2.1 离散型随机变量及分布列（教师版）

2.1离散型随机变量及分布列【基础梳理】【典型例题】题型一概念辨析例1】(1201·芝第高中高期（先抛一质均的子5,么能作为随机变量的是 ( )A．出现7点的次数 B．出现偶数点的次数C．出现2点的次数 D．出现的点数大于2小于6的次数(2)（2020·全国高三专题练习）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（ ）A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球C．取到白球的个数 D．取到的球的个数(3)（2019·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）从标1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为ξ，那么随机变量ξ可能取的值有（ ）A．17个 B．18个C．19个 D．20个【答案】(1)A(2)C(3)A【解析】(1)抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件出现7点的次数不能作为随机变量本题正确选项：ACX的取值2,3C.21~1012~10X3~11，同理一XX3~1917【举一反三】（208）1032（ ）A．取到产品的件数 B．取到正品的概率C．取到次品的件数 D．取到次品的概率【答案】C【解析】逐一考查所给的选项：A中取到产品的件数是一个常量而不是变量,中的量也是一个定值,而中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变本题选择选项.（209西昌中二末下随试的果不用散随变表的是( A．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和B6D．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数【答案】C【解析】随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中A,B,D都属于离散型随机变量，而C电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.3.写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．1051835【答案】见解析【解析】(1)设所需的取球次数为次取到的均是红球，(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．题型二两点分布21052满足两点分布，并求分布列．【答案】见解析10520，两球非全红，

C2 3＝ 则1)＝＝，C7151，两球全红， 2C7153 4∴P(X＝0)＝1－7

＝，∴X的分布列为7X01P4737【思路总结】【思路总结】两步法判断一个分布是否为两点分布看取值：随机变量只取两个值：01.【举一反三】110012表2的分布列．【答案】见解析C2C99＝C2100

49，P(X＝1)＝1－50

49＝150

.所以随机变量X的分布列为X01P4950150题型三超几何分布3浙江高三专题练习1072个球，至少得到1个白球的概率是 .9求白球的个数；3的分布列.1）5（2见解析.21C2 7为事件A，则PA110x ,解得x5.故白球有5个.C92C910CkC3kC3（2）X服从以10，5，3为参数的超几何分布，PXk55 ,k2,3.C310于是可得其分布列为:X0123P112512512112【举一反三】1.（2020·浙江高三专题练习）四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到2018200400外三项分别为跳绳、跳远、跳高.学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：7其中参加跑步类的人数所占频率为13

，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．mn132004004400X，求离X（1）m240n60；3（2）见解析（1）780713

420人，m240，n180120，根据分层抽样法知：抽取的13人中参加200米的学生人数为131803．780（2）由题意，抽取的13人中参加400米的学生人数有132404，780参加跳绳的学生人数有3人，所以X的所有可能取值为1、2、3、4，C3 4 C2C2 18PX43 ，PX243 ，CC774 35 4 35CC77C3C1 12 C4 1PX343 ，PX44 ，CC774 35 4 35CC77所以离散型随机变量X的分布列为：X1234P43518351235135题型四分布列性质【例4-1（2020·浙江高三专题练习）设随机变量X的概率分布列为则PX31（ ）X1234P13m14167 1A． B．12 6

1 5C． D．4 12【答案】Dm111113 4 6 4PX31P2P411

5故选D4 6 124-2（2020·浙江高三专题练习）X的概率分布列如下：X0123P0.20.30.4c则实数c等于( )A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.76【答案】C【解析】据题意得0.20.30.4c1，所以c0.1

，故选C.【例4-3（2020·浙江高三专题练习）已知离散型随机变量的分布列如图，则常数为（ ）X01P9c2c38c1 2A． B．3 3

1 2 1C． 或 D．3 3 4【答案】A【解析】由随机变量的分布列知，9c2c0，38c0，9c2c38c1，∴c1，故选A．3【举一反三】（200江三题习若散随变量X分列下则a= .X01Pa2a22【答案】1【解析】由概率的性质可得：P(X0)P(X1)1，

