高考必刷100题-高中数学100题精讲

高中数学解题思路100题精讲

第一篇春函数、指数函数和对数函数

【第1题】已知集合A={(x,y)\y=一34+2,2：€N},B={(x,y)\y=a(^x2-x+1),xeN},

是否存在非零整数a,使壬0.

分析1.集合,4、B的元素是平面直角坐标系上的点集.

集合4表示直线y=—3立+2上c是自然数，〃是整数的离散的点集，元素为(1,—1),(2,—4),(3,—7)等;

集合B表示抛物线沙=a(一一/+1)上①取自然数的点集，元素为(1,a),(2,3a),(3,7a)等.

2.该题所探求的是存在非零整数a使还是不存在非零整数a,使力nBr0.

要对以上两种情况作出肯定或者否定的判断，并加以证明.这里可先假定存在满足条件的a值，使方程组

_3化-1-2

<‘一’有特定的解，再进一步设法求a的值.若符合条件的a的值可求出，则说明假设是正确

y=a—a;+1)

的，反之则不存在这样的非零整数.

解析假设存在非零整数a,使依题意，有方程组

~~_3*17+2

<'消去g并整理Q①2+(3—a)/+a—2=0.①

y=a(x2—x+1)

因为a/0,3；€TV；所以

A=(3-a)2-4Q(Q-2)>0;--WQ《1十："

所以a=-1,1或2.

当a=—l时，代入①式，0=1或3,此时力AB={(1,-1),(3,—7)}符合题意.

当a=1或2时，代入①式，x不是自然数.

故存在非零整数a=—1时，使月AB壬0.

说明L要正确理解集合的概念，了解集合中元素的确定性、互异性和无序性，能正确地掌握集合

的表示方法，如列举法、描述法、字母表示法等.在解集合问题时.，首先弄清集合中的代表元素，如分清

A={x\y-x2],B={y\y=x2},C={(g=产，㈤W1}等集合的差别，集合4的元素为一般可取

任意实数，也可用字母R表示；集合B的元素为"，沙是任意实数力的平方，也可用集合国松?0},[0,+8),

和而形式表示；集合。表示抛物线"=/上的一些点的集合，其中立的取值范围为[-1,1].

2.要正确理解和掌握集合的子、交、并、补的意义，并熟练进行运用，运用时应首先化简给定的集合.

3.存在性问题是讨论具有某种数学性质的对象是否存在的问题，它包括给定的对象确定存在，要求予以证

明，若满足一定要求的对象是否存在尚不明确时.，要求进行一番探索，得出明确的结论.解决这类问题的常用

方法是直接推证，或直接找出满足条件的对象，或从反面入手加以解决.

练习1

1.数集x={(2n+i)7T,neZ}与数集y={(或±i)7T,kez}之间的关系是().

A：XCYB：XDYC：X=YD：XDy

2

2.已知集合A={y\y=-x2+5，NW7?},B={y\y=—①+3,%£H},贝!JAAB=().

A：{2,-1}B：{1,4}C：{y\y5}D：{y\y<5}

3.已知集合A={(N，y)||c|<2,2/一y=0,xeZ}f用列举法表示集合A=.

4.已知4={训化-1|<c，c>0},B={x\\x-3|>4},且4Cj3=0,求c的范围.

5.己知/(乃=(Q/+比+c)•27是否存在实数。、I)、。使/(6+1)-/(a)=2]恒成立？若存在求

出Q、b、c；若不存在，说明理由.

6.设a/，WH

A={(x,y)\x=n,y=an-\-b,neZ},

B={(x,y)\x=m,y=3m24-5,m€Z},

C={(x,y)\x2+y2144).

讨论是否存在这样的Q,b,使Ansr。和(Q,b)ec同时成立.

22

7.已知双曲线C:1-工=1的左右两焦点分别是外、F2,左准线为I,问能否在双曲线左半支上求

25144

得一点P,使|FFi|是P到/的距离(I与\PF2\的比例中项？若能，求出P点坐标；若不能，说明理由.

