玩转外接球、内切球、棱切球

玩转外接球、内切球、棱切球

1考点预测】

知织点一:正方体、长方体外接球

1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

3.补成长方体

(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.

(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.

(3)正四面体P—ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=簧，如图3所示.

(4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

知识点二:正四面体外接球

如图，设正四面体ABCD的的棱长为a,将其放入正方体中，则正方体的棱长为空a,显然正四面体和正

方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R=^a•李=手距即正四面体外接球半径为R=

V6

~a-

知织点三:球相等的三梭锥外接球

四面体ABCD中，AB=CD=m,AC—BD=n,AD=BC=£,这种四面体叫做对棱相等四面体，可以

通过构造长方体来解决这类问题.

222

p+c=m222

如图，设长方体的长、宽、高分别为Q,b,c,则＜a2+c2=n2，三式相加可得/+/+c?=3—.+力,而显

〔滔+〃=/

然四面体和长方体有相同的外接球,设外接球半径为R,则a2+〃+c2=4fi2，所以R=J加士¥土口.

知识点四:宣梭柱外接球

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)

第一步：确定球心O的位置，Oi是\ABC的外心，则OOi，平面ABC-,

第二步：算出小圆Q的半径AOt=r,OOi=9(44]=h也是圆柱的高);

第三步：勾股定理：04=岳=(与丫+r=R=#2+传y,解出R

知识点五:直梭锥外接球

解题步骤：

第一步：将AABC画在小圆面上，人为小圆直径的一个端点，作小圆的直径力。，连接PD,则PD必过球

心O;

第二步：O]为A4BC的外心，所以OO]_L平面为BC,算出小圆。的半径三角形的外接圆直径

算法：利用正弦定理，得急=矗=濡*=2,)，°。产费已4;

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①(2A)2=PA?+(2r)2=2R=jR42+(2r)2;

②&=产+002。E=4+00『.

知识点六:正梭锥与例梭相等模型

1.正梭锥外接球半径:R=2去照.

2.侧梭相等模型：

如图，P的射影是AABC的外心

=三棱锥P-ABC的三条侧棱相等

o三棱锥P-ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.

解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取XABC的外心O,,则P,O,Ot三点共线；

第二步：先算出小圆O1的半径4Oj=r,再算出棱锥的高POi=/4也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：O#=Q42+OQ2=R2=仇一用2+/,解出灭=晦殳

知识点三:侧梭为外接球直径模型

方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形.

知识点四:共斜边拼接模型

如图，在四面体ABCD中，力B_L40,CB_LCD,此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接

而形成的，BO为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之.设点。为公共斜边BD的中点，根据直角

三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，04=00=03=0。，即点。到4,B,四点的距离

相等，故点O就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边BD就是外接球的一条直径.

A

知识点五:垂面模型

如图1所示为四面体P-A3C,已知平面PAB_L平面其外接球问题的步骤如下：

(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为2和。2.

(2)分别过。和。2作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O.

(3)过作AB的垂线，垂足记为。，连接O,D,则O,D±AB.

(4)在四棱锥A-DOyOO,中，力。垂直于平面DOQO?，如图2所示，底面四边形DOXOO2的四个顶点共

圆且OD为该圆的直径.

图1图2

知火点六:最值模型

这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等

知火点七:二面角模型

如图1所示为四面体P-ABC,已知二面角P-AB-C大小为a,其外接球问题的步骤如下：

(1)找出APAB和△AB。的外接圆圆心，分别记为a和O,.

(2)分别过。和。2作平面P4B和平面力BC的垂线，其交点为球心，记为O.

⑶过Oi作A3的垂线，垂足记为。，连接OQ,则OQ，.

(4)在四棱锥A-DOiOO,中，4D垂直于平面DO.OO,，如图2所示，底面四边形OOQO?的四个顶点共

圆且。。为该圆的直径.

知识点八:坐标法

对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为。(立,9,Z),利用球心到各顶点的距离

相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理

推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度.

