含参不等式解法

创作时间：二零二一年六月三十天含参数的一元二次不等式的解法之老阳三干创作创作时间：二零二一年六月三十天含参数的一元二次不等式的解法与详细的一元二次不等式的解法在实质上是一致的,这种不等式可从剖析两个根的大年夜小及二次系数的正负下手去解答,但遗憾的是这种问题一直成为绝大年夜多数学生学习的难点,此现象体现的根根源基础因是不清楚该怎样对参数进行议论,而参数的议论实质上就是参数的分类,而参数该怎样进行分类？下边我们经过几个例子领会一下.一．二次项系数为常数例1、解对于x的不等式：x2(m1)xm0解：原不等式可化为：（x-1）（x+m）>0(两根是1和-m,谁年夜？)1）当1<-m即m<-1时,解得：x<1或x>-m（2）当1=-m即m=-1时,不等式化为：x22x10x1（3）当1>-m即m>-1时,解得：x<-m或x>1综上,不等式的解集为：例2:解对于x的不等式：x2(a2)xa0.（不可以因式分解）解：a224a（方程有没有根,取决于谁？）（i）当a423时，解得：x31（ii）当a423时，解得：x-31创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天(2a)a224a(2a)a224a两根为x12,x22.综上,不等式的解集为：（1）那时423a423,解集为R；（2）那时a423,解集为(,31)(（3）那时a423,解集为(,31)(（4）当a423或a423时,

31,31,

)；)；解集为(2a)a28a4(2a)a28a4,2)(2,()；二．二次项系数含参数例3、解对于x的不等式：ax2(a1)x10.解：若a0,原不等式x10x1.若a0,原不等式(x1)(x1)0x1aa或x1.1若a0,原不等式(xa)(x1)0.( )1其解的状况应由a与1的大年夜小关系决定,故（1）那时a1,式( )的解集为；式( )1x1（2）那时a1,a；1,式( )1x1（3）那时0aa.综上所述,不等式的解集为：创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天①那时②那时

xx1或x1a0,{a}；a0,{xx1}；③那时④那时⑤那时

x11x0a1,{a}；a1,；1x1a1,{xa}.例4、解对于x的不等式：ax2ax10.解：ax2ax10.（1）那时a0,原式可化为10xR.（2）那时a0,此时a24a>0两根为x1aa24aaa24a2a,x22a.aa24axaa24a解得：2a2a（3）当a<0时,原式可化为：x2x10a①立刻04a0时,解集为R；x1②立刻0a4时,解得：2;③立刻0axaa24a或xaa24a4时解得：2a2aaa24aaa24a综上,（1）那时a0,解集为(2a,2a)；（2）那时4a0,解集为R；创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天（3）那时a4,,11,解集为(2)(2);（4）那时a4,解集为aa24aaa24a,2a)(2a,).(上边四个例子,只管分别代表了四种分歧的种类,但它们对参数a都进行了议论,看起来比力复杂,特别是对参数a的分类,对初学者的确是一个难点,但经过对它们解题过程的剖析,我们能够发现一个规律：参数a的分类是依据不等式中二次项系数即是零和鉴别式0时所获取的a的值为数轴的分点进行分类,如：解对于x的不等式：(a21)x23ax30解：(a21)x23ax30( )a210a1或a1；9a24(a21)30a2或a2；那时a2,a210且0,( )解集为R；那时a2,a210且0,()解集为(,1)(1,)；那时2a1,a210且0,()解集为(,3a123a2)3a123a2,2a22(2a22)；那时a1,()3x30x1,()解集为(,1)；那时1a1,a210且0,3a123a23a123a2()解集为(2a22,2a22)；创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天那时a1,()3x30x1,( )解集为(1,那时1a2,a210且0,( )解集为(,3a123a2(3a123a2,2a22)2a22

)；)；那时那时

a2,a210且0,( )解集为(,1)(1,)；a2,a210且0,( )解集为R.综上,可知当a2或a2时,解集为R；那时a2,(,1)(1,)；当2a1或1a2时,解集为,3a123a2(3a123a2,(2a22)2a22(,1)；

)；那时a1,解集为3a123a23a123a2那时1a1,( )解集为(2a22,2a22

)；那时a1,( )解集为(1,)；那时a2,解集为(,1)(1,).经过此例我们知道本来解随意含参数的一元二次不等