆盘的磁偶极矩Rrdr证：(1)将盘看成一系列的宽为dr的圆环构成每一环在中心产生的磁场：(2)12例5.一长螺线管轴线上的磁场已知：导线通有电流I，单位长度上匝数为n。dlrl解：在管上取一小段dl，电流为dI=nIdl，该电流在P点的磁场为：P.则：..........................13P点不同，B不同。若管长L>>R，管内有很大一部分场是匀整的。2)3)对半无限长螺线管2)、3)在整个管内空间成立！管内为匀整场探讨:管外空间B0dlrlP...........................14例6.求两个以相同速度v并排运动电子之间的相互作用力。vve1e2解：设两电子相距为re2处的磁场：e2受力：.同理：16例7.半径为R的无限长圆柱载流直导线，电流I沿轴线方向流淌，并且载面上电流是匀整分布。计算任意点P的B=？解：先分析P点的方向P.I由电流对称分布可知：取过P点半径为r=op的圆周L，L上各点B大小相等，方向沿切线r>R时由安培环路定理得：若r<R同理：BR与毕萨定理结果一样L24例8.一无限大平面，有匀整分布的面电流，其横截线的电流线密度为i，求平面外一点B=？i..........abcd解：由对称可知并且离板等距离处的B大小相等。过P点取矩形回路abcdL其中ab、cd与板面等距离。00.P与P点到平板的距离无关。i•×i×0025例9.求通电螺绕环的磁场分布。已知环管轴线的半径为R，环上匀整密绕N匝线圈，设通有电流I。解：由于电流对称分布，与环共轴的圆周上，各点B大小相等，方向沿圆周切线方向。取以o为中心，半径为r的圆周为L当R1<r<R2若r<R1若r>R2IR当R管截面<<R即r

R...........................×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××.or26例在氢原子内,电子和质子的间距为求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小.解例2、电荷Q匀整分布在半径为R的球体内，求它的静电能。解：设球体的电荷是从无穷远处（电势为零处）一点一点移来，一层一层地从里到外渐渐分布而成，当移来的电荷为q时，半径为r，（电荷密度不变）这时，球面上的电势是再从无穷远处移来dq，放到半径为r的球面上，外力抗拒q的电场力所要作的功为Vdq，于是静电能的增量为因为所以代入积分便得例题：带电Q的匀整带电导体球外有一同心的匀整电介质球壳(er及各半径如图)，求(1)电介质内外的电场；(2)导体球的电势；(3)电介质表面的束缚电荷。解：(1)场强分布求D：取高斯面如图由经对称性分析erPPS1S2R1R2erPPS1S2R1R2同理求E：同理erPPS1S2R1R2（2）求导体球的电势(3)电介质表面的束缚电荷求P：erPPS1S2R1R2求σ、q：外表面内表面此题所给系统也可看作三层匀整带电球面。由匀整带电球面内、外的场强结果，用场强叠加原理可得，介质内