知火点九:圆锥圆柱园台模型

L球内接18锥

如图1,设圆锥的高为无，底面圆半径为r,球的半径为R.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程来计算

R.如图2,当PC>CB时，球心在圆锥内部；如图3,当PCVCB时，球心在圆锥外部.和本专题前面的

内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.

由图2、图3可知，OC=h-A或R—九，故仇一也尸+"二比,所以八=晦2土.

2.球内按圆柱

如图，圆柱的底面圆半径为r,高为以其外接球的半径为R,三者之间满足(9)+"=a.

3.球内接IB台

/r22_r2\2

7?2=4+——-------，，其中『1,乃仇分别为圆台的上底面、下底面、高.

知识点四:锥体内切球

方法：等体积法，即冗=等受

b表面积

知识点五:梭切球

方法：找切点，找球心，构造直角三角形

【题型归纳目录】

题型一:正方体、长方体模型

题型二：正四面体模型

题型三，对梭相等模型

题型四:直梗柱模型

题型五:直棱锥模型

题型六:正梭锥与侧梭相等模型

题型七:仅梭为外接球直径模型

题型八:共斜边拼接模型

题型九:垂面模型

题型十:最值模型

题型十一:二面角模型

题型十二:坐标法模型

题型十三:圆锥四柱圆台模型

题型十四:锥体内切球

题型十五:梭切球

【典例例题】

题型一:题型一:正方体、长方体模型

例1.2）22•陕西安糜•高二期末（理））长方体的长,宽，高分别为3,V2,1,其顶点都在球O的球面上,则球

。的体积为（）

A.4V37CB.12KC.48兀D.32禽兀

例2.（2022•全国・高一阶段练习）已知三棱锥P-BCD中，BC,CD,PR，底面BCD,BC=LPB=

CD=2,则该三棱锥的外接球的体积为（）

A.孑•兀B.-1-7t

「27「

C.%FDn-勺25兀

例3.（2022•北京市第三十五中学高一阶段练习）已知正方体外接球的体积是挈兀,那么正方体的体对角

O

线等于（）

A.竽B.4C.竽D.唔

例4.（2022.黑龙江勃利县高级中学高一期中）据《九章算术》记载,“鳖席”为四个面都是直角三角形的三

棱锥.如图所示，现有一个“鳖膈”，R4,底面且P4

=48=口。=2,三棱锥外接球表面积为（）

A.IOTU

B.12TU

C.14兀

D.16兀

例5.（2022・河北•高一期中）《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳

马”.现有一“阳马”P—ABCD,PH_L平面ABCD，4B=4,△PAD的面积为4,则该“阳马”外接

球的表面积的最小值为（）

A.24兀B.28兀C.32兀D.367r

例6.（2022•河南•模拟预测（文））在三棱锥A-BCD中,已知AC1.平面BCD,BC±且AC=

BC=2,口。=函，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.12兀B.7兀C.9兀D.8兀

题型二:正四面体模型

例7.（2022.全国.高三专题练习（理））棱长为a的正方体内有一个棱长为c的正四面体，且该正四面体可

以在正方体内任意转动，则力的最大值为（）

A.3aB.-^-aC.D.-^-a

/。

例8.（2022.河南.西平县高级中学模拟预测（理））一个正四面体的棱长为2,则这个正四面体的外接球的

体积为（）

A.V67CB.2兀C.3兀D.22兀

例9.（2022.贵州师大附中高二开学考试（理））已知正四面体的棱长为2,则其外接球的表面积为（）

A.4兀B.6兀C.8兀D.10兀

例10.（2022河北•石家庄二中一模（理））如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱4C

上一动点,BP+PE的最小值为V14,则该正四面体的外接球表面积是（

A.12兀

B.327r

C.87r

D.247r

例11.（2022.贵州.凯里一中高二期末（理））我们将四个面均为正三角形的四面体称为“正四面体”，在正四

面体ABCD中,区尸分别为棱AB,CD的中点，当EF=V2时，四面体ABCD的外接球的表面积为

（）

A.12兀B.4兀C.3兀D.6兀

例12.（2022•全国.高三专题练习）金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体

的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的8个顶点，6个面的中

心，此外在立方体的对角线的J处也有4个碳原子，如图所示（绿色

球），碳原子都以共价键结合,原子排列的基本规律是每一个碳原子的

周围都有4个按照正四面体分布的碳原子.设金刚石晶胞的棱长为

a,则正四面体SPQR的棱长为；正四面体SPQR的

外接球的体积是.