8.满足z+2是实数，且z+3的辐角主值是尊的虚数z是否存在？若存在求出z,若不存在说明理由.

z4

【第2题】已知A={a;|a?2+(p+2)x+1=0,a:£7?)>且4CH+=0,求实数p的取值范围.

分析力CH+=0表示集合A在正实数集的交集是空集，集合A可能是非正实数集，还可能4=0,

所以解题时必须对两种情况分别说明.

解析(1)当4=0时，x2+(p+2)x+l=0无实数解.所以△=(p+2/一4<0,得-4<p<0.

(2)当时，A为负数和零组成的集合，考虑到方程工2+伪+2片+1=0的两根之积为1,则

'A=(p+2)2-4^0

p20.

一(p+2)<0

综合⑴、(2)得:p>-4.

说明L空集0是一个重要的特殊集合，它不含元素，是任何一个集合的子集，任何一个非空集合的真

子集，要注意0与集合{0}、{0}的区别，掌握有空集参与的集合运算的规律.

2.解题时要注意对问题中所给集合是否是空集进行讨论，要注意有关空集的以下几种情况：

(1)若4£3(或AuB,AQB=0),且B#0,则A可能是空集；

(2)若ACB(或4=B,AQB=0),则A、B都可能是空集；

(3)若A£B,且力壬0,则B一定不是空集.

练习2

1.若/、0表示全集和空集，(Xu8)U4,则()

A：0cAaB13：13cAalC：B=0D：力=/且3#4

3

2.已知A={刮10+3/—422o},B={/%+1w，W2k—1},则使/AB=0时的实数k的取值范

围为()

A：k<-g或k>4B：k<2C：k<2或k>4D：k<2或k>4

3.已知A={%3}，B={aigg,…，a”,}(nWN,且n23).

(1)求集合13的子集、真子集、非空子集的个数；

(2)求满足条件ACXGB的集合X的个数.

4.己知4={加工—a|<4},B=L|J2r-1<2"+31且4n3=。，求。的取值范围.

[I[5a;-2<3a:+6J

5.已知A-[x\x2—3ar+2=0,.T€/?},B-{rr|2i：2—ax+2=0,x€/?},若J4UB=4求a的值组

成的集合.

6.已知力={剑/—3z+2=0},B={a：|a;2—aa;+(a—1)=0},C={x\x2—bx+2=0},若8uA,

CCA,求实数a,b的值.

7.已知4={(①,")"=/},u={(x,y)|a;2+(y-a)2=1},问

(1)当a为何值时4n8壬0；

(2)当a为何值时，0UAAB.

8.已知M=1(x,?/)|Y~~|=a+1},N={(2,y)|(a?-1)z+(a-I.=15},且MClN=0,求实数a.

【第3题】已知函数f(z)=3],f(x)的反函数记为厂(工),广1(18)=a+2,函数g(x)=3—一4,

的定义域为[0,1].

⑴求g(x)的解析式；

(2)判断ff(x)的单调性；

(3)求g(x)的值域.

分析(1)求g(x)的解析式关键要确定a的值，而a由函数f(x)与/一1(立)之间关系得出.

(2)判断函数的单调性可根据函数的单调性定义，经过取值、作差、变形、判定符号几步来判定.

(3)求值域的方法很多，此处根据前面已判定的函数的单调性来求值域是较简捷的方法.

解析(1)

7-1(18)=<z+2;

/(a+2)=18;

3。+2=18.

a=log32.

g(x)=2X-r.

4

(2)设的<工2，叫,？2€[0,1],则

931)-9(x2)=2皿一产一伊一4切)

=(2血-2狈)(1-23-2*2)>0.

则g⑺在[0,1]上单调递减.

(3)g(0)=0,g⑴=-2,则函数g(x)的值域为[一2刈.

