一级倒立摆系统

直线一级倒立摆建模与性能分析直线一级倒立摆建模及性能分析一、数学模型建立在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。u为外界作用力；x为小车位移；为摆杆与铅垂方向的夹角；O、G分别为摆杆与小车的链接点、摆杆质心的位置；M为小车的质量；m为摆杆的质量；J为摆杆绕G的转动惯量；l为O到摆杆质心的距离，L为摆杆的长度；f为小车与导轨间的滑动摩擦系数，f为摆杆绕O转动01的摩擦阻力矩系数。M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I:摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置：摆杆与垂直向上方向的夹角e：摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)其机械部分遵守牛顿运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律。因此可以通过机理建模得到系统较为精确的数学模型。应用牛顿力学来建立系统的动力学方程过程如下：分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：Mx二F-bx-N由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：d2N=m (x+1sin0)dt2即：N=mx+m10cos0-m102sin0把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：•• •(M+m)x+bx+ml0cos0-m102sin0=F (1-1)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：d2P-mg=-m (lcos0)dt2即：P-mg=ml0sin0+ml02cos0力矩平衡方程如下：-Plsin0-Nlcos0=I0注意：此方程中力矩的方向，由于0=兀+°，cos©=-cos0，sin0=-sin0，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和“，得到第二个运动方程：・・(I+ml2)0+mglsin0=-mlxcos0 (1-2)1.1微分方程模型设0=兀+0,当摆杆与垂直向上方向之间的夹角e与1(单位是弧度)相比

很小，即°«1时，则可以进行近似处理：cose=-1，sin9=-°，磅）2=0为了与控制理论的表达习惯相统一，即u一般表示控制量，用u来代表被控对象的输入力F，线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式:(1-3)1-4)V+ml2④一mgl°=mlx(M+m)X+bX-ml°=u(1-3)1-4)1.2传递函数模型对方程组（1-3）进行拉普拉斯变换，得到Y+ml2◎(s)s2一mglO(s)=mlX(s)s2(MHm)X(s)s2HbX(s)s一ml0(s)s2=U(s)注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度°，求解方程组（1-4）的第一个方程，可以得到x(s)=[(i+ml2)-—]o(s)mls2把上式代入方程组（1-4）的第二个方程，得到整理后得到以输入力u整理后得到以输入力u为输入量,以摆杆摆角°为输出量的传递函数(I+ml2)g0(s)s2+b(I+ml2)+g十ml sml s2(M+m)0(s)s一ml①(s)s2=U(s)mls2qb(I+ml2) (M+m)mgl bmgls4+ s3— s2—sq其中q=[(M+m)(I+ml2)一(ml)2]其中(I(I+ml2) mgls2一qG(s)= q2 U(s) b(I+ml2) (M+m)mgl bmgls«4H s3 s2 s

1.3状态空间数学模型由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式X=AX+BuY=CX+Du方程组（1-3）对x,°解代数方程，得到如下解:.. -(I+ml2)方. m2gl2 丄 (I+ml2)TOC\o"1-5"\h\zx= x+ 9+ uI(M+m)+Mml2 I(M+m)+Mml2 I(M+m)+Mml29=9-mlb . mgl(M+m) 丄 mlx+ 9+ uI(M+m)+Mml2 I(M+m)+Mml2 I(M+m)+Mml2整理后得到系统状态空间方程：xx9*■00001-xx9*■00001-(I+ml2)b0m2gl2I(M+m)+Mml2