题型三:对梭相等模型

例13.（2022。让胡路区校级模拟）在四面体4BCD中，若4B=CD=4，AC=BD=2,AD=BC=

西，则四面体ABC。的外接球的表面积为（）

A.2兀B.4兀C.6兀D.8兀

例14.已知四面体ABCD中，＞1口=。。=斯，2。=40=，正，47=43,若该四面体的各个顶

点都在同一球面上，则此球的表面积为（）

A.42兀B.43兀C.14兀D.16几

例15.如图，在三棱锥P—48。中，P4=BC=遍，PB=AC=2,PC=AB=

遍，则三棱锥P-ABC外接球的体积为（）

A.V2TLB.

C.娓虱D.6兀

例16.（2022-永安市校级期中）在三棱锥P-ABC中，H4=BC=4,PB=AC=5,PC==/五,则

三棱锥P—的外接球的表面积为（）

A.26兀B.127rD.24正

例17.（2（）22・罗湖区月考）已知在四面体力BCD中，4B=CD=2打,AD=47=BC=BD=滤,则四

面体ABCD的外接球表面积为一.

例18.（2022•三模拟）在四面体ABCD中，4C==2,AO==函，力B=CD=/,则其外接球

的表面积为一.

题型四:直梭柱模型

例19.（2022・山西・太原五中高一阶段练习）在直三棱柱ABC-AXBXCX中，若48_LBC,=6,BC=8,

A4=6,则该直三棱柱外接球的表面积为（）

A.72兀B.114兀

“一-______G

C.136兀D.144兀,1产工ZN71

例20.（2022•安徽•合肥市第六中学高一期中）设直三棱柱ABC—AjBQi的所有顶点都在一个球面上，

AB=AC=AA,,^BAC=120°,且底面△力BC的面积为2小，则此直三棱柱外接球的表面积是

（）

B4。71^兀

A.16兀

C.40兀D.647r

例2L2（）22・河南•高三阶段练习（文））己知正六棱柱ABCDEF-AIQREE的每个顶点都在球O的

球面上，且43=3,A4=4,则球。的表面积为（）

A.42兀B.48兀C.50兀D.52兀

例22.2022.全国•高二课时练习）表面积为817r的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是

7,则这个正四棱柱的底面边长为.

例23.（2022・河南•高三阶段练习（理））已知正三棱柱ABC-43G的外接球表面积为40兀，则正三棱柱

ABC-AXBXCX的所有棱长之和的最大值为.

例24.（2022•浙江.高二期中）在直三棱柱ABC-4BQ1中，ABAC=90°且3场=4,已知该三棱柱的体

积为2,则此三棱柱外接球表面积的最小值为.

题型五:直梭馋模型

例25.（2022•青海・海东市第一中学模拟预测（理））已知四棱锥中，P4,平面4BCD,底面

ABCD是矩形，AD=3AB=3PA,若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为11兀，则四棱锥P一

ABCD的体积为（）

A.3B.2C.V2D.1

例26.2022.全国•高三专题练习）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臊.若三棱

锥M-ABC为鳖腐，AM,平面AB±BC,AB=BC=2,M4=4,三棱锥”一ABC的四

个顶点都在球。的球面上，则球O的表面积为（）

A.9兀B.16兀C.20兀D.24兀

例27.（2022•广西・宾阳中学高一阶段练习）已知三棱锥S-ABC中，S/JL平面力=H7=GA

=3』,三棱锥S-ABC外接球O的表面积为100兀，则球O的体积为，异面直线SA,

OB所成角的余弦值为.

例28/2022.河南.新乡市第一中学高一期末）已知三棱锥S-ABC中，SA，平面ABC,SA=4,BC=

2V3,ABAC=60°,则三棱锥S—ABC外接球的表面积为.