说明1.已知函数v=求/-(a).一般是先求出反函数/一】(/),再令Z=a求出函数值.其实这类

问题可根据反函数的性质，把求/TQ)的过程省掉，只要由/&)=a解出]，则得f-\a)=x.

2.判断函数的单调性一般有两种方法，一种是利用定义判断，另一种是转化为求简单的已知函数的单调性.

如函数g(z)=2"-4,,立€[0口.函数g(a;)由u=2%g(ti)=a—t/2两简单函数复合而成.当[0,1]时,

u(x)单调递增，当工€。1)时，ue[1,2],g®)单调递减,故g(x)=g[u(x)]在[0,1]上单调递减.

3.若函数沙=/3)在区间[a,6]上递增(或递减)，则0€[〃。),/(划(或[/(6),/(a)]).函数的这一性质

广泛应用于比较数值的大小，求值域，求最值，研究方程的实根分布状况等问题.

练习3

1.函数y=2-V4x—a;2(0WcW4)的值域是()

A：[-2,2]B：[1,2]C：[0,2]D：[~V2,y/2]

2.已知/(z)=8+2v-72,如果。(工)=/(2—工2),那么。(工)()

A：在区间(-2,0)上是增函数B：在区间(0,2)上是增函数

C：在区间(-1,0)上是减函数D：在区间(0,1)上是减函数

3.设〃#)=妤一2计1(立》0),则尸1(0)=.

4.函数y=logi(3-2rr-x2)的单调递增区间是.

5.已知函数/(x)=4^-5-21+1,讨论函数的单调性并求函数的最值.

6.已知函数y=竺兰的图像与它的反函数的图像完全重合，其中实数a、b、c、d满足关系式

(a2+62)(c2+rf2)^0,那么函数应该具有怎样的形式？

7.已知函数/(*一3)=lg/^

(1)求/(①)的定义域;

(2)判断f⑺的奇偶性；

(3)求/(为的反函数厂1(切；

(4)若f[(p(x)]=1g(①+1),试求.(3)的值.

8.己知函数/(2)=2108。(2+2)+108工(出2+4出)，其中a>0且Q壬1,且/(⑦)>0,讨论函数/(包)在

区间(1,+8)上的单调性.

【第4题】设a>0,且a壬1,试求使log0.Q-afc)=log^(rr2-a2)有解的k的取值范围.

分析这是含参数的对数方程，显然该方程的解的存在性受参数的制约，因此要求该方程有解时的k的

5

取值范围，应首先揭示出该方程的解与参数的内在联系，即由原方程变形得3-加：)2=i—Q2,再进一

1L卜2

步得1=三.二0.要此对数方程有解，必须使对数方程有意义，即对数函数的定义域应为一切正数，亦即

2k

8—ak>0和,2—Q2>0

解析原方程等价于

(x—ak)2=x2—a2

(力—afc)2=x2—a2①

x—ak>0

x-ak>0②

x2—a2>0

1_L"21+fc2

由①式得X=a(fc/0),代入②式得>k.

2k2k

解得人<一1或0cz<1.

说明上面采用的方法是处理对数方程的基本方法，即先解方程再验根.但由于题目本身只要求有解存在,

就没有必要求出解，故根据方程有解的问题的讨论，可考虑利用数形结合转化成求函数图像有交点的条件问

题，从而直观地、简捷地得出结论.考察两函数g=和匚丁(/>。或Z<一0)的图像，易知

kC(—oo,—1)U(0,1).

练习4

1.方程(1-k)x2+岱+2)/+1=0有实数根，则k的取值范围为()

A：kv-8或k>0且B：kW—8或A:20

C：k<-8或k>0D：kW—8或且k/l

2.不等式在率^>c+l的解集为

55

A：%<2B：—-Vc<2C：——《1V2D：—1<x<2

3.方程-1-=(H+1)2的实数根有_______

个

x—1

4.满足arcsinx>arccosx的x的取值范围是.