q内的场强抵消了Q的部分场强。

介质外q´内、q´外的场强相互抵消。erR1R2Q例题：在半径为R无限长螺旋管内部的磁场B随时间作线性变化，求管内外的感生电场。解：变更磁场所激发的感生电场的电场线是与螺线管同轴的同心圆，E到处与圆切线相切，且在同一条电场线上E的大小到处相等。EEEEEEE解：任取一电场线作闭合回路，可求出离轴线为r处的感生电场E的大小为：（1）当r<R，所以E的方向如图所示。（2）当r>R，所以r所以REO电磁感应习题课【例1】载有电流I长直导线的平面内有一长方形线圈，边长为l1和l2(l2//I)，t=0时与I相距为d，若从t=0起先以匀加速度a移动线圈，v0=0，求t时刻线圈内的动生电动势。电磁感应习题课【例1】载有电流I长直导线的平面内有一长方形线圈，边长为l1和l2(l2//I)，t=0时与I相距为d，若从t=0起先以匀加速度a移动线圈，v0=0，求t时刻线圈内的动生电动势。电磁感应习题课【例1】载有电流I长直导线的平面内有一长方形线圈，边长为l1和l2(l2//I)，t=0时与I相距为d，若从t=0起先以匀加速度a移动线圈，v0=0，求t时刻线圈内的动生电动势。电磁感应习题课【例2】匀整磁场B中，在直角坐标系框架上有一长导体棒PQ，若其夹角的匀整变更，且在PQ转动过程中P点保持不动，求=0时棒中的动生电动势。电磁感应习题课【例3】两块长为l、宽为b的平行导体板相距为a(a<<l、b)，若导体板内通有匀整分布但方向相反的电流，求导体组的自感系数。电磁感应习题课【例4】如图所示(t=0时刻)，一无限长直导线与一矩形线圈共面，直导线中通有电流I=I0e-kt(I0、k为正常数），矩形线圈以速度v向右作平动，求任一时刻t矩形线圈中的感应电动势。电磁感应习题课【例4】如图所示(t=0时刻)，一无限长直导线与一矩形线圈共面，直导线中通有电流I=I0e-kt(I0、k为正常数），矩形线圈以速度v向右作平动，求任一时刻t矩形线圈中的感应电动势。真空中的磁场习题课例题1：分析书上习题12.32等效圆电流！真空中的磁场习题课例题2：一长为l=0.9m，带电量q=1×10-10C的匀整带电细棒，以速度v=1m/s沿X轴正向运动，当细棒运动到与Y轴重合时，细棒下端与坐标原点O的距离a=0.1m，如图所示，求原点的磁感应强度。真空中的磁场习题课例题3：分析书上习题12.19真空中的磁场习题课例题4：分析书上习题12.27真空中的磁场习题课例题5：无限长直导线载有电流I1，垂直纸面对外，一段载有电流I2的导线MN置于同一平面内，相对位置如图所示，求导线MN所受的安培力。真空中的磁场习题课解：分析可知左边a段的受力方向垂直纸面对外，右边b段的受力方向垂直纸面对里真空中的磁场习题课解：分析可知左边a段的受力方向垂直纸面对外，右边b段的受力方向垂直纸面对里或者左右两段综合考虑可得到：真空中的磁场习题课例题6：分析书上习题12.21例1.长直导线通有电流I，在它旁边放有一矩形导体回路.求：1）穿过回路中的；2）若I=kt（k=常）回路中i=？3）若I=常数，回路以v向右运动，i=？4）若I=kt，且回路又以v向右运动时，求i=？解：设回路绕行方向为顺时针，1）2）

I=kt时，在t时刻，逆时针方向Ilr3）I=常数，t时刻，此时回路的磁通：顺时针方向a+vtb+vt64）综合2）、3），t时刻回路的磁通：此题若这样考虑：而：则：这样就有:2）3）4）错在那里？7例2.弯成角的金属架COD,导体棒MN垂直OD以恒定速度v在金属架上向右滑动，且t=0.x=0，已知磁场的方向垂直纸面对外，求下列状况中金属架内的i:1）磁场B分布匀整，且磁场不随时间变更。2）非匀整时变磁场，B=kxcost。解：设回路绕向逆时针1）t时刻，x=vt。方向与绕向相反，只出现在MN上。此处可干脆利用匀整场：82）B不匀整与绕向相同。与绕向相反。xdx9例4.在例3中,如图放入一边长为l的正方形导体回路oabc。求：1）回路各边的感应电动势；2）i总；

3）回路内有静电场吗？若有哪点（c与a）电势高。解：1）同理：o2）i总=ab+bc或：注：依据对称性：1），2）的计算可以倒过来进行。173）有静电场！在哪里。ab=bc会使正电荷在c点，聚集而a点有负电荷积累Uac=Ua–

Uc=

i–

IiRio等效电路结论一样或:Uaoc=Ua–Uc=0–

IiRi<018解：例5.将半径为a的金属圆盘，厚为h，电导率为，同轴放置在轴对称匀强磁场中，求圆盘电流强度及产生的热功率。设B均匀，dB/dt>0。取半径为r,厚度为dr的圆筒,其电动势其上电阻为：h总电流：产生的热功率：20例6.匀整磁场B中ab棒沿导体框向右以v运动，且dB/dt=0,求其上的i。解：由定义用法拉第定律：xx232.动的计算例7.在真空中，有一无限长直导线电流I旁，有一半圆弧导线以v向右运动。已知r，R。求Ek、