2a 1a1a2；又概率介于0~1a11a 2 212（200江三题习随变量X分列P(Xk)a 2

（中k123则a ．8【答案】7

1

1

13 8 8【解析】依题意a2

2

2

1，解得a .故填7 7 202X(单位：克)，如果PX100.3,PX300.4，那么PX30等于 .【答案】0.3【解析】根据随机变量的概率分布的性质,可知PX10P10X30PX301,故P(X30)10.30.40.3.202XP(Xn)为常数，则P(1X5)的值为（）.2 2

an(n

(n1,2,3,4),其中a2 3 4 5A． B． C． D．3 4 5 6【答案】DPXn

an(n

(n1aaa

1.2 6 12 20∴a5∴P(1X5)P(XP(X2)51+51=5

故选D.4 2 2 4 2 4 6 6【强化训练】201夏川中二理中大相的5钢别有1235个码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是（ ）A．25 B．10 C．9 D．5【答案】C【解析】依据题意，分析可得，这是有放回的抽样，号码之和可能的情况有：2,3,4,5,6,7,8,9,109C208林朝族学三时习后掷枚地匀骰子5次,么能为机量的是 ( )A．出现2点的次数B．出现偶数点的次数C．出现7点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数【答案】C1,2,3,4,5,6770，不能作为随机变量.C.（200江三题习袋有小同红球6，球5，袋每任取一球直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量则的可能取值为( )A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…【答案】B6201苏二理入机量后列法确有 （写所正的号）.①随机事件个数与随机变量一一对应；②随机变量与自然数一一对应；③随机变量的取值是实数.【答案】③【解析】引入随机变量,使我们可以研究一个随机实验中的所有可能结果，所以随机变量的取值是实数，故③正确.202江三题习机量ξ从点布,且P(=1)0.8η=ξ-2则Pη=-2= .【答案】0.2【解析】当η=-2时,ξ=0,所以P(η=-2)=P(ξ=0)=1-P(ξ=1)=0.2.（201苏二中理在01布，设PX01则EX .32【答案】3PX1123 3

EX232本题正确结果：3（200随机变量X－101Pabc其中成等差数列，则，公差的取值范围是 .2【答案】

1,13

33【解析】由于a,b,c成等差数列，故2bac，由于abc1，所以3b1,b1,ac2.所以3 3P

1ac2.3由于a1d,c1d，且01d2,01d2，解得1d1，所以d的取值范围是3 31,1.

3 3 3 3 3 333（2076【答案】见解析536536（2071028102ξ；108108251234见解析.【解析】个正品；次取得次品．51202在1034310件产品中任取3件．求：3X的分布列；3311

.120题意知X的所有可能取值为0，12，3，且X服从参数为N10M3n3的超几何分布，

CkC3k

C0C3

35 7因此PXk37k2,3．所以PX037 ；CC3 3CC10

120 24C1C2

63 21

C2C1

21 7

C3C0 11010PX37 ； PX237 ；PX337 ．1010CCC103 120 40CCC10

3 120 40

3 120故X的分布列为:X0123P724214074011202设“取出的3A12，2233，A，C2 3 7 1而P33 ，PAPX2 ，PAPX3 ，C40403 2 C404010

120所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为：PAPAPAPA

37131．1 2

40 40 120 1201202·6，6和455(111(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.5【答案】（1）18

2（1）AB的事件数为C4，总的事件数为C51 1 8 10C4 70 5受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的概率为8 .C101 1C10（2）X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

5 252 18C0C5 1

C1C4 5

C2C3 10

C3C2 5C2121PX046 X46 X24C2121

X346 ，CCC42215 5CCC422110 10

5 510 10C4C1 1PX446 X的分布列为：C425C4210X01234P1425211021521142120285333的分布列.【答案】详见解析C0C3 5 C1C2 15【解析】X的可能取值为2,3，PX035 ，PX35 ，CC883 28 3 28CC88C2C1 15 C3C0 1PX235 ，PX335 X的分布列为：CC883 56 3 56CC88X0123P528152815561561202·每年的12月4209年12月4480人、36036010104进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.⑴求各个年级应选取的学生人数；⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；101073X表示该名学生答对X的分布列及数学期望.3（1）4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.（2）10（3）详见解析433104人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.由（1）知，被选取的104人、3人、3人，所以，从这10名学C1C1 3生任选3名，且3名学生分别来自三个年级的概率为4 3 3 .C3C10X的所有可能取值为4，Ck4CC4且X服从超几何分布，PXk73 （k2,3,4）.C410所以，随机变量X的分布列为X1234P1303101216所以，随机变量X的数学期望为EX11233141.2 6 51201理208100102[2[46，第四组[，[810分别求第三，四，五组的频率；6①已知甲同学和乙同学均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率624的分布列和数学期望．1【答案】（1）第三组的频率是0.3，第四组的频率是0.2，第五组的频率是0.1（2）①145

②详见解析【解析】（1）第三组的频率是0.150×2＝0.3,第四组的频率是0.100×2＝0.2,第五组的频率是0.050×2＝0.1,6×0.5＝3100×0.3＝30C1 1所以甲乙两名同学同时被选中的概率为P28 ,C303 145C30②第四组共有X名同学,所以X的取值为0,1,2C