5.方程sinrr-Igx=0有几个实数解？

2

6.设Q〉0,解关于x的不等式：\/2ax—a>1—①.

7.解方程声不Q,=0,并用/(a)表示该方程实根的个数，写出这个函数(二重根算两个根).

8.若方程叫一=2有实数解，求实数a的取值范围.

lg(a;-a)

【第5<]函数/(x)的定义域关于原点对称，且满足下列条件：

/(21)/(立2)-1

(1)*1、窜2是f(X)定义域中的数，且f(®1-X)=

2/(22)—/⑶)

(2)存在正常数。，使/(a)=l；

(3)当0</<2a时，/(立)>0.

试判定(1)/(0是奇偶性；

(2)/(x)是否是周期函数，若是周期函数，求出它的周期;

(3)/(c)在(0,4«)上的单调性.

6

分析由本题所给的条件显然不易直接求出该函数的周期，故解题的关键是能否找到一个类似/（工）结构、

性质和特点的具体的函数，从某个具体函数的性质中猜想函数/Q）的周期、单调性，再进行严格的证明.

由条件（1）容易联想到其形似余切的两角差公式

ctgactg。+1

ctg(a-/3)=

ctg§—ctga

猜想〃乃与ctg，相当，Ctg①是奇函数，猜想/（X）是奇函数.

由条件（2）联想到ctg；=1,猜想a相当于］，因为ctgz的周期是7T,即4x猜想/（,）的周期是

444

4a.

解析（1）设立=叫-42，由于定义域关于原点对称，则有-2=Z2-的，则

/（为）/（工2）+1

/（一工）=71）=

/（叫）一/⑸）

/（%）/（12）+1

/（的）一/（叫）

=-/(X1一22)=­f(x)

故f⑺是奇函数.

（2）

/(ap/(-a)+1=一/(0/3)+1=1—/⑺=.1

/(-a)-f(x)-/(a)-/(a:)-1-/(x)〃工)+1

f(%+a)-1_]=-2=__1

f(x+2a)=f[(x+a)+a[=

/(]+Q)+1.+「狗一祠

1

f(x+4a)=f[(x+2a)+2Q]=—

+2a)=73)

因此/（%）是周期函数，其周期为4a.

（3）设0V①1VN2V4Q,

但_与]=">〃-/+1=严得)-1.

【2I2〃__2/(f),

户但)_1尸（著）T

/(Z1)-/(g)=2/暮)----

27（号）

立1窃数—X1

€(0,2a)

-2-

7

,/e)〉。,/居)〉。八〒)〉。

而

—吟”号)•/(号)+1：()

\2)-/(f)-/(f)

・•・喈)-->。

故/(Z1)-/(①2)>o./(x)在(0,4a)上递减.

说明数学是一个具有内在联系的有机整体，各不同分支、不同部分都是相互联系、相互渗透的.通过观

察、类比、联想，先猜测出结果，再进一步证明是我们常用的解题方法、解题思路，这样把抽象问题具体化,

找到抽象问题的具体模型，但在具体解题过程中仍应对此猜测给出严格的证明.

练习5

1.己知定义在R上的函数/(工)满足〃/+?)=/(/)+/(?),则/(/)是()

A：奇函数B：偶函数

C：既是奇函数，又是偶函数D：既不是奇函数，又不是偶函数

2.已知f(ab)=/(a)+/(6),且/(6)=p,/(120)=q,则

5

/⑴+2〃2)+3/(I)+4/G+5/+6/C)

的值为()

A：p+qB：p—qC：6p-QD：6Q-p

3.｛a｝为公差不为零的等差数列，则lim粤=.

nn-^oo

4.已知x=一y?,则％+沙的最小值是.

5.设/⑺)>0(几WN),对任意自然数2和九2，总有/(%+々2)=/(几1)+/(几2)，又/⑵=4.

⑴求)⑴，/⑵,/(3)的值；

(2)猜想/(n)的表达式,并证明.

