新版【步步高】(浙江专用)2023年高考数学-专题三-三角函数-第25练-三角函数的综合应用练习

PAGEPAGE5【步步高】〔浙江专用〕2023年高考数学专题三三角函数第25练三角函数的综合应用练习训练目标(1)三角函数图象、性质的应用；(2)三角函数与解三角形的综合.训练题型(1)讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象、性质；(2)三角变换和三角函数的结合；(3)三角函数与解三角形.解题策略(1)讨论三角函数的性质，可先进行三角变换，化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或复合函数；(2)解题中贯穿整体代换、数形结合思想；(3)三角函数和解三角形的综合问题，一定要结合正弦、余弦定理，利用三角形中的边角关系.1．函数f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)(ω>0，－eq\f(π,2)≤φ<eq\f(π,2))的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)假设f(eq\f(α,2))＝eq\f(\r(3),4)(eq\f(π,6)<α<eq\f(2π,3))，求cos(α＋eq\f(3π,2))的值．2．在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos(eq\f(C－3B,2))取最大值时，B的大小．3．函数f(x)＝sin(x－eq\f(π,6))＋cos(x－eq\f(π,3))，g(x)＝2sin2eq\f(x,2).(1)假设α是第一象限角，且f(α)＝eq\f(3\r(3),5)，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．4．(2023·襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学四校联考)函数f(x)＝a·b＋eq\f(1,2)，其中a＝(eq\r(3)sinx－cosx，－1)，b＝(cosx,1)．(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且c＝3，f(C)＝0，假设sin(A＋C)＝2sinA，求a、b的值．

答案解析1．解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝eq\f(2π,T)＝2.又因为f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，所以2·eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.由－eq\f(π,2)≤φ<eq\f(π,2)得k＝0，所以φ＝eq\f(π,2)－eq\f(2π,3)＝－eq\f(π,6).(2)由(1)得f(eq\f(α,2))＝eq\r(3)·sin(2·eq\f(α,2)－eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),4)，所以sin(α－eq\f(π,6))＝eq\f(1,4).由eq\f(π,6)<α<eq\f(2π,3)得0<α－eq\f(π,6)<eq\f(π,2)，所以cos(α－eq\f(π,6))＝eq\r(1－sin2(α－\f(π,6)))＝eq\r(1－(\f(1,4))2)＝eq\f(\r(15),4).因此cos(α＋eq\f(3π,2))＝sinα＝sin[(α－eq\f(π,6))＋eq\f(π,6)]＝sin(α－eq\f(π,6))coseq\f(π,6)＋cos(α－eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(15),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3)＋\r(15),8).2．解(1)∵p与q是共线向量，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0，∴sin2A＝eq\f(3,4)，sinA＝eq\f(\r(3),2)，∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.(2)y＝2sin2B＋cos(eq\f(C－3B,2))＝2sin2B＋cos(eq\f(180°－B－A－3B,2))＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°＝1－eq\f(1,2)cos2B＋eq\f(\r(3),2)sin2B＝1＋sin(2B－30°)，当函数取最大值2时，2B－30°＝90°，即B＝60°.3．解f(x)＝sin(x－eq\f(π,6))＋cos(x－eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)sinx，g(x)＝2sin2eq\f(x,2)＝1－cosx.(1)由f(α)＝eq\f(3\r(3),5)得sinα＝eq\f(3,5).又α是第一象限角，所以cosα>0.从而g(α)＝1－cosα＝1－eq\r(1－sin2α)＝1－eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).(2)f(x)≥g(x)等价于eq\r(3)sinx≥1－cosx，即eq\r(3)sinx＋cosx≥1.于是sin(x＋eq\f(π,6))≥eq\f(1,2).从而2kπ＋eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．4．解(1)依题意：m＋n＝(cosA－sinA＋eq\r(2)，cosA＋sinA)，因为|m＋n|＝2，所以(cosA－sinA＋eq\r(2))2＋(cosA＋sinA)2＝4，化简得：sinA＝cosA⇒tanA＝1，故有A＝eq\f(π,4).(2)依题意，在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝2R＝4，所以a＝2eq\r(2)，由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2b·c·cosA，化简得：c2－2eq\r(2)c－4＝0，解得c＝eq\r(2)＋eq\r(6)(负值舍去)．5．解(1)f(x)＝a·b＋eq\f(1,2)＝eq\r(3)sinxcosx－cos2x－1＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)(1＋cos2x)－eq\f(1,2)＝sin(2x－eq\f(π,6))－1.f(x)的最大值为0，最小正周期为π.(2)f(C)＝sin(2C－eq\f(π,6))－1＝0，又－eq\f(π,6)<2C－eq\f(π,6)<eq\f