河南省伊川县实验高中2021-2022学年高一下学期第二次月考数学试题

/19/19/伊川县实验高中2021～2022学年第二学期第二次月考高一数学试卷一、选择题1.复数z满足，则它的虚部为（）.A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先求出复数，在分析它的虚部即可.【详解】由，所以，所以复数的虚部为：，故选：A.2.在△中，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理：，故，解得.故选：B.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.3.某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2400人，中部地区学生有1600人，西部地区学生有1000人.为了调研学生的饮食习惯.保证调研结果相对准确，用分层抽样的方法抽取东部地区学生48人，则中部地区学生、西部地区学生分别抽取（）人.A.325 B.3220 C.85 D.820【答案】B【解析】【分析】先求出抽取的总人数，在分别求中部地区学生、西部地区学生分别抽取的人数.【详解】设此次抽取的人数为人，由抽取东部地区学生48人得：人，则中部地区学生抽取的人数为：人，西部地区学生抽取人数为：人，故选：B.4.已知直线平面，直线平面，则“直线”是“，且”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的结合线面垂直的性质可得出结论.【详解】直线平面，直线平面，则“直线”能推出“，且”，是充分条件，反之“，且”，直线与平面不一定垂直，不是必要条件，因此，“直线”是“，且”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查充分条件、必要条件定义的应用，考查计算能力，属于基础题.5.若一个水平放置图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算出等腰梯形的面积为，再利用计算得到答案.【详解】等腰梯形的面积则原平面图形的面积.故选：C.6.冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体，若圆锥部分的侧面展开图是面积为的半圆形，则该冰激凌的体积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意列出方程组，求得的值，得出，结合圆锥的体积公式，即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，根据题意，可得，解得，所以，故该冰激凌的体积.故选：A.7.体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.【考点】正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.8.已知向量与的夹角为，，，当时，实数为（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值.【详解】向量与的夹角为，，，由知，，，，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.9.把边长为4的正方形，沿对角线折成空间四边形，使得平面平面，则空间四边形的对角线的长为（）A.4 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先利用正方形对角线垂直知对折后平面即，在求即可.【详解】如图所示，正方形，对角线交于O点，则，沿对角线折成空间四边形后，有，，而平面平面，交线是BD，故平面，即，所以是等腰直角三角形，故.故选：A.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，属于基础题.10.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为，酒杯内壁表面积为,设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】设酒杯上部分（圆柱）的高为，球的半径为，则酒杯下部分（半球）的表面积为，结合圆柱和球的体积公式，即可求解.【详解】设酒杯上部分（圆柱）的高为，球的半径为，则酒杯下部分（半球）的表面积为，酒杯内壁表面积为，得圆柱侧面积为，酒杯上部分（圆柱）的表面积为，解得酒杯下部分（半球）的体积酒杯上部分（圆柱）的体积所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的表面积和体积、圆柱侧面积和体积的应用，属于中档题.11.如图，在矩形中，，E为的中点，将沿翻折到的位置，其中平面，M为的中点，则在翻折过程中，有如下下列结论：①恒有平面；②B与M两点间距离恒为定值；③三棱锥体积最大值为；④存在某个位置，使得平面平面.其中正确的结论个数是（）.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】对四种说法一一判断：对于①：如图，取的中点，连接，证明出.利用线面平行的判定定理即可证明平面；对于②：利用余弦定理求出，即可求出；对于③：连接.先判断出三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，利用等体积法求出取到最大值，为，进而可得三棱锥的体积的最大值；对于④：利用反证法证明.【详解】对于①：如图，取的中点，连接.则且.又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.故①正确;对于②：因为，根据余弦定理，得，解得因为，所以.故②正确;对于③：连接.因为为的中点，所以三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍.设为到底面的距离，则三棱锥的体积，.当平面⊥平面时，h达到最大值，所以取到最大值.此时，，所以所以三棱锥的体积的最大值为.故③正确；对于④：假设平面⊥平面，又平面∩平面=，，所以⊥平面，所以，则在△中，∠=90°，，所以.又所以故三点共线，所以，所以平面，与题干条件平面矛盾，故④不正确.故选：C.12.在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在中，设，，，结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】在中，设，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，则，所以，，解得，.