6.求证：若(2—1)2—4Q—g)(g—z)=0,则①、y、z成等差数列.

7.数列｛Q"中，Q1=通，且an=:+(几)2).求数列的通项，并计算Qi+Q5+Q9H--FQ1989

1—。打一1

的值.

8.己知函数/3)适合下列性质：

⑴/(211)+/(262)=f(3+①2),/(的一①2)；

(2)/(7T)=0；

(3)/(x)不恒为0.求：

(I)/Q)的奇偶性；

(2)证明f(x)是周期函数；

(3)求证对所有neR有f(x)+220成立.

8

【第6题】甲、乙两地相距S千米，汽车从甲匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/时.已知汽车

每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度。（单位：千米/时）的平方成

正比，比例系数为b；固定部分为a元.

（I）把全程运输成本?（单位：元）表示为速度。的函数，并指出这个函数的定义域;

（II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

分析解答（I）可从两个角度考虑：其一，单位时间的运输成本乘以行驶时间得总成本；其二，全程的固

定成本和全程的可变成本组成总成本.

解答（II）可先考虑速度无限制的情形（即无限区间上的最小值问题），再考虑速度受限制的情形，这时由

于a、b、c这些常数都没有给定具体值，其大小关系不清楚，有各种可能，因此可能碰上需分类讨论的情况.

具体的计算路径视（I）所得的函数而定，由于本题求得的函数关系是正比例式与反比例式之和，所以可考虑用

平均值不等式，但要注意不等式使用时的条件限制.

解析（D依题意,每小时运输成本为a+b/（元），全程的行驶时间为:（单位：时），全程运输成本

为

y=-(a+iw2)=s+bv).

故所求函数及其定义域为

y=s(:+bv)ve(0,c].

（II）依题意s,a,b,v都为正数，故有s(。+机)22s\/ab；

当且仅当沁即八诵时上式中等号成立.

若近WC,则当n=机时，全程运输成本最小.

若>c,当。€（0,c］时，有

S仁+2―S(*2=S[(U+M—㈣]

=­(c—v)(a—bcv)

VC

因为c—S.a>be2,故有a—bcu》a—be2>0；则s+丽)》s(/+be)；

且仅当o=c时等号成立，也即当o=c时、全程运输成本v最小.

综上所述知，为使全程运输成本V最小，当邙We时，行驶速度应为。=华；当华〉C时，行驶

bbb

速度应为v=c.

说明1.解答（II）具有一定的难度，高考命题组给出的标准解答是当A>c时，采用比较的办法解答,

同学们一般很难想到.事实上，这个问题就是求函数y=s（?+配），（a、b>0）在给定区间（0,c］上的最小值

问题，可以利用函数的单调性来求函数的最小值.

9

设叫</2，叫，^2€(0,c],则

(£+匕叫)-s(£+b①2)

/(叫)一/(的)=

=----(g—21)(Q—匕叫初)

XIX2

因为0<叼</2WC，所以0<XiX2<(?.

又因为J，〉C,所以0Vb④]/2<Q；/(^1)>/(^2)-

故当A>c时，函数/(为=5(7+玩)(0,6>0)在(0闻上单调递减，当。=c时，全程运输成本最

小，值为s((+bc).

2.上述讨论分析的函数是中学生所熟悉的函数/Q)=c+£(Q>0),这里详细分析它的性质特点.

(1)定义域xe(—00,0)u(0,4-00).

(2)值域因为,+曰=罔+向》24,所以ye(—00,—2\/tt]U[2，S,-Foo).

(3)最值函数V=z+q(a>0,£en+)当H=4时有最小值24，此时曲线上的最低点为

X

2，5)；而函数y=X+£(Q>0,x€R~)当i=一，5时有最大值一2/S,此时曲线上的最高点为

(--\/^7—2^/a).

(4)奇偶性/(—乃=一/+三=—(Z+?)=—/(/),即〃工)为奇函数.

