新设计数学人教A版必修三讲义2-2-1用样本的频率分布估计总体分布

2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体分布内容要求1.体会分布的意义和作用(重点).2.学会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据(重点).3.能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计(难点).知识点1频率分布直方图1.频率分布直方图的画法2.频率分布折线图与总体密度曲线(1)频率分布折线图.连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.(2)总体密度曲线.在样本频率分布直方图中，当样本容量逐渐增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)eq\f(极差,组距)＝组数()(2)一般样本容量越大，所分组数越多；样本容量越小，所分组数越小()(3)频率分布直方图的横轴表示样本数据，纵轴表示频率()(4)频率分布直方图中各个小长方形面积之和等于1()提示(1)×若eq\f(极差,组距)为整数，则eq\f(极差,组距)＝组数；若eq\f(极差,组距)不是整数，则eq\f(极差,组距)的整数部分＋1＝组数.(2)√当数据总数在50以内时，一般分为5～8组，当数据总数在50～100时，则分为8～12组较合适.(3)×纵轴表示eq\f(频率,组距)(4)√由于各小长方形的面积就是数据落在该组的频率，故各个小长方形面积之和等于1.()知识点2茎叶图1.茎叶图：将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶可以按从大到小(或从小到大)的顺序列出(也可以没有大小顺序).2.茎叶图的优点与不足(1)优点：一是原始数据信息在图中能够保留，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录、随时添加、方便记录与表示，(2)不足：当样数据较多时，茎叶图就显得不太方便.【预习评价】如图为某公司10个销售店某月售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为()A.0.2 B.0.4C.0.5 D.0.6解析由茎叶图可知，数据落在[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，故其频率为4÷10＝0.4.答案B题型一频率分布直方图及其绘制【例1】为了了解一大片经济林的生长情况，人们随机测量其中的100株树木的底部周长(单位：cm)，得到如下数据：991211101259711711311092102109104112105124871041041281091231111031059211410810410212912697100115111106117111891101218012012110410811812999909912112310799101116971021081011021081179911810611912311998121101113102103(1)列出频率分布表；(2)绘制频率分布直方图、频率分布折线图.解(1)从数据中可以看出，这组数据的最大值为135，最小值为80，故极差为55，可将其分为11组，组距为5.列频率分布表如下：分组频数频率[80,85)10.01[85,90)20.02[90,95)40.04[95,100)140.14[100,105)240.24[105,110)150.15[110,115)120.12[115,120)90.09[120,125)110.11[125,130)60.06[130,135]20.02合计1001.00(2)画频率分布直方图、频率分布折线图如图所示.规律方法绘制频率分布直方图的注意点(1)各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1；(2)频率分布直方图比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律；(3)在xOy坐标平面内画频率分布直方图时，x＝样本数据，y＝eq\f(频率,组距)，这样每一组的频率可以用该组的组距为底、eq\f(频率,组距)为高的小矩形的面积来表示.其中，矩形的高＝eq\f(频率,组距)＝eq\f(1,组距×样本容量)×频数；(4)同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的频率分布直方图的形状也会不同；(5)同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个容量为100的样本，所形成的样本频率分布直方图一般会与前一个样本频率分布直方图有所不同，但它们都可以近似地看做总体的分布.【训练1】从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组(单位：分)及各组的频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70),10；[70,80),15；[80,90)，12；[90,100)，8.(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例.解(1)频率分布表如下：成绩分组频数频率累积频率[40,50)20.040.04[50,60)30.060.1[60,70)100.20.3[70,80)150.30.6[80,90)120.240.84[90,100)80.161.00合计501.00(2)频率分布直方图如图所示.(3)成绩在[60,90)分的学生比例，即学生成绩在[60,90)分的频率0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%.所以估计成绩在[60,90)分的学生比例为74%.题型二茎叶图及其应用【例2】甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：甲组：76908486818786828583乙组：82848589798091897974用茎叶图表示两个小组的成绩，并判断哪个小组的成绩更整齐一些.解茎叶图如图所示.由茎叶图容易看出，甲组的成绩是对称的，叶的分布有eq\f(8,10)集中在茎8上，乙组的成绩也大致对称，叶的分布有eq\f(6,10)集中在茎8上，从叶在茎上的分布情况看，甲组的成绩更整齐一些.规律方法画茎叶图的关键绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如果数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数的，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶.【训练2】某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是()解析由分组组距为5，可知C，D错误；由茎叶图可知[0,5)内有1人，[5,10)内有1人，所以第一组，第二组频率应相同，频率分布直方图中矩形的高应相同，可排除B项，故选A.答案A【探究1】一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40,0.125，则n的值为________.解析由题意得eq\f(40,n)＝0.125，解得n＝320.答案320【探究2】在画频率分布直方图时，某组的频数为10，样本容量为50，总体容量为600，则该组小矩形的面积是______.解析该组小矩形的面积即是数据落在该组的频率：eq\f(10,50)＝eq\f(1,5).答案eq\f(1,5)【探究3】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.直方图中x的值为________.解析∵(0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012)×50＝1，∴x＝0.0044.答案0.0044【探究4】为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？解(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.因为第二小组的频率＝eq\f(第二小组的频数,样本容量)，所以样本容量＝eq\f(第二小组的频数,第二小组的频率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.