-新教材高中数学第六章统计4.2分层随机抽样的均值与方差4.3百分位数学案北师大版必修第一册

PAGEPAGE9分层随机抽样的均值与方差百分位数新课程标准解读核心素养1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律．掌握分层随机抽样的均值与方差数据分析2.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义数据运算、数据分析甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4.[问题]甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是eq\f(80＋82,2)＝81分吗？方差是eq\f(2＋4,2)＝3吗？为什么？知识点一分层随机抽样的均值与方差1．分层随机抽样的平均数(1)一般地，将样本a1，a2，…，am和样本b1，b2，…，bn合并成一个新样本，则这个新样本的平均数为eq\f(a1＋a2＋…＋am＋b1＋b2＋…＋bn,m＋n)＝eq\f(m,m＋n)·eq\f(a1＋a2＋…＋am,m)＋eq\f(n,m＋n)·eq\f(b1＋b2＋…＋bn,n).于是，当已知上述两层构成的新样本中每层的平均数分别为eq\x\to(x)1和eq\x\to(x)2时，可得这个新样本的平均数为eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)1＋eq\f(n,m＋n)eq\x\to(x)2.记w1＝eq\f(m,m＋n)，w2＝eq\f(n,m＋n)，则这个新样本的平均数为w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2，其中w1，w2称为权重．(2)设样本中不同层的平均数和相应权重分别为eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，…，eq\x\to(x)n和w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数为w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2＋…＋wneq\x\to(x)n.为了简化表示，引进求和符号，记作w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2＋…＋wneq\x\to(x)n＝eq\i\su(i＝1,n,w)ieq\x\to(x)i.2．分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，…，eq\x\to(x)n，方差分别为seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，…，seq\o\al(2,n)，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝eq\i\su(i＝1,n,w)i[seq\o\al(2,i)＋(eq\x\to(x)i－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)为这个样本的平均数．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,2020年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8，则二线城市的房价的方差为________．解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20＝eq\f(1,1＋3＋6)[s2＋(1.2－2.4)2]＋eq\f(3,1＋3＋6)[10＋(1.2－1.8)2]＋eq\f(6,1＋3＋6)[8＋(1.2－0.8)2]，解得s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.答案：118.52知识点二百分位数1．p分位数一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0,1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.2．四分位数25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数．把总体数据按照从小到大排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是eq\f(1,4).因此这三个百分位数也称为总体的四分位数．3．计算p分位数的一般步骤第1步，按照从小到大排列原始数据；第2步，计算i＝np；第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．1．某班级人数为50，班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？提示：不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．2．“这次数学测试成绩的70%分位数是85分”这句话是什么意思？提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．1．下列关于一组数据的50%分位数的说法正确的是()A．50%分位数就是中位数B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%C．它一定是这组数据中的一个数据D．它适用于总体是离散型的数据解析：选A由百分位数的意义可知选项B、C、D错误．2．5,6,7,8,9,10,11,12,13,14的25%分位数为________，75%分位数为________，90%分位数为________．解析：由于共有10个数字，则10×25%＝2.5,10×75%＝7.5,10×90%＝9.故25%分位数为7,75%分位数为12,90%分位数为eq\f(13＋14,2)＝13.5.答案：71213.5分层随机抽样背景下的样本数字特征估计[例1](链接教科书第171页例6)工厂为了解每个工人对某零件的日加工量，统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本．抽到甲的一个样本容量为10，样本平均数为5，方差为1；乙的一个样本容量为12，样本平均数为6，方差为2.现将这两组样本合在一起，求合在一起后的样本的平均数与方差．[解]设抽到甲的一个样本数据为x1，x2，…，x10；乙的一个样本数据为y1，y2，…，y12，由题意知eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,x)i＝5，方差s2＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,)(xi－5)2＝1，eq\x\to(y)＝eq\f(1,12)eq\i\su(i＝1,12,y)i＝6，方差t2＝eq\f(1,12)eq\i\su(i＝1,12,)(yi－6)2＝2，则合在一起后的样本容量为22，w甲＝eq\f(10,22)，w乙＝eq\f(12,22)，样本平均数为eq\x\to(a)＝w甲eq\x\to(x)＋w乙eq\x\to(y)＝eq\f(10,22)×5＋eq\f(12,22)×6≈5.55，样本方差为b2＝w甲[s2＋(eq\x\to(x)－eq\x\to(a))2]＋w乙[t2＋(eq\x\to(y)－eq\x\to(a))2]＝eq\f(10,22)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋5－5.552))＋eq\f(12,22)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2＋6－5.552))≈1.79.求分层随机抽样背景下的样本平均数、方差设样本中不同分层的平均数、方差和相应权重分别为eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，…eq\x\to(x)n、seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，…，seq\o\al(2,n)和w1，w2，…，wn，则样本平均数eq\x\to(a)＝w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2＋…＋wneq\x\to(x)n＝eq\i\su(i＝1,n,w)ieq\x\to(x)i.