QP，P与Q哪点电势高？解：1）在导线上随意dl处的Ek距电流为r'：2）方向向上dl=Rd3）i从Q→P，UP>UQ。能否用直线PQ来代替PQ？明显：否！25例8.金属杆oa长L,在匀强磁场B中以角速度反时针绕点o转动，求杆中感应电动势的大小、方向。BoaL解法一：方向：解法二：随意时刻通过扇形截面的磁通量依据法拉第电磁感应定律:棒两端的电位差:26思索：1）半径为L的金属圆盘以转动2）以下各种状况中=？27Loa（2）互感的计算r解：分析:很难算出！圆环中:y12=B1pr2

=

moni1pr2

设螺线管通有i1，则B1=m0ni1。例9.长直螺线管单位长度上有n匝线圈，另一半径为r的圆环放在螺线管内,环平面与管轴垂直。求M？注：1o原则上可对任一线圈产生磁场计算另一线圈的磁通量yM=y/i。2o互感在电工和无线电技术中应用广泛如:变压器，互感器……互感往往也是有害的……但很多实际问题中M很难算出。30(2)自感L的计算例10.计算一螺线管的自感,截面积为S,长为l,单位长度上的匝数为n，管中充有的磁介质，求L。解：设螺线管通有I的电流,则管内磁场为B=nI管内全磁通:=N=NBS=N

nIS=n2I

lSV=lS注：除线圈外，任何一个实际电路都存在电感，输电线相当于单匝回路，回路上有分布电感。33例11.两根平行输电导线，中心距离为d，半径为a，求：两导线单位长度上的分布电感（d>>a）。解：如图，设导线中有电流I。单位长度上的磁通量：drdr343.磁能与自感系数若已知L→反之，已知Wm→

L。两根平行输电线相距为d，半径为a，若维持I不变。（前已求得，单位长度上的自感）2）磁能改变多少？增加或减少,说明能量来源？例12.求：1）当d→d’时，磁力作的功。dd'1）单位长度受力解：F>02）能量从何而来！42导线移动时，会产生感应电动势ei。而要维持I不变，电源力必需克服eL作功，从而将外电源的能量转变为磁能增量和磁力作功两部分。以下作出定量证明：外电源克服eL作功，则eL作负功。0能量守恒43Wm→L解：设电缆通有电流I，则两圆柱面间的磁场为：abr同轴电缆，两圆柱面半径分别为a、b，充满磁介质m，求单位长度Mm与L。例13.44例14.一矩形金属线框，边长为a、b(b足够长)，线框质量为m,自感系数为L,电阻忽视，线框以初速度v0沿x轴方向从磁场外进入磁感应强度为B0的匀整磁场中，求:矩形线圈在磁场内的速度与时间的关系式v=v(t)和沿x轴方向移动的距离与时间的关系式x=x(t)解法一：线圈的一部分进入磁场后，线圈内有

动，自。联立45方程的通解：46解法二：47例1.长直螺线管内充溢匀整磁介质r单位长度上的匝数为n，通有电流I。求管内的磁感应强度和磁介质表面的面束缚电流密度。解：顺磁质抗磁质××因管外磁场为零，取图示的回路依据：××...10随意载流导体在磁场中所受的合力为：所以安培力是洛仑兹力的宏观表现；洛仑兹力是安培力的微观来源。安培力的实质：磁场通过洛仑兹力而施于导体的作用力。洛仑兹力→建立横向电场→使导体受电场力作用例1.在均匀磁场中有一弯曲导线ab，通有I电流，求其受磁场力。解：由安培定律方向垂直板面对外LabB安培定律若l与B均在板面内则F=ILabBsinI15例2.求两平行无限长直导线通有相同电流的相互作用力。a解：1）求F12方向垂直同理：2）单位长度的受力：两力大小相等，方向相反：为吸引力为排斥力在I2上取电流元I2dl2I2dl2处的磁场为：指向I1指向I2结论：16求下列电流之间的相互作用：①②③④⑤18例1.图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段匀整带电直线，电荷线密度分别为+（x>0）和-（x<0），则oxy坐标平面上点（0，a）处的场强E为：(A)0(B)(C)(D)[B][C]例2如图所示，一个带电量为q的点电荷位于正立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于：（A）q/60