0

-mlbI(M+m)+Mml2I(M+m)+Mml2

0

mgl(M+m)I(M+m)+Mml200100I+ml2I(M+m)+Mml2

0

mlI(M+m)+Mml2Y=以上就是一阶倒立摆小车系统的状态空间表达式1.4能控标准型和能观标准型在Matlab中，拉普拉斯变换后得到的传递函数可以通过计算并输入分子和分母矩阵来实现。假设系统内部各相关参数为：M小车质量 1.095Kgm 摆杆质量 0.105Kgb 小车摩擦系数 0.15N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.35m0.0035kg*m*m0.005秒0.0035kg*m*m0.005秒T采样时间求解能控标准型和能观标准型程序代码如下：>>A=[01.000000;0-0.08830.60840001.0000;0-0.227426.81170]B=[0;0.8829;0;2.2742]C=[1000;0010]D=[0;0;]Qc=ctrb(A,B)Qo=obsv(A,C)j=poly(A)a1=j(2)a2=j(3)a3=j(4)a4=j(5)Tc=Qc*[a3a2a11;a2a110;a1100;1000]Ac=inv(Tc)*A*TcBc=inv(Tc)*BCc=C*TcTo=inv([a3a2a110000;a2a1100000; a11000000;10000000]*Qo)Ao=inv(To)*A*ToBo=inv(To)*BCo=C*ToA=01.0000000-0.08830.608400001.00000-0.227426.81170B=00.88290

2.274210000010Qc=-0.07801.39051.3905-0.2449-0.07801.39051.3905-0.2449-0.200860.992960.9929-5.69920.8829-0.078002.2742-0.2008Qo=1.0000000001.0000001.0000000001.00000-0.08830.608400-0.227426.8117000.0078-0.05370.608400.0201-0.138426.81171.00000.0883-26.8117-2.2291a1=0.0883a2=-26.8117a3=-2.2291a4=0Tc=-22.2884-0.00000.882900.0000-22.2884-0.00000.88290.00000.00002.27420-0.00000.00000.00002.2742Ac=-0.00001.0000-0.000000.00000.00001.0000-0.0000-0.0000-0.000001.00000.00002.229126.8117-0.0883Bc=0.0000001.0000Cc=-22.2884-0.00000.882900.00000.00002.27420To=0001.000001.0000-0.088327.8363001.0000-0.08831.0000-0.088327.8363-2.6063Ao=-27.8285-0.0952-746.5329-0.98370.0883-27.92465.5523-777.38601.0000027.8285-0.148301.0000-0.088327.8363Bo=2.43460.883200Co=0 00 1.00000 01.0000-0.0883约旦规范型A=[01.000000;0-0.08830.60840;0001.0000;0-0.227426.81170]B=[0;0.8829;0;2.2742]C=[1000;0010]D=[0;0;][V,E]=eig(A)[Ad]=[inv(V)]*A*V[Bd]=[inv(V)]*B[Cd]=C*VA=01.0000000-0.08830.608400001.00000-0.227426.81170B=00.882902.2742C=100000101.0000-0.9966-0.00440.004200.08290.02260.021900.0007-0.18950.18970-0.00010.98160.9816E=00000-0.08310000-5.180600005.1755Ad=0-0.00000.0000-0.00000-0.08310.0000-0.000000.0000-5.1806-0.000000.0000-0.00005.1755Bd=9.998710.03291.17791.1395

Cd=1.0000-0.9966-0.00440.004200.0007-0.18950.1897系统MATLAB仿真、开环响应2.1传递函数在Matlab中，拉普拉斯变换后得到的传递函数可以通过计算并输入分子和分母矩阵来实现。假设系统内部各相关参数为：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量1.095Kg0.105Kg0.15N/m/sec0.35m0.0035kg*m*m0.0051.095Kg0.105Kg0.15N/m/sec0.35m0.0035kg*m*m0.005秒0001.0000;B=[0;0.8829;0;2.2742]C=[1000;0D=[0;0;][num,den]=ss2tf(A,B,C,D)A=01.000000-0.08830.60840000-0.227426.8117>>A=[01.000000;0010]001.00000-0.08830.60840;0-0.227426.81170]00.882902.2742num=0.00000.8829-0.0000-22.28840.000002.2742num=0.00000.8829-0.0000-22.28840.00002.27420.0000den=1.00002.2状态空间法0.08831.00002.2状态空间法0.0883-26.8117-2.2291状态空间法可以进行单输入多输出系统设计，因此在这个实验中，我们将尝试同时对摆杆角度和小车位置进行控制。为了更具挑战性，给小车加一个阶跃输入信号。我们用Matlab求出系统的状态空间方程各矩阵，并仿真系统的开环阶跃响应。在这里给出一个state.m文件，执行这个文件，Matlab将会给出系统状态空间方程的A,B,C和D矩阵，并绘出在给定输入为一个0.2m的阶跃信号时系统的响应曲线。state.m程序如下：M小车质量1.095Kgm摆杆质量0.105Kgb小车摩擦系数 0.15N/m/sec