例29.（2022•青海•海东市第一中学模拟预测（文））已知在三棱锥P-ABC中，PA=4,2«,PB=

PC=3,PA±平面PBC,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是（）

A.43兀B.427rC.48兀D.46兀

例30.（2022・全国•高一阶段练习）已知三棱锥P-BCD中，BC_LCD,1.底面BCD,BC=1,PB=

CD=2,则该三棱锥的外接球的体积为（）

例31.（2022.河北沧州•高一期末）已知在三棱锥A—BCD中，4B_L平面BCD,AB=<143,AC=AD=

4,CD=2,则三棱锥4-BCD外接球的表面积为（）

A皿「52冗

A.§B.15兀C.3D.20兀

题型六:正梭锥与例梭相等模型

例32.（2022•江西・高三阶段练习（文））在正三棱锥P-ABC中，到平面ABC的距离为2,

则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.36兀B.167r

c普D.4兀

A

例33/2022・江苏•高一课时练习）如图在正三棱锥S-ABC中，N分别是棱SC,BC的中点，Q为棱

47上的一点，且42=/<3。，斯，朋。若48=22,则此正三棱锥5-45。的外接球的体积

为（）

唔

A.12兀B.

O

C.8V37TD.4岳

例34/2022•重庆市实验中学高一阶段练习）三棱锥P—ABC体积为卓,且PA=PB=PC,4B=AC

=1,BC=心,则三棱锥外接球的表面积为.

例35.2022・重庆•高二期末）如图，在三棱锥A-BCD中，4B=人。=87=3。=CD,二面角力一

-D的余弦值为一V，若三棱锥A-BCD的体积为，则三棱锥A-BCD外

OO

接球的表面积为一

例36/2022.全国•高一期末）在正三棱锥P-ABC中，AB=2，5,正三棱锥P-ABC的体积是4代,则

正三棱锥P—ABC外接球的表面积是（）

A.5兀B.15TTC.25兀D.357r

例37.（2022・天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长

为1,则此三棱锥的外接球的表面积为（）

A.兀B.3兀C.6兀D.9兀

例38.（2022•河南安阳•高二阶段练习（理））如图，在三棱锥A-BCD中，AB=BC=力。=CD=2,

120°,二面角4一6。一。的大小为120。,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（）

A%80K

A.§B.丁

C.27兀n2447t

-r-

例39屋2022・江苏南通・高三期末）已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2方,侧棱PA与底面ABCD

所成的角为45°,顶点P,在球O的球面上，则球O的体积是（）

A.16兀B.警兀C.8兀D.42兀

OO

例40.（2022.全国.高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为

36兀，且3&Z&3/，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A」18,第B.陷岑]C.可，喇D.[18,27]

题型七:例梭为外接球直径模型

例41.2（）22・五华区校级期末）已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球。的球面上，AB=5,47=3,

BC=4,PB为球。的直径，P3=10,则这个三棱锥的体积为（）

A.30A/3B.15A/3C.IOA/3D.573

例42.r2（）22・红花岗区校级月考）已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在同一个球面上，ABCD是边长为

2的正三角形，AC为球。的直径，若该三棱锥的体积为孽，则该球O的表面积（）

O

A.64兀B.48兀C.327rD.167r

例43.2022•抚顺校级月考）已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球。的球面上，PC为球O的直径，

且「。，04,。。_103,/\493为等边三角形,三棱锥「一713。的体积为，,则球0的表面积为

（）

A.4兀B.87C.12兀D.16兀

例44/2（）22・永春县校级月考）已知三棱锥S-4BC的所有顶点都在球。的球面上，A4BC是边长为1

的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（）

n叵

AA.-⑪7—CV/.®百YJ.c

6632

例45.（2022・本溪月考）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AAnC是边长为1的正三

角形，SC为球O的直径，且SC=2；则棱锥）

A.1:1B.1:2C.2:1D.1:3

例46.（2022・云南校级月考）已知三棱锥S-4BC的所有顶点都在球。的球面上，A4BC是边长为2的

正三角形，SC为球。的直径，且SC=4,则此棱锥的体积为（）

A.考^B.考^C.岑^D.4V2

题型八:共斜蝴接模型

例47.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿4c将矩形4BCD折成一个直二面角B—4。一则四面