;

（B）q/120

；（C）q/240;（D）q/360

.(A)(B)(C)(D)[B]例3.真空中一半径为R的球面匀整带电Q，在球心o处有一带电量为q的点电荷，设无穷远处为电势零点，则在球内离球心o距离的r的P点处的电势为：例4.半径为r的匀整带电球面1，带电量为q；其外有一同心的半径为R的匀整带电球面2，带电量为Q，则此两球面之间的电势差U1-U2为：(A)(B)(C)(D)[

A]例5．一“无限大”带负电荷的平面，若设平面所在处为电势零点，取轴垂直带电平面，原点在带电平面处，则其四周空间各点电势随距离平面的位置坐标变更的关系曲线为:[A][A]例6.半径为R的匀整带电球面，总电量为Q，设无穷远处电势为零，则该带电体所产生的电场的电势U，随离球心的距离r变更的分布曲线为：(A)(B)(C)(D)(E)例7.下面说法正确的是[D](A)等势面上各点场强的大小确定相等；(B)在电势高处，电势能也确定高；(C)场强大处，电势确定高；(D)场强的方向总是从电势高处指向低处.例8.已知一高斯面所包围的体积内电量代数和，则可确定：高斯面上各点场强均为零。穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。穿过整个高斯面的电通量为零。以上说法都不对。[C]高斯面例9：两同心匀整带电球面，带电量分别为q1、-q2,半径分别为R1、R2,求各区域内的场强和电势。解：在三个区域中的随意点分别作同心球面高斯球面，设面内电荷为q，则高斯面上述结果可干脆由匀整带电球面电荷的场和叠加原理得出。高斯面电势分布可由叠加原理和场强积分二法求出。下面用一法求解。例1：带正电的导体A，接近不带电的导体B，导体B的电势如何变更。答案：上升。例2：两导体板分别带电Qa、Qb。求各表面的电荷面密度。解：在导体极板内，取A、B两点，由静电平衡条件联立求解1.两外表面电荷等量同号。2.两内表面电荷等量异号。有探讨：①②例3：球形电容器由半径为R1带电为Q的导体球和与它同心的导体球壳构成，其间充有r1、r2两种介质，求：(1)场强分布；(2)

两极间电势差；(3)

电容C。解：(1)I区：E1=0II区：作高斯球面导体内III区：同理导体内IV区：V区：（2）两极间电势差(3)电容C例4：球形电容器两球面的半径分别为R1、R2，带电量分别为+Q和Q，

极间充有电介质

，求：电容器能量。解：极间场强能量密度体元练习1两个长直螺线管半径不同，但它们通过的电流和线圈密度相同，问这两个螺线管内部的磁感应强度是否相同？（A）相同（B）不相同（C）不确定答案：[A]练习2

通有电流I

的单匝环型线圈，将其弯成N=2的两匝环型线圈，导线长度和电流不变，问：线圈中心o点的磁感应强度B和磁矩pm是原来的多少倍？答案：[

B]（A）4倍，1/4倍（B）4倍，1/2倍（C）2倍，1/4倍（D）2倍，1/2倍本章小结与习题课解：本章小结与习题课练习3如图所示组合载流导体，求o点的磁感应强度B。cROIRabde本章小结与习题课解：分析：由于o点在ab与de的延长线上，所以ab段与de段导线在o点产生的B

为0;bc段与cd段导线在o点产生的磁场方向相同。cROIRabde本章小结与习题课方向垂直向里cROIabde本章小结与习题课o点磁感应强度为：cROIRabde本章小结与习题课Ro练习4

在半径为R的半球型木制骨架上密绕N匝线圈，线圈内通有电流I，求：球心o点处的磁感应强度B。解：由于线圈密绕，电流对o点张角匀整分布。本章小结与习题课OR⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙xxr可将半球面上的电流分割成无限多载流圆环，利用载流圆环在轴线上的磁感应强度公式：则电流元的磁场：本章小结与习题课其中