导数专题函数零点个数【原卷版】

/06/6/导数专题函数零点个数1函数的零点、方程的实数根函数的零点、方程的实数根与两函数的交点可视为同一问题，函数hx?方程fx?函数y=f(x)与函数y=g(x)交点个数.2函数零点存在定理如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在(a,b)至少有一个零点c，即存在c∈(a,b)，使得fc=0，这个c也就是方程f3求函数零点个数的方法对于复杂的函数(特别是含参函数)需要利用导数的方法求解(1)直接法直接法，即直接对所求函数进行分析，(i)对于不含参函数，比如fx=x求零点个数的思路是：求导→求单调性→求极值最值→结合函数图象分析零点个数；(ii)对含参函数，进行分类讨论就行.(2)分离参数法对于求含参函数的零点个数，采取分离参数法可把问题转化为求不含参函数问题；比如求函数fx=ex-ax的零点个数，采取分离参数法相当于求函数(3)切线法切线法，即利用导数的几何意义求两函数相切的“临界值”，再结合图象判断交点个数；若所求函数能“分离”出一次函数或“分离”两函数有明显“凹凸性”，可考虑切线法；比如求函数fx=ex-ax的零点个数，可转化为y=e比如求函数fx=ex+1-a(2+xex4注意事项(1)求函数零点个数时，时常要结合函数图象，所以尽量图象准确，不要想当然；【例】求函数fx=x(注函数零点明显仅有0，以下讨论仅为表达画图的重要性)∵f∴函数fx在-∞,-1递减，在(-1,+∞)递增，最小值f此时就以为函数图象是左图，那就得到“有两个零点”的错误结论，严谨的表达是，∵x?-∞，fx?0，∴f∵f1=e>0,由函数零点存在定理可得fx在-1,+∞存在1故函数fx=x(2)要避免上诉“想当然”的情况需要在零点旁边找两个函数值异号的点，方法有二种，(i)利用极限的思路，比如判断x→x0时，y→y0；此时会涉及到函数增长快慢问题，但若涉及大学的内容(比如洛必达法则)，则解答不会得满分；(ii)找到“实实在在”的点；(3)对某些含参函数，分离变量的方法行不通，比如因为需要洛必达法则、求导困难等，需要用直接法进行分类讨论.5极限问题(1)函数的增长速度一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值|f'(x)|较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较【例】指数函数y=axa>1在(0,+∞)的增长速度是幂函数y=xnn>0一次函数y＝kx+对数函数y=loga?(2)极限对于某函数y=f(x)，“当x→a以下举几个例子，大家细品下，①f(x)=ex，当x→0②fx=1x，当x→+∞时，y→0；可想象下x③fx=lnxx2，当x→+∞因为函数y=lnx较函数y=x2在(0,+∞这需要了解函数间在某区间的增长速度的比较；④fx=sinxx，当x→0时，分子此时y=x与y=sinx在其实x→0时，sinxx→1的，为什么呢？(其实limx→0sin如下图【题型1】求不含参函数的零点个数【典题1】判断g(x)=2ln?x-【巩固练习】1.在函数f(x)=ax3+bx(a≠0)图像在点(1,f(1))处的切线与直线6x+y+7=0平行，导函数f(1)求a、b的值；(2)判断方程f(x)=02.证明函数f(x)=ln?(【题型2】分离参数法【典题1】若f(x)=a【巩固练习】1.已知函数f(x)=(x-a)ln?2.讨论函数g(x3.已知函数f(x)=x(1)求函数f(x)在区间[-1,1]上的最值；(2)若关于x的方程(x+2)f(x)-ax=0在区间(0,3)内有两个不等实根，求实数a的取值范围．【题型3】直接法【典题1】讨论函数f(x)=xlnx-12【典题2】已知函数f(x)=1x+a(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)讨论函数f(x)的零点个数．【巩固练习】1.若函数f(x)=-13x2.讨论函数f(x)=2e3.已知函数f(x)=ax?ln?x(其中a≠0,a∈R)，g(x)=(1)若存在实数a使得f(x)<1e恒成立，求(2)当a?12时，讨论函数【题型4】几何法【典题1】函数g(x)=x2+1【巩固练习】1.函数F(x)=ax【A组基础题】1.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值-4(1)求f(x)的解析式；(2)若过点P(-1,m)作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．2.证明:a>1,f(x)=3.已知函数f(x)=13x3-(k+1)2(1)求实数k的取值范围；(2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．4.已知函数f(x)=ax(1)当a=1时，求f(x)在区间13(2)若g(x)=f(x)-x在定义域内有两个零点，求a的取值范围．5.若f(x)=ex-2-ax6.已知函数f(x)=x(1)求f((2)如果a>0，讨论函数y=f7.已知函数fx=x3+ax设函数h(x)=min8.若f(x)=m2x2-ln?x的图象与直线9.已知g(x)=ax+10.已知a>0，函数f(x)=aex-x-2(1)若对?x∈R，f(x)?0恒成立，求a(2)若方程f(x)=g(x)有两个根，求a的取值范围．【B组提高题】1.己知函数f((1)当a≥0时，求f(2)讨论f(x2.已知函