以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，为线段上的一点，则存在实数使得，，设，，则，，，，，消去得，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解.二、填空题13.已知向量与不共线，若向量与向量共线，则实数__________.【答案】【解析】【分析】由向量共线，有，为实数，列方程组求k即可.【详解】向量与向量共线，设，即，∴.故答案：-1.14.在长方体中，，，，则异面直线与所成角的大小为__________．【答案】【解析】【分析】作出图示，根据，先判断出异面直线所成角是哪个角，然后根据线段长度求解出异面直线所成角的大小.【详解】如图所示：因为，所以异面直线与所成角即为（为锐角），又因为，所以且，所以，所以异面直线与所成角的大小为，故答案为：.【点睛】本题考查求解异面直线所成角，难度较易.求解异面直线所成角，关键是能通过直线的平行关系，将直线平移至同一平面内，最后再进行求解.15.对某校高一年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如图柱形图和扇形图.根据图中信息，这些学生成绩的平均数是______.【答案】2.95##【解析】【分析】先根据题意求出进行体能测试的学生总人数，然后求出得分为2,3的学生人数，利用平均数的计算方法计算即可.【详解】由扇形图知得分为4的占比为，由柱形图知得4分的有12人，所以参加体能测试的总人数为：人，其中得3分占比，所以有人，则得2分的人数为：人，所以这些学生成绩的平均数是：分故答案为：2.95.16.已知在中，，，，，，则的值为_________.?【答案】【解析】【详解】在中，，建立直角坐标系,?,,,依题意有D,E(2,0)得，得，故填.三、解答题17.（1）求的值；（2）若关于x的一元二次方程的一个根是，其中，i是虚数单位，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由复数的乘法和除法运算化简复数即可得出答案.（2）将代入方程，根据实部、虚部为0求得的值，即可得出答案.【详解】（1），，，所以.（2）因为为方程的一根，所以，即，所以且，故，所以18.为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW·h至350kW·h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．（I）求a的值；（Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW·h的户数；（III）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h）的建议，并简要说明理由．【答案】（I）；（Ⅱ）；（III）kW·h.【解析】【分析】（1）根据频率和为计算出的值；（2）根据频率分布直方图计算出“用电量大于250kW·h”的频率，再将该频率乘以对应的总户数即可得到结果；（3）根据频率分布直方图计算出频率刚好为时对应的月用电量，由此可得到第一档用电标准.【详解】（1）因为，所以；（2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW·h”的频率为，所以用电量大于250kW·h的户数为：，故用电量大于250kW·h有户；（3）因为前三组频率和为：，前四组的频率之和为，所以频率为时对应的数据在第四组，所以第一档用电标准为：kW·h.故第一档用电标准为kW·h.【点睛】本题考查频率分布直方图的综合应用，主要考查利用频率分布直方图进行相关计算，对学生读取图表信息和计算能力有一定要求，难度一般.19.在中，角，，所对的边分别为，，，，.（1）若，求角；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）由正弦定理直接求解即可；（2）由三角形的面积公式结合三角形的面积求出，从而可得，再利用余弦定理可求出的值【详解】（1）由已知条件可知，，，，根据正弦定理可得，∴，∵，∴，∴，∴.（2）因为的面积为，且，.顶点到的距离为，∴，∴.∴.∵，∴，∴，由余弦定理得，，∴【点睛】此题考查正弦、余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题20.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）若平面，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，证明四边形为平行四边形即可证明，进而根据判定定理即可证明；（2）证明平面，再结合即可证明结论；（3）由题可求得，进而求得直角梯形ABCF的面积，然后利用棱锥的体积公式即求.【小问1详解】证明：如图，取的中点为，连接.因为分别是的中点，四边形是矩形，所以，且，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】证明：因为，的中点为，所以，因为平面，平面，所以，因为底面是矩形，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，因为由（1）知，所以平面.【小问3详解】解：因为平面平面ABCD，所以，又，所以，因为平面平面，所以，又E是PB的中点，所以，所以直角梯形的面积.因为点到平面的距离，所以.21.在中，角、、所对的边分别为、、，且与共线.（1）求：（2）若，且，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示结合正弦定理可求得，再由角的取值范围可求得角的值；（2）求出、的长，在中，利用余弦定理可得出关于的方程，解出的长，再利用三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】解：在中，，因为向量与向量共线，则，由正弦定理可得，所以，，、，则，所以，，因此，.【小问2详解】解：，且，，，，在中，由余弦定理有，即，即，，解得，所以，22.如图所示，四面体中，已知平面平面，，，，．（1）求证：．（2）若二面角为，求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，由勾股定理得逆定理证明出AC⊥BC，进而利用面面垂直得到线面垂直，线线垂直；（2）先利用题干中条件得到∠BCD即为二面角的平面角，