体ABCD的外接球的体积为（）

AA.不12~5兀B口.—125

C.哈Dn.—1257T

6

例48.三棱锥P-ABC中，平面PAC_1_平面ABC,AC=2,PA±PC,ABI.BC,则三棱锥P-ABC

的外接球的半径为

2

例49.在平行四边形ABCD中，满足而•初=Z彦，2AB=4一厢?,若将其沿BD折成直二面角A-

BD—C,则三棱锥A—BCD的外接球的表面积为（）

A.16兀B.8兀C.4兀D.2兀

例50.在平行四边形ABCD中，前♦3=0,2月滑+记一4=0,若将其沿AC折成直二面角D—AC

—B,则三棱锥。一4cB的外接球的表面积为（）

A.16兀B.87rC.47rD.2兀

例5L：2022・全国•高一期末）已知三棱锥A-BCD中，CD=22，BC=AC=BD=AD=2,则此几何

体外接球的表面积为（）

A.曹B.27rC.D.8兀

OO

例52.」2（）22・江西・高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形，PB±底面ABCD,

。是对角线力。与的交点，若PB=1,ZAPB=4■，则三棱锥P-BOC的外接球的体积为（）

O

4兀

A.—3BR・瓦

C显

C.3D.2几

题型九:垂面模型

例53.已知AABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC±平面ABC,BC

=3,PB=2®,PC=",则三棱锥P—外接球的表面积为.

例54.已知点4是以为直径的圆O上异于B,C的动点，P为平面ABC外一点，且平面平面

ABC,BC=3,PB=2V2,PC=弱,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.

例55.在三棱锥P-ABC中，AB=4C=4,乙氏4。=120°,P3=PC=4/,平面平面ABC,

则三棱锥P—ABC外接球的表面积为.

例56.在菱形ABCD中,ZDAB=60°,将这个菱形沿对角线折起，使得平面DAB1.平面BDC,若

此时三棱锥A-BCD的外接球的表面积为5兀，则AB的长为.

例57.在边长为a菱形ABCD中，Z.DAB=60°,将这个菱形沿对角线BD折起，使得平面DAB±平面

EDC,若此时三棱锥A-BCD的外接球的表面积为57r，则a=（）

A.夸B.V3C.V5D.3

例58.在三棱锥P-ABC中，平面PAB±平面ABC,AP=275,AB=6,4ACB=5,且直线PA与平

O

面ABC所成角的正切值为2,则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A.13兀B.52兀C.警D.於嬖£

OO

例59.已知在三棱锥C-ABD中，AABD是等边三角形，BC,CD,平面ABD±平面BCD,若该三棱

锥的外接球表面积为4兀，则47=（）

A.乎B.乎C.V3D.9

例60.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD1.平面ABCD,AD=20PA=PD=

AB=2,则四棱锥P—4BCD的外接球的表面积为（）

A.2兀B.4兀

C.8冗D.127r

题型十:最值模型

例61.（2022•河南省杞县高中模拟预测（文））在边长为6的菱形4BCD中，ZA=春，现将△46。沿8。

折起到△PBD的位置，当三棱锥P-BCD的体积最大时，三棱锥P-BCD的外接球的表面积为

（）

A.60兀B.457rC.307rD.207r

例62.已知4,B是球。的球面上两点，ZX<9B=90°,。为该球面上的动点，若三棱锥。一ABC体积的

最大值为36,则球O的表面积为（）

A.36兀B.64兀

C.1447cD.256兀

例63.已知三棱锥。一/BC的顶点A,口，C都在半径为2的球面上，O是球心，NAOB=120°,当

△40。与AB。。的面积之和最大时,三棱锥。一4BC的体积为（）

A.率B.马gC.4D.J

/OOO

例64.体积为18V3的正三棱锥A-BCD的每个顶点都在半径为R的球。的球面上，球心O在此三棱锥

内部，且R-.BC=2:3,点E为的中点，过点E作球。的截面，则所得截面圆面积的最小值是

例65.已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则三棱柱的体积的最大值为.

