教学设计 椭圆的简单几何性质教案

2.1.一.教学目标1．掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等几何性质．2．利用几何性质求椭圆的标准方程.3.能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，画椭圆图形．4.通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力.二.教学重点:1.椭圆的简单几何性质及推导过程；2.椭圆离心率的理解；3.利用性质得出画椭圆的简便方法．三．教学难点:1.离心率的概念的理解.2.利用椭圆的标准方程探究椭圆的几何性质.四.教学方法：引领式自主探究五.教学过程（一）复习提问*上节课我们学习了椭圆的两个定义，请同学们回答其具体内容．(教师指定学生回答，并引导其他学生进行更正．)

*我们还学习了焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程，请分别说出各是什么形式？

当焦点在x轴上时方程为：

当焦点在y轴上时方程为：*完成预习学案上的引题，给出2分钟的时间进行讨论引题：用描点法画出椭圆的图形．（草图）

x-1-3-5y

5x01356y

对应点（0,___）（1,）对应点：（0,___）（1,）（3,）（5,____）（6,____）（3,）（____,-5）

x-1-3-6y

x013y

-5

对应点（-1,）（-3,）对应点：（-1,____）（-3,___）（-5,____）（____,5）（-6,____）2.描点3.连线根据以上作图过程思考：1.填表的过程中遇到的问题及原因：如：_______________________________________..........2.你认为所选取的点当中哪几个点比较关键：如点____________，____________，____________，____________.理由：______________________________________________________.3.观察椭圆图形，你认为椭圆具有哪些特点？如何从方程的角度，用代数的方法加以证明？（真正根据图形即作图过程自主思考，自由发挥.............）(1).______________(2).______________.............

（二）正式授课*根据对引题的研究，得出从以下3个方面来研究椭圆的几何性质=1\*GB3①范围=2\*GB3②对称性=3\*GB3③顶点1.范围*给出大概2分钟的时间结合椭圆的方程，用代数的方法推导椭圆的范围.方法1：由可得，即，所以。同理可得.方法2：还可以把看成，利用三角函数的有界性来考虑的范围.方法3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以，从而.同理可得的范围.

*总之，我们从方程的角度，利用代数的方法推得：对于椭圆有：，.即椭圆位于直线和所围成的矩形内.2.对称性*通过对椭圆作图过程的的研究不难推测：椭圆既关于x轴、y轴成轴对称图形；又关于坐标原点成中心对称图形.下面我们再一次直观的感受一下椭圆的对称之美.（演示幻灯片）*通过椭圆的标准方程我们不难得出：设点P（x,y）为椭圆上的任意一点，则其关于x轴的对称点（x,-y）也一定满足椭圆的方程.即也在椭圆上.由此可得到椭圆关于x轴对称.同理点P（x,y）关于y轴的对称点（-x,y）也在椭圆上，即椭圆关于y轴对称.点P（x,y）关于原点轴的对称点（-x,-y）在椭圆上，即椭圆关于原点对称.综上可知，椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点对称.3.顶点*通过对椭圆上点的研究我们得到在其图形上有这4个特殊点（-5,0）（5,0）（0,4）（0,-4）我们可以很形象的称之为顶点.下面我们就研究一下椭圆的顶点的坐标.*给出三分钟进行讨论.提问.令，得，说明点，是椭圆与轴的两个交点。同理，点是椭圆与轴的两个交点。*总结并给出顶点的定义（强调是与椭圆与对称轴的交点）。结合多媒体展示的椭圆图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，点明方程中的几何意义和数量关系.*以上我们研究了椭圆的范围、对称性以及顶点坐标.下面我们来解决预习学案上的这道题.例：根据椭圆性质，在坐标系中快速画出下列椭圆的简图.(保留作图痕迹).（1）（2）*给出3分钟自由讨论，提问，展示.首先确定椭圆的四个顶点，其次画出表示范围的矩形框，然后画出椭圆在第一象限的部分，最后根据对称性用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆的基本图形.*教师提醒学生：画图时注意椭圆的对称性和顶点附近的平滑性.*现在我将这两个椭圆从图形上看有什么异同之处？例在同一坐标系中画出下列椭圆的简图.（1）（2）相同：与x轴交点相同（a同），长轴位置相同.不同：与y轴交点不同（b不同），焦点坐标不同（c不同），扁圆程度不同.

4.离心率*由这两个椭圆，我们不难发现，在a不变的前提下，椭圆焦点与原点的距离即c的大小的不同，椭圆的扁平程度是不一样的.那么，就好比为了描述人与人之间胖瘦程度的差异，我们引入“体重”这个概念类似，为了刻画椭圆之间扁平程度的差异，我们引入“离心率”这个概念.并令由上一节的知识我们不难发现，0<e<1*下面我们重点来研究一下离心率对椭圆程度的具体影响.（播放几何画板）由此不难看出，在椭圆长轴长不变的前提下，焦点若逐渐远离中心，e在变大时，椭圆在逐渐变得扁平；反之，当焦点逐渐靠近中心，e在变小时，椭圆逐渐变圆.*e越接近1，椭圆越_扁;e越接近0，椭圆越__圆__.*到此为止，我们从以下几个方面来研究椭圆(>0)的简单几何性质：范围，对称性，顶点，离心率.其中离心率的作用是为了刻画椭圆的扁平程度引入的一个概念.那么类似的我们也能得到焦点在y轴上的椭圆(>0)的这四方面的几何性质.快速、独立的完成学案上的椭圆的简单的几何性质的表格.快速的完成学案上（三）当堂反馈完成学案上的第四部分内容.(随堂批改)（四）课时总结1.基本量:a、b、c、e几何意义：a-长半轴长、b-短半轴长；c-半焦距，e-离心率.

相互关系：e=2.基本点：顶点、焦点、中心3.基本线:对称轴四．当堂反馈1.椭圆16x2+25y2=400的长轴长_____短轴长_____.离心率e＝______.焦点坐标F1,_________,F2_________.顶点坐标A1_________,A2_________；B1_________,B2_________.

2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵长轴长等于20，离心率等于.五．课后作业1.比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？①9x2＋