平面向量(附例题习题答案)

向量的线性运算一．教课目的理解向量的观点；掌握向量的线性运算；3。理解向量线性运算的几何意义、向量共线的含义、平行向量基本定理；4。理解平面向量基本定理,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示、平面向量的坐标运算；5。理解用坐标表示平面向量的共线条件。二．知识清单1。向量基本观点（1）向量的定义：既有又有（2）向量的大小(或称模）：有向线段的（3）零向量与单位向量：（4)共线向量与相等向量：

称为向量；表示向量的大小；叫做零向量，叫做单位向量叫做共线向量（或平行向量），

;叫做相等向量。2。向量的线性运算（1）向量的加法a。向量加法的三角形法例、平行四边形法例和多边形法例.b.向量加法知足的运算律：互换律：a+b=b+a；联合律：(a+b)+c=a+(b+c)。(2）向量的减法a。定义:a—b=a+（—b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量

.一个向量等于终点地点向量减始点地点向量，即

AB=OB

-

OA.b。三角形法例：“共始点,连终点，指向被减"。（3）数乘向量a.定义：一般地，实数λ和向量

a的乘积是一个向量，记作λ

a。b.数乘向量知足的运算律：（λ+μ）a=λ（μa）=λ（a+b)=3。向量共线的条件与轴上向量坐标运算(1）向量共线的条件平行向量基本定理:假如则必定存在（2）轴上向量的坐标运算4.向量的分解与向量的坐标运算（1）平面向量基本定理假如是一平面内的，使（2）平面向量的正交分解定义:把一个向量分解为

，则，使

。

；反之，假如，且。的向量,那么该平面内的任一直量，叫做把向量正交分解。

,a，存在（3）向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向同样的两个_______作为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y使得____________,这样，平面内的任一直量a都可由__________独一确立,我们把有序数对________叫做向量的坐标,记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.（4）向量的坐标运算向量坐标的加减与数乘若a=（a1，a2)，b=（b1，b2），则a+b=(a1+b1,a2+b2）,a-b=（a1-b1，a2—b2）,λa=(λa1，λa2).5)用平面向量坐标表示向量共线条件两个向量a,b平行的条件：a=λb，b≠0。若a=（a1，a2），b=(b1,b2），代入上式，得(a1，a2)=λ(b1，b2）=(λb1，λb2)，即a1=λb1，a2=λb2,，整理得a1b2—a2b1=0①①式就是两个向量平行的条件。若向量b不平行于坐标轴，即b1≠0,b2≠0，①式可化为a1:b1=a2：b2，即两个向量平行的条件是，相应坐标成比率。三．典型例题例1。给出以下命题:①若｜a|=｜b|，则a=b；②若A、B、C、D是不共线的四点，则ABDC是四边形为平行四边形的充要条件；③若a=b，b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a｜=｜b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c,则a∥c。此中，正确命题的序号是____________例2．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设＝a，＝b，求BE．例3。已知向量a=2e1－3e2,b=2e1+3e2，c=2e1－9e2，此中e1、e2不共线，务实数λ、μ，使c=λa+μb.例4。设a，b是两个不共线向量，若a与b起点同样,t∈R，t为什么值时,a，tb，（a＋b）三向量的终点在一条直线上？1例5.已知点A（2，3),B（－1，5），且AC＝3AB，求点C的坐标．例6。已知向量a＝(cos错误!，sin错误!)，b＝(cos错误!,sin错误!)，｜a－b|＝错误!,求cos(α－β）的值．例7.已知向量a＝(1，2）,b＝(x,1）,e1＝a＋2b，e2＝2a－b，且e1∥e2，求x．例8.在平行四边形ABCD中,A（1，1)，AB＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．(1）若AD＝（3，5)，求点C的坐标；DC(2)当｜AB|＝｜AD|时，求点P的轨迹．PAMB四．稳固练习1．ACDBCDBA等于________．2．若向量a＝（3，2），b＝（0，－1）,则向量2b－a的坐标是________．3．已知A（－1，2），B(2,4），C（4，－3），D(x，1），若AB与CD共线，则｜BD｜的值等于________．OM(3,2),ON(5,1),则1MN等于4。已知向量2（）A．(8,1)B．(8,1)(4,1)(4,1)C．2D．25．已知向量a＝（3，-1），b＝（-1，2），则—3a—2b的坐标是（)A．（7,1）B．(-7，-1）C．（—7,1）D．(7，—1）6．已知a＝（-1,3）,b＝(x,—1）,且a∥b，则x等于（）A．3B．-3C．错误!D．—错误!ABADABAD7．在平行四边形ABCD中，若，则必有( )A．AD0B．AB0或AD0C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形8．将ysin2x按向量a=（—错误!,1)平移后的函数分析式是（）ysin(2x)1ysin(2x)1A．3B．3ysin(2x)1ysin(2x)1C．6D．69．已知A（3，2），AB（8，0），求线段AB的中点C的坐标。10．设平面三点A（1，0)，B（0,1）,C（2，5)试求向量2AB＋AC的模。五．作业反应1．将点A(2，4）按向量a＝（－5，－2）平移后，所获得的对应点A′的坐标是______．2．已知AB(6,1),BC(x,y),CD(2,3),且BC∥DA,则x+2y的值为_____。3．点（-3，4）对于点B(-6，5)的对称点是（）A．（—3，5）B．（0,4.5）C．（-9，6)D．（3，-0.5）2BCAB,BCCA,则4．已知点C在线段AB的延伸线上，且A．3B．错误!C．3

等于（)D．-错误!5．设两个非零向量a，b不共线,且ka+b与a+kb共线，则k的值为（)A．1B．—1C．1D．06．已知向量a=（sin,cos）（R），b=(3,3)1）当为什么值时，向量a、b不可以作为平面向量的一组基底;(2）求|a－b｜的取值范围。答案例1：②③；例2：解：BE＝AE－AB＝错误!(AB＋AC）－AB＝－错误!a＋错误!b例3：解：c＝λa＋μb2e1－9e2＝（2λ＋2μ）e1＋(－3λ＋3μ)e22λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ＝2，且μ＝－1atb[a1(ab)](21)a(t1)b0例4:解:设3（∈R）化简整理得：33203123∵a与b不共线，∴t0t132t1a,tb,1(ab)故2时，3三向量的向量的终点在向来线上．121111例5：解AC＝3AB＝（－1，3），OC＝OAAC＝(1,3)，即C（1,3）22522cos252537525例6:解：|a－b｜＝cos2＝5cos（α－β)＝255552＝55例7：解:e1＝(1＋2x，4)，e2＝(2－x,3），e1∥e23（1＋2x）＝4（2－x）x＝错误!例8：解：（1）设点C的坐标为(x0，y0），ACADDB(3,5)(6,0)(9,5)(x01,y05)得x0＝10y0＝6即点C(10，6）ABAD≠1）(2)∵∴点D的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36(y1∵M为AB的中点∴P分BD的比为2设P（x,y)，由B（7，1)则D(3x－14，3y－2)∴点P的轨迹方程为(x5)2(y1)24(y1)稳固练习：1.0；2。(—3,4）；3.错误!；4。D；5。B；6。C;7。C；8。A；9。解：设B(x,y),AB(x,y)(3,2)(8,0).x38x5B(5,2),xC1,yC2C(1,2)y20y210。解：∵AB＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC＝（2－1，5－0)＝（1，5）．∴2AB＋AC＝2(－1，1）＋(1，5）＝（－1，7）．∴|2AB＋AC|＝(1)272＝50．作业反应