例66.已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时•，三棱柱的高为

例67.如图，四边形ABCD的面积为2打,且NABD=乙BDC=90°,把XBCD绕BD旋转，使点。运动

到P,此时向量丽与向量丽的夹角为90°.则四面体4BCP外接球表面积的最小值为（）

A.咯

O

B.6A/2TT

C.8几

D.10兀

例68.已知长方体ABCD-A5GD1的体积V=12,

ZB=2,若四面体4一BJCOJ的外接球的表面积为S,则S的最小值为（）

A.8兀B.9&C.167cD.32兀

例69.如图，在四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形

力BCD的中心且43=方,设点〃、"分别为线段150、「0上的动

点，已知当AN+A/N取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四

棱锥的外接球的表面积为（）

出

A.典2

3

△25兀华

C・丁D.

题型十一:二面角模型

例70.（2022・全国•高三专题练习（文））在三棱锥？1-BCO中，==BD=2^3,

二面角A-BD-。是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2,则A—BCD的外接球的表面积是

（）

A.12兀B.13兀

c37「53

C.丁nD.丁兀

例71.12022・河南•高三阶段练习（理））在三棱锥P-ABC中，4ABC是边长为4V3的等边三角形，PA=

PC=4,二面角P—AC-B是150°,则三棱锥P—ABC外接球的表面积是（）

A.16（11-4V3）7tB.4（11-4V3）TTC.4（ll+4V3）7iD.2（11+4V3）7T

例72/2022.全国•高三专题练习）在三棱锥P-ABC中，ZVIBC为等腰直角三角形，AB=47=2,

△P4C为正三角形，且二面角P—AC—B的平面角为《，则三棱锥P—ABC的外接球表面积为

（）

A.等兀B.4■兀C.孕兀D.粤兀

yyjy

例73.i2022•陕西・宝鸡中学模拟预测）两个边长为2的正三角形△ABC与△AS。,沿公共边AB折叠成

60。的二面角，若点ABC,。在同一球O的球面上，则球O的表面积为（）

A兀兀兀兀

20o52Cc16Dc，28

A.-g-B--g--~3~~3~

例74.（2022•安徽・蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知空间四边形ABCD,CD_Lm,CD=BAB

=BO=AO=3,二面角4一口。一。是120°,若力、B、C、。四点在同一球面上，则该球的表面积是

（）

A.15兀B.18兀C.217TD.247r

例75.（2022•黑龙江・哈尔滨三中三模（理））已知菱形ABCD中，45==2,将其沿对角线折成四

面体4BCO,使得二面角A-BO-C的大小为。■，若该四面体的所有顶点在同一个球面上,则该球

O

的表面积为（）

52口52V39「26「26V39

AA.-g-7CJD.-2y-兀G.-g-7TLJ.―2J-兀

例76.（2022・全国•高三专题练习）四边形ABDC是菱形，NB4C=60°,=沿对角线BC翻折后,

二面角4—BD-。的余弦值为一］,则三棱锥D-ABC的外接球的体积为.

