平面向量专题三角形“四心”的向量式问题（原卷版）

/05/5/平面向量专题：三角形“四心”的向量式问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即xA3、常见重心向量式：设O是?ABC的重心，P为平面内任意一点=1\*GB3①OA+OB+=2\*GB3②PO=13=3\*GB3③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB=4\*GB3④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。2、常见垂心向量式：O是?ABC的垂心，则有以下结论：1、OA2、OA3、动点P满足OP=OA+λABABcosB+AC4、奔驰定理推论：S?BOC:S?COA三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。2、常见内心向量式：P是?ABC的内心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分别是?ABC的三边BC、AC、AB的长，（2）AP=λABAB+AC四、三角形的“外心”1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等2、常用外心向量式：O是?ABC的外心，1、OA2、OA3、动点P满足OP=OB+则动点P的轨迹一定通过?ABC的外心.4、若OA+OB?AB=OB题型一三角形的“重心”向量式【例1】（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心【变式1-1】（2022秋·上海·高二专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【变式1-2】（2022春·高一课时练习）已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（）．A．外心B．内心C．重心D．垂心【变式1-3】（2020·高一课时练习）在中，若，则点G是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心【变式1-4】（2022·全国·高一假期作业）已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（）A．内心B．垂心C．外心D．重心题型二三角形的“垂心”向量式【例2】（2022·全国·高一专题练习）已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【变式2-1】（2022春·河南南阳·高一统考期中）若为所在平面内一点，且则点是的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【变式2-2】（2022·全国·高一专题练习）在中，若，则下列说法正确的是（）A．是的外心B．是的内心C．是的重心.D．是的垂心【变式2-3】已知O是?ABC所在平面内一点，且满足BA?OA+BC2=A．在AB边的高所在的直线上B．在∠CC．在AB边的中线所在的直线上D．是?ABC的外心题型三三角形的“内心”向量式【例3】（2022春·河南开封·高一校联考阶段练习）已知点是所在平面内的一个动点，满足（，则射线经过的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【变式3-1】（2022·全国·高一专题练习）若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件，则O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心【变式3-3】（2022春·高一课时练习）在中，，，，则直线通过的（）A．垂心B．外心C．重心D．内心题型四三角形的“外心”向量式【例4】（2022春·河南许昌·高一统考期末）已知P在所在平面内，满足，则P是的（）A．外心B．内心C．垂心D．重心【变式4-1】（2022春·安徽淮南·高一淮南第一中学校考阶段练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【变式4-2】（2022·全国·高一专题练习）是所在平面上一点，若，则是的（）A．重心B．外心C．内心