样本方差s2＝eq\i\su(i＝1,n,w)i[seq\o\al(2,i)＋(eq\x\to(x)i－eq\x\to(a))2]．[跟踪训练]在某学校为了调查高一年级学生每周的锻炼时间(单位：h)，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值与样本方差．解：由题意知，甲同学抽取的样本容量m＝10，样本平均值为eq\x\to(x)＝5，样本方差为s2＝9；乙同学抽取的样本容量n＝8，样本平均值为eq\x\to(y)＝6，样本方差t2＝16.故合在一起后的样本平均值为w甲eq\x\to(x)＋w乙eq\x\to(y)＝eq\f(10,18)×5＋eq\f(8,18)×6≈5.44.样本方差为w甲[s2＋(5－5.44)2]＋w乙[t2＋(6－5.44)2]＝eq\f(10,18)[9＋0.442]＋eq\f(8,18)[16＋0.562]≈12.36.百分位数的计算[例2](链接教科书第174页例7)从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5，8．5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.(1)分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数；(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；(3)若用25%,50%,95%分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．[解](1)将所有数据从小到大排列，得7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，则25%分位数是eq\f(8.0＋8.3,2)＝8.15，75%分位数是eq\f(8.6＋8.9,2)＝8.75，95%分位数是第12个数据为9.9.(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则15%分位数是第2个数据为7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8g,7.9g.(3)由(1)可知珍珠质量的25%分位数是8.15g,50%分位数为8.5g,95%分位数是9.9g，所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，质量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠为合格品，质量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍珠为优等品，质量大于9.9g的珍珠为特优品．计算百分位数时，可先将这组数据按从小到大的顺序排列，再根据定义计算．[跟踪训练]某校年级组长为了解本校高三学生一模考试的数学成绩(单位：分)，随机抽取30名学生的一模数学成绩，如下所示：1101441256389121145123749697142115688311613912485981321471281339911710711396141估计该校高三学生一模数学成绩的25%分位数为________分，50%分位数为________分．解析：把这30名学生的数学成绩按从小到大的顺序排列，得63,68,74,83,85,89,96,96,97,98,99,107,110,113,115,116,117,121,123,124,125,128,132,133,139,141,142,144,145,147.因为30×25%＝7.5,30×50%＝15，所以这30名学生一模数学成绩的25%分位数为96分，50%分位数为eq\f(115＋116,2)＝115.5(分)．据此可以估计本校高三学生一模数学成绩的25%分位数为96分，50%分位数为115.5分．答案：96115.5百分位数的应用[例3]某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值；(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．[解](1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200<x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.所以y与x之间的函数解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤200，,0.8x－60，200<x≤400，,x－140，x>400.))(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.001×100＋2×100b＋0.003×100＝0.8，,100a＋0.0005×100＝0.2，))解得a＝0.0015，b＝0.0020.(3)设75%分位数为m，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用电量不超过400千瓦时的占80%，所以75%分位数m在[300,400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375千瓦时，即用电量的75%分位数为375千瓦时．[母题探究](变设问)根据本例(2)中求得的数据计算用电量的15%分位数．解：设15%分位数为x，因为用电量低于100千瓦时的所占比例为0.001×100＝10%，用电量不超过200千瓦时的占30%，所以15%分位数x在[100,200)内，所以0.1＋(x－100)×0.002＝0.15，解得x＝125千瓦时，即用电量的15%分位数为125千瓦时．根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得．[跟踪训练]某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．(1)求x；(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；(3)以下是参赛的10人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“中国梦”的伟大构想的认知程度，并谈谈你的感想．解：(1)第一组频率为0.01×5＝0.05，所以x＝eq\f(5,0.05)＝100.(2)由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35)内，由30＋5×eq\f(0.50－0.40,0.70－0.40)＝eq\f(95,3)≈32(岁)，所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32岁．(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88,90,92,92,95,96,96,97,98,99，计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为eq\f(90＋92,2)＝91(分)，这10人成绩的平均数为eq\f(1,10)(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3(分)．评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高．感想：略(结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可)．1．期中考试后，班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均数为N，那么eq\f(M,N)等于()A.eq\f(40,41) B．1C.eq\f(41,40) D．2解析：选B平均数是用所有数据的和除以数据的总个数而得到的．设40位同学的成绩为xi(i＝1,2，…，40)，则M＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40,40)，N＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40＋M,41)＝M，故eq\f(M,N)＝1.2．下