大一高数复习资料

一、向量在另一向量上的投影，直线与平面关系。

高等数学A复习2023/3/61两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为

,称

记作数量积(点积).引例.

设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为机动目录上页下页返回结束2023/3/62记作故2.性质为两个非零向量,那么有机动目录上页下页返回结束2023/3/63平面

:L⊥

L//夹角公式：面与线间的关系直线L:机动目录上页下页返回结束2023/3/64二、二元函数极限计算

2023/3/65解:原式例.求机动目录上页下页返回结束2023/3/66例求极限解其中2023/3/67假设当点趋于不同值或有的极限不存在，解:

设P(x,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.那么可以断定函数极限那么有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在

.例5.

讨论函数函数机动目录上页下页返回结束2023/3/68例.

求解:因而此函数定义域不包括x,y

轴那么故机动目录上页下页返回结束2023/3/69三、求方向导数，求偏导数，隐函数求二阶偏导，求曲面的切平面或法线方程，二元函数最大最小值应用题

2023/3/610多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法那么“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导〞注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性2023/3/611例2.

设其中f与F分别具解法1

方程两边对x

求导,得有一阶导数或偏导数,求(99考研)2023/3/612解法2方程两边求微分,得化简消去即可得2023/3/613例3.设有二阶连续偏导数,且求解:2023/3/614

设求例3.2023/3/615

设求例3.2023/3/616解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.第六节目录上页下页返回结束由dy,dz

的系数即可得设求例3.2023/3/617为简便起见,引入记号例4.设

f

具有二阶连续偏导数,求解:令那么机动目录上页下页返回结束2023/3/618练习题1.设函数f二阶连续可微,求以下函数的二阶偏导数2023/3/619解答提示:第1题2023/3/6202023/3/6211.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为机动目录上页下页返回结束2023/3/6222.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为•机动目录上页下页返回结束梯度在方向l

上的投影.2023/3/623空间光滑曲面曲面

在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程3.曲面的切平面与法线机动目录上页下页返回结束2023/3/624空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量机动目录上页下页返回结束2023/3/625例.

求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令机动目录上页下页返回结束2023/3/626例.确定正数使曲面在点解:二曲面在

M

点的法向量分别为二曲面在点M

相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面机动目录上页下页返回结束,因此有2023/3/627例4.在第一卦限作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.解:

设切点为那么切平面的法向量为即切平面方程2023/3/628问题归结为求在条件下的条件极值问题.设拉格朗日函数切平面在三坐标轴上的截距为2023/3/629令由实际意义可知为所求切点.唯一驻点2023/3/630例5.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：设为抛物面上任一点，那么P的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面2023/3/631令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故2023/3/632四、交换二次积分次序，二重积分计算

〔直角坐标，极坐标〕

2023/3/633解积分区域如图2023/3/634例.交换以下积分顺序解:积分域由两局部组成:2023/3/635(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:假设积分区域为那么假设积分区域为那么2023/3/636那么极坐标系情形:假设积分区域为2023/3/637

五、傅里叶级数系数计算，

数项级数敛散性判定，

利用幂级数和函数求数项级数和

2023/3/638

求和展开(在收敛域内进行)根本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;2023/3/639一、数项级数的审敛法1.利用局部和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法局部和极限2023/3/6403.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:假设且那么交错级数收敛,概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛机动目录上页下页返回结束2023/3/6411.周期为2

的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:假设为间断点,那么级数收敛于2023/3/6422.周期为2

的奇、偶函数的傅里叶级数

奇函数正弦级数

偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法

作奇周期延拓,展开为正弦级数

作偶周期延拓,展开为余弦级数2023/3/643例5解2023/3/644解收敛区间(-1,1),2023/3/645六、曲线积分与路径无关条件，

格林公式计算曲线积分，

高斯公式计算曲面积分

2023/3/6461.格林公式2.等价条件在

D

内与路径无关.在

D

内有对D

内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,那么有2023/3/647高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:2023/3/648例2.

计算其中L

是沿逆时针方向以原点为中心,解法1令那么这说明积分与路径无关,故a

为半径的上半圆周.2023/3/649解法2

它与L所围区域为D,(利用格林公式)那么添加辅助线段2023/3/650计算其中L为上半圆周提示:沿逆时针方向.例：2023/3/651练习:其中为半球面的上侧.且取下侧,提示:以半球底面原式=记半球域为

,高斯公式有计算为辅助面,利用2023/3/652例4.计算曲面积分