(5)单调性函数9=%+£(。>0心€衣+)在(0,西)上单调递减，在[4,+oo)上单调递增.用单调

性定义证明.

(6)渐近线设Af(2,y)是函数v=工十°(a〉0,/€/?+)图像上的点，N(/,y)是？=a:上与M

X

有相同横坐标的点，则|A/N|=|y-Y|=k+(—』=设|A/Q|是点M到直线y=c的距离，则

|MQ|<|A/N|.当/逐渐增大时，1MN|逐渐减小，立无限增大，接近于零，|A/Q|也接近于零，故函数

/(%)渐近线是y=x,另一支渐近线是x=0(证明略).

Q-7T

(7)图像可借助坐标轴的旋转变换化简此方程，将力、沙轴按逆时针方向绕原点旋转萼角而变为

O

x',y'轴，则

,3,.3

x=xcos-7r—ysin-7r

f§

y=x'sin-7r+y'cos37r

oo

d，2y'2

将上式代入?/=8+色得Y—=2Q

ev2+1v^-1

它表示中心在原点，而以*=±(，5-1)”为渐近线的双曲线，作函数图像如图1一1.

10

图IT

3.本题所涉及的函数关系式是正比例式与反比例式之和，也可以变形为二次函数，利用二次方程在闭区间

上的根的分布情况来解决.

由（I）的结论变形得

sbv2—yv+sa=0,v&（0,c]

即y使得关于u的这个二次方程在（0,c]上有实根，相当于判别式

△=/—4abs之》0①

且

0<y+\/y2—4abs2&2bcs②

或

0<y—'啜-4abs2w2bcs③

依题意可知y,s,a,b,c都是正数，因此由①得

y》2'/abs④

若2bcs?2疝s,即c》Y更时，不等式②有满足@的解y,且沙=2，疝s就是一个解.

b

故”有最小值2，而s,这时，对应的速度。满足

sbv2—2\/absv+sa=0

即

Vab厂...,

v=-r-C（。，生

若2bcs<2，而s,即c<芋时，不等式②没有满足⑨的解，联立③、⑷解得y》（儿+s；

11

故得y的最小值为（权；+s,这时对应的速度满足

sbv2(be+3)sv+6Q=0

即

(v—c)(bcv—a)=0

因为

bev—QWb(?—a<b=0

所以—c=0；得对应的速度v=c.

练习6

函数片高七2的+7最小值是

)

A：21/3B:5C：0D：无最小值

2.下列函数中，最小值为2的是)

■+3

A：y=x—(x0)B：y=/:

x

C：g=tgi+ctgi(c^^7T,fcGZ

D：y=2cos2力+4cosc+5

如果a€",5］,则a+=1的取值范围是

3.

a

4.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和

80元,那么水池的最低总造价为元.

5.设函数f（x）=/+c+l（c为常数）的最小值为小，求证:

7翼+c

①当cWl时，m=2；

②当c>l时，+

2

6.已知/（力）=X—g（k>0）,且f（a）+/（3—4a）<0（a>；），求Q的范围.

7.已知抛物线y=广+加①+2与两端点为4（0,1）、网2,3）的线段有两个相异的交点，求加的范围.

【第7题】（1）若方程4sin2x—sine+9a=0有实数解，求a的取值范围；

（2）若方程4Qsin21-sin④+9Q=0有实数解，求Q的取值范围.

1

分析（1）这类问题可用函数思想解题，可看作是求函数。=-；（4$山20；—5吊2）的值域问题，用配方

法结合正弦函数的有界性来解决，也可以利用图像法直观地求抛物线y=（4/（用w1）与直线y=a

有交点时Q的取值范围.

sinr

（2）本题与（1）仅差一项的系数，虽然也可以化归为求函数(L=----9-----的值域问题，但解题过程

4sin①+9

繁琐.如设sin力=t,则可以化归为问题：使二次方程4就2一1+9。=0在［-1,1］上至少有一实根的a的取值

9

范围.可根据二次方程在闭区间上实根的分布情况分类讨论.如果能观察到方程的两根之积为［大于1,说明若

4

方程/⑴=0在［-1,1］上有实根，只可能有一个非零根，从而减少分类情况.