规律方法解决与频率分布直方图有关问题的关系式由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：(1)eq\f(频率,组距)×组距＝频率.(2)eq\f(频数,样本容量)＝频率，此关系式的变形为样本容量×频率＝频数.【训练3】某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70km/h，否则视为违规扣分，某天有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图(如图所示)，则违规扣分的汽车大约为________辆.解析易求得70～80这组的频率为1－0.05－0.18－0.38－0.27＝0.12，则违规扣分的汽车大约为0.12×1000＝120(辆).答案120课堂达标1.下面的茎叶图表示的是某一城市的自动售货机的销售额情况(单位：元)，图中的数字7表示的意义是这台售货机的销售额为()A.7元 B.37元C.27元 D.2337元解析茎叶图上的茎表示的是十位上的数字，叶表示的是个位上的数字，图中的数字7在叶上，对应的十位数字是2，所以表示的意义是这台售货机的销售额为27元.答案C2.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为()A.0.35 B.0.45C.0.55 D.0.65解析由表得样本数据落在区间[10,40)的频率为eq\f(9,20)＝0.45.答案B3.200辆汽车经过某一雷达地区，时速的频率分布直方图如下图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为()A.65辆 B.76辆C.88辆 D.95辆解析由频率分布直方图可得数据落在(60,80)内的频率是(0.028＋0.010)×10＝0.38，故时速超过60km/h的汽车数量为200×0.38＝76辆.答案B4.七名同学测量身高(单位：cm)记录的平均身高为177cm，他们的身高茎叶图如图所示，其中有一位同学的身高记录的不清楚，其末位数记为x，则x等于()A.5 B.6C.7 D.8解析由题意可得eq\f(1,7)(170＋173＋170＋x＋178＋179＋180＋181)＝177.解得x＝8.答案D5.某赛季的比赛中，甲、乙两名运动员的得分情况如下：甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；乙运动员得分：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.试制作茎叶图来对比描述这些数据，解以十位数字为茎，个位数字为叶，制作茎叶图如下：课堂小结1.总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.2.总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图.基础过关1.如图所示的是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中数据可知，样本落在[15,20]内的频数为()A.20 B.30C.40 D.50解析样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.答案B2.下列关于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系的说法中，正确的是()A.频率分布折线图与总体密度曲线无关B.频率分布折线图就是总体密度曲线C.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线D.如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线解析选项正误理由A×当总体个数较多时，随着样本容量的增加，组数增加，组距减小，频率分布折线图趋向于总体密度曲线，所以两者有关B×只有当样本容量很大时，频率分布折线图趋向于总体密度曲线C×总体密度曲线是由频率分布折线图估计的，样本容量越大就越准确D√频率分布折线图在样本容量无限增大，分组的组距无限减小的情况下会无限接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就是总体密度曲线答案D3.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为()A.15 B.16C.17 D.19解析由题意得样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为30×0.8－4－5＝15.答案A4.某水果店一周内甲、乙两种水果每天销售情况的茎叶图如下(单位：千克)：甲、乙两种水果本周内每天销售的平均数分别是______(单位：千克).解析甲种水果本周内每天销售的平均数为eq\f(1,7)(42＋44＋45＋48＋57＋55＋66)＝51，乙种水果本周内每天销售的平均数为eq\f(1,7)(44＋47＋48＋51＋53＋54＋60)＝51.答案51,515.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.解析设第一组至第六组数据的频率分别为2x,3x,4x,6x,4x，x，则2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x＝1，解得x＝eq\f(1,20)，所以前三组数据的频率分别是eq\f(2,20)，eq\f(3,20)，eq\f(4,20)，故前三组数据的频数之和为eq\f(2n,20)＋eq\f(3n,20)＋eq\f(4n,20)＝27，解得n＝60.答案606.某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.解甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，但分数分布相对于乙来说，趋向于低分阶段.因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好.7.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].(1)求图中a的值；(2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(2)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×eq\f(1,2)＝20,30×eq\f(4,3)＝40,20×eq\f(5,4)＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.能力提升8.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A.588 B.480C.450 D.120解析∵少于60分的学生人数为600×(0.05＋0.15)＝120，∴不少于60分的学生人数为480.答案B9.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析由折线图，可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少.A错误.答案A10.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.解析底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.答案2411.在样本的频率分布直方图中，一共有m(m≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m－1个小矩形面积和的eq\f(1,4)，且样本容量为100，则第3组的频数是________.解析由s＝eq\f(1,4)(1－s)，解得s＝0.2，∴100×0.2＝20.答案2012.在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：分组频数频率[1.30,1.34)4[1.34,1.38)25[1.38,1.42)30[1.42,1.46)29[1.46,1.50)10[1.50,1.54]2合计100(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；(2)估计纤度落在[1.38,1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？解(1)频率分布表如下：分组频数频率[1.30,1.34)40.04[1.34,1.38)250.25[1.38,1.42)300.30[1