O

例77.（2（）22・河南・南阳中学三模（文））在边长为4的正方形ABCD中，E,R,G分别为AD,BC,4B的

中点，现将矩形CDEF沿E尸折起，使平面COE尸与平面尸E所成的二面角为直二面角，则四面体

CEG尸的外接球的表面积为

题型十二:坐标法模型

例78.,2022・黑龙江・大庆实验中学模拟预测）直角1XABC中=2,BC=1,O是斜边4c上的一动点，

沿BD将XABD翻折到△ABO,使二面角A,-BD-。为直二面角，当线段AC的长度最小时，四面

体4BCD的外接球的表面积为（）

例79.，2022・全国•高三专题练习（理））如图，在长方体ABCD-45GR中，AB=2函，口。=4,44=

4,E是棱上靠近B的三等分点，尸,G分别为BC,CC［的中点，P是底面ABCD内一动点，若直

线用尸与平面ERG垂直，则三棱锥A-BBjP的外接球的表面积是

（）

A.28兀B.567r

C.1127TD.2247r

例80.（2022・山西•一模（理））如图①，在形△ABC中，。=会AC=BC=2,分别为力C,AB的中

点，将△ADE沿DE折起到△4DE的位置，使AXD_LCD,如图②.若R是力出的中点，则四面体

尸。OE的外接球体积是（）

①

A.27rB.D•元兀

例81.（2022.全国.高三专题练习）如图，已知四棱锥E—ABCD，底面ABCD是边长为3的正方形，ZE，

面ABC。，的=2/，丽=2闻，旗=卷肥，若RP=RQ=代,

则四棱锥E-ABCD外接球表面积为（)

A.44兀B.54兀

C.176兀D.216兀

例82.（2022•江苏南通•一模）在三棱锥P-AB。中，已知△ABC是边长为2的正三角形，PA±平面

ABC,M、N分别是AB、PC的中点，若异面直线MN、PB所成角的余弦值为:，则PA的长为

，三棱锥P-ABC的外接球表面积为.

例83/2022•全国•高三专题练习）如图，在直角梯形483中，4B〃CD,AB±AD.已知CD=24B=

2AD=2a.将4ABD沿直线BD翻折成△4田。,连接A.C.当三

棱锥4一BCD的体积取得最大值时，异面直线4c与BD所成

角的余弦值为；若此时三棱锥4-BCD外

接球的体积为4瓜R,则a的值为.

例84.（2022.全国.高三专题练习）一个四面体的顶点在空间直角坐标系0—磔/z中的坐标分别是（0,0,0）、

（a,0,a）、（O,a,a）、（a,a,0）,则该四面体的内切球与外接球体积之比为

例85.（2022•辽宁•沈阳二十中高三期末）在直四棱柱ABCD—中，底面是边长为4的菱形，

4ABe=60%44=4,过点B与直线AC,垂直的平面交直线AA于点M，则三棱锥A-MBD的外

接球的表面积为.

题型十二：圆锥IS柱园台模型

例86/2022•青海海东市第一中学模拟预测（文））已知某圆台的母线长为2,母线与轴所在直线的夹角是

60°,且上、下底面的面积之比为1:4,则该圆台外接球的表面积为（）

A.56兀B.64兀C.1127：D.128兀

例87/2022•辽宁・东北育才双语学校模拟预测）已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆

锥的底面半径为2—,高为6,则球。的表面积为（）

A.32兀B.48兀C.64兀D.80兀

例88.（2022•河南洛阳•二模（文））已知高为4的圆锥外接球的体积为36兀，则圆锥的体积为

（）

A.警B..俨C.粤D.32兀

OOO

例89.（2022•青海・海东市第一中学模拟预测（文））已知某圆台的母线长为2,母线与轴所在直线的夹角是

60°,且上、下底面的面积之比为1：4,则该圆台外接球的表面积为（）

A.56兀B.64兀C.112兀D.128兀

例90.2（）22•河南焦作•高二期末（理））已知圆台的母线长为2,母线与轴的夹角为60°,且上、下底面的面

积之比为1：4,则该圆台外接球的表面积为

（）

A.56兀B.100兀

C.112兀D.128兀

例9L2022.广西.高二阶段练习（理））已知一个圆台的上下底面半径分别为5和12,高为7,则它的外接

球的表面积为（）

A.676兀B.576nC.三誉D.2496兀

O

例92.12022•浙江温州•高一期末）轴截面为正方形的圆柱内接于球，则它们的表面积之比是

（）

A.1：2B,2：1C.3：4D.4：3

例93/2022.河南商丘.三模（理））已知体积为答兀的圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的外接

球的表面积为.

例94.2022.湖北.黄冈中学三模）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为图”的球面上，圆柱底面直径

为8,则该圆柱的体积为

例95.：2022.全国•模拟预测）如图，棱长均相等的直三棱柱ABC-45cl的上、下底面均内接于圆柱

oa的上、下底面,则圆柱。。的侧面积与其外接球的表面积之