高中数学第3章数系扩充与复数322复数乘法323复数除法新人教B2新人教B数学教案

复数的乘法复数的除法学习目标核心修养1．理解复数的乘除运算法例.2．会进行复数的乘除运算．(要点)经过复数的乘法、除法运算法例及运算性质3．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并的学习，提高学生的数学运算、逻辑推理素能应用周期性进行化简与计算．(难点)养.4．掌握共轭复数的运算性质．(易混点)一、复数的乘法及其运算律1．定义(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．运算律对随意z1，z2，z3∈C，有互换律z1·z2＝z2·z1联合律

(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分派律z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z33．两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．4．i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1．二、复数的除法法例1．已知z＝a＋bi，假如存在一个复数z′，使z·z′＝1，则z′叫做z的倒数，记作11ab1zz，则z＝a2＋b2－a2＋b2i且z＝|z|2.2．复数的除法法例设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，z1a＋bi＝ac＋bdbc－ad＝c＋di22＋22i.z2c＋dc＋d21．复数1－i(i为虚数单位)的共轭复数是( )A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i221＋i[分析]1－i＝2＝1＋i，21－i，应选B.∴1－i的共轭复数为[答案]B2．已知复数z1＝13为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，2－2i(1＋i)(i则z2＝________.13[分析]z1＝2－2i(1＋i)＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，由于z1·z2∈R，因此a＝4.因此z2＝4＋2i.[答案]4＋2i3．若复数z知足i·z＝1＋2i，此中i是虚数单位，则z的实部为________．[分析]∵i·z＝1＋2i，∴z＝1＋2i＝2－i，故z的实部为2.i[答案]2复数代数形式的乘法运算【例1】(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝()A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i(2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于()A．－2－3i

B．－2＋3iC．2－3i

D．2＋3i(3)i

是虚数单位，复数

(3＋i)(1

－2i)

＝__________.[分析]

(1)由题意知

a－i

＝2－bi

，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)

2＝(2＋i)

2＝3＋4i.(2)∵z＝(3－2i)i

＝3i

－2i

2＝2＋3i.z＝2－3i.应选C.2(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i＝5－5i.1．两个复数代数形式乘法的一般方法第一按多项式的乘法睁开；再将i2换成－1；而后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；(2)(

a＋bi)(

a－bi)

＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1

±i)

2＝±2i.1．若|

z1|＝5，z2＝3＋4i

，且

z1·z2是纯虚数，则

z1＝________.[分析]

设z1＝a＋bi(

a，b∈R)，则|

z1|

＝

a2＋b2＝5，即

a2＋b2＝25，z1·z2＝(a＋bi)

·(3＋4i)

＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i.z1·z2是纯虚数．3a－4b＝0，∴3b＋4a≠0，a＝4，a＝－4，解得或＝3＝－3.a2＋b2＝25，bbz1＝4＋3i或z1＝－4－3i.[答案]4＋3i或－4－3i复数代数形式的除法运算1＋i3【例2】2＝()1－iA．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i(2)i是虚数单位，复数7＋i＝()3＋4iA．1－iB．－1＋i1731iD．－1725C.＋25＋i2577[分析](1)法一：1＋i3＝1＋i1＋i21＋i1＋i2＋2i1－i2＝－2i－2i－2＋2i1－i＝－1－i.应选D.＝－2i＝i1＋i31＋i22法二：1－i2＝1－i(1＋i)＝i(1＋i)＝－(1＋i)．(2)7＋i＝7＋i3－4i＝25－25i＝1－i，应选A.3＋4i3＋4i3－4i25[答案](1)D(2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤第一将除式写为分式；再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；而后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．2．常用公式11＋i1－i(1)i＝－i；(2)1－i＝i；(3)1＋i＝－i.2．(1)知足z＋i＝i(i为虚数单位)的复数z＝()z1111A.＋iB.－i2222C．－1＋1iD．－1－1i2222(2)若复数z知足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )A．1B．2C.2D.3[分析]z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．(1)∵＝i，∴z＋izii－1－i1－i11∴z＝i－1＝－1＋i－1－i＝2＝2－2i.2i2i1－i(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝1＋i＝2＝1＋i，∴|z|＝12＋12＝2.[答案](1)B(2)Cin的周期性及应用[研究问题]1．i5与i能否相等？提示：i5＝i4·i＝i，相等．2．i＋i2＋i3＋i4的值为多少？提示：i＋i2＋i3＋i4＝0.【例3】计算i1＋i2＋i3＋＋i2020.[思路研究]此题中需求多个in和的值，求解时可考虑利用等比数列乞降公式及in的周期性化简；也可利用in＋in1＋in2＋in3＝0(n∈N)化简．[解]法一：原式＝i1－i2020＝i[1－i21010]i1－1＝0.1－i1－i＝1－i法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，nn1＋in2n3∴i＋i＋i＝0(n∈N)，12＋i3＋＋i2020∴i＋i＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋＋(i2017＋i2018＋i2019＋i2020)＝0.虚数单位i的周期性(1)i4n14n24n3，i4n＝1(n∈N)．(2)in＋in1＋in2＋in3＝0(n∈N)．1＋i1＋i21＋i31＋i103．计算：1－i·1－i·1－i··1－i.1＋i[解]∵1－i＝i，∴原式＝i231012310＝i553·i·i··i＝i＝i＝－i.1．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝()A．－3＋iB．－1＋3iC．－3＋3iD．－1＋i[分析]依据复数乘法运算法例，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.[答案]B2i2．在复平面内，复数z＝1＋i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2i2i1－i[分析]z＝1＋i＝1＋i1－i＝1＋i的共轭复数为1－i，对应的点为(1，－1)，在第四象限．[答案]D23．若1－i＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.[分析]221＋i＝1＋i，因此1＋i＝a＋bi，因此a＝1，b＝1，因此由于1－i＝1－i1＋ia＋b＝2.[答案]24．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1为纯虚数，则实数a的值为________．z2[分析]设z1－4i)＝4b＋3bi，＝bi(b∈R且b≠0)，因此z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3z2a＝4b，8因此因此a＝.2＝3b，38[答案]35．计算：(1)(1－i)13(1＋i)；(2)2＋3i－2＋2i；3－2i(3)(2－i)2.[解](1)法一：(1－i)13(1＋i)－2＋2i＝13132(1＋i)－2＋2i＋2i－2i＝3＋1i(1＋i)3－1＋22＝3－13＋1＋3－13