12

解析(1)原方程变形为

又因为|sin剑W1；所以QG——.---：.

［9144

2

(2)设t=sinrr,则有f(t)=4at一力+9Q=0te［-1,1］.

当Q=0时，f=0,此时方程有解；

Q

当Q#0时，设%1，匕2是方程4a产—£+9Q=0两实根，则力±2=j>1，方程/(。=。只可能在［―1,1］

内有一个非零实根，则

(/(-1)/(1)=(13a-1)(13。+1)W0,

|/(0)=9Q壬0.

解得ae卜*,o)u(o,»

综上所述得aG——,—.

IMit?

说明1.关于形如asin2x+bsinx+c=0(a*0)方程解的讨论都可以把它转化为对二次函数y=/(«)

的根的分布讨论，可结合函数图像来解答.要注意令sina:=t时，sin①的有界性对新变量t的限制，代换得到

的是闭区间上的二次方程.

2

2.一般地，二次方程f(x)=ax+历:+c=0(Q>0)的两实根为11，X2(xiW数)，则

(1)ci,X2均大于m<=>△>0,—2>m,f(m)>0.

2a

(2)xi，①2均小于m△20,—(<m,f(m)>0.

(3)xi，④2均在区间［m,n］上<=>△>0,mW—<n,f(m))0,/(n)》0.

(4)有一根在区间［m,n］上V。W0.

3.问题(2)也可以转化为求函数a=的值域，当sina:r0时，即为a=1—1~

4而立+9响立+超

由上例我们分析了z=i+|(罔W1)函数的性质特点，由单调性得ze(一8，—苧U苧，+8)

故a€—o)U；当sinx=0时，a为0.

综合得aC——,—•

loJLo

练习7

2

1.已知方程/_2/+lg(2a—a)=0有一正根、一负根，求Q的取值范围()

11

A：--<a<1B：--<a<0

22

C：——<(2<0或—<<z<1D：—<a.<1

2.若方程cos2%-2cosa;-3-2a=0有实数解，则a的取值范围是

A：,-Foc*^B：——,4-oo^C：——,0

3.使方程2mx2-2x-37n-2=0的一根大于L另一根小于L求nz的值.

13

4.若方程kcosx-F2k+1=3sinz恒有解，求k.的取值范围.

5.试确定m的范围，使方程sin2N—cos%+m=0在内有解.

22

6.曲线[+3=1与沙=工2+加有四个不同的交点，求m的取值范围.

416

7.若方程sin2a;—(a2+2a)sins:+a3+a2=0有两实根，确定a的范围.

2

8.若方程asinx+；cosz+g-a=0(a/0),a:€[0,2-]有相异的实根，求不等式logax<log#y/a的解

集.

-1

【第8题]己知a>0,且arl,有/(log。x)=20'](H一^).

(1)对于/⑺，当(-1,1)时，/(I-m)+/(1-m2)<0,求m的值的集合.

(2)若/(工)一4恰在(—8,2)上取负值，求a的值.

分析1.己知/[g(z)]=g(z),可令t=3(z),得±=9-19),再代入，即可求出/(立)的解析式.

2.已知含f的简单不等式/(1-m)+/(1-m2)<0如何去掉/呢？一种方法是把f⑸解析式代入，下

面的运算很复杂；另一种方法是先考虑函数/(立)的性质特点，把/(1-m)和/(1-m2)看作是函数f⑺的

两个函数值，1—m和1一加2是定义在(一I4上的数，利用函数的单调性去掉了.

3.问题中“恰”字是关键字，意思是“有且只有”，〃幻-4有且只有在(—8,2)上取负值，因为“0：)-4

在R上是连续的增函数，故只须/(x)—4