摆杆惯量0.0035kg*m*m采样时间0.005秒ll摆杆转动轴心到杆质心的长度0.35m%——————state.m——————%倒立摆状态方程及开环阶跃响应%输入倒立摆相关参数M=1.095;m=0.105;b=0.15;I=0.0035;g=9.8;l=0.35;%p用于状态方程计算p=I*(M+m)+M*m*22;%输入倒立摆状态方程并显示A=[0100;TOC\o"1-5"\h\z0-(I+m*lA2)*b/p(mA2*g*lA2)/p 0;0 0 01;0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0]B=[ 0;(I+m*lA2)/p;0;m*l/p]C=[1000;0010]D=[0;0]%求开环系统的阶跃响应并显示T=0:0.005:5;U=0.2*ones(size(T));[Y,X]=lsim(A,B,C,D,U,T);plot(T,Y)%显示范围：横坐标0-2，纵坐标0-100，此条语句参数可根据仿真输出曲线调整axis([020100])grid%——————end——————执行上面的文件，得到系统的状态空间A、B、C、D矩阵，显示结果如下所示：>>stateA=01.0000000 -0.0883 0.6084 00001.00000 -0.2274 26.8117 0B=00.882902.2742C=10000010D=00>>MATLAB仿真的开环阶跃响应曲线如下图所示，系统不稳定。图中，实线是摆杆角度响应曲线，虚线是小车位置响应曲线。三、性能分析3.1系统的可控性和可观测性判别由秩判据：线性定常系统x二Ax+Buux(°)=x°，t工0完全可控的充分必要条件是：rank(M)=nM=BAB…An-iB其中，n为矩阵的维数；M称为系统的可控性判别阵。线性定常系统x=Ax+Bu,x(0)=x,t>0完全可观测的充分必要条件是:0rank(N)=n_C_CAN=:CAn-1其中，n为矩阵的维数；N称为系统的可控性判别阵。程序代码如下：%——————state.m——————%倒立摆可控性、可观性判别%输入倒立摆相关参数M=1.095;m=0.105;b=0.15;I=0.0035;g=9.8;l=0.26;%p用于状态方程计算p=I*(M+m)+M*m*22;%输入倒立摆状态方程并显示A=[0100;TOC\o"1-5"\h\z0-(I+m*lA2)*b/p(mA2*g*lA2)/p 0;0 0 01;0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0]B=[ 0;(I+m*lA2)/p;0;m*l/p]C=[1000;0010]D=[0;0]%可控性判别M=ctrb(A,B);k1=rank(M);ifk1==4disp('系统完全可控！’)elsedisp('系统不完全可控！’)end%可观性判别N=obsv(A,C);k2=rank(N);ifk2==4disp('系统完全可观测！’)elsedisp('系统不完全可观测！’)end%——————end——程序运行结果为：A=01.000000-0.08830.60840000-0.227426.8117001.00000B=00.882902.2742C=10000010系统完全可控！系统完全可观测！3.2分析系统的稳定性—李雅普诺夫稳定性及其线性定常系统的特征值判据平衡状态：李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言，对于所有的t，满足x=f(x,t)=0e e的状态称为平衡状态。对线性定常系统x=Ax,其平衡状态满足Axe=0，当A为非奇异矩阵是，系统只有唯一的零解，即只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。若A为奇异矩阵,则系统存在有无穷多个平衡状态。李雅普诺夫意义下的稳定性：设系统初始状态位于以平衡状态x为球心，8为半径的闭球域S(5)内，即ex0-xJI-8，t=to若能使系统方程的解x(t;x,t)在ts的过程中，都位于以x为球心、任意规定00 e的半径为s的闭球域SC)内，即||x(t;x,t)一x||<8,t>t则称系统