高三数列基础复习策略的实验研究

高三数列基础复习策略的实验研究

高三基础复习是历时最长，也是最为重要的高考复习阶段，探讨并构建基础复习的基本模式就显得十分必要.数列是高中数学的核心概念之一，作为衔接初等数学和高等数学的“一座桥梁”，数列问题是历年高考考查的热点.近年来，高考对其考查的要求有所降低.关于数列内容，高考数学全国卷一般考两道小题或一道大题，但是学生的得分情况不是十分理想.下面以数列的复习为例，结合具体复习实践过程，通过开展实验，就数列内容的高三基础复习的策略和相应的复习模式进行探索.一、实验的设计实验设计是教育实验能否达到实验目标的重要保证，是对实验过程每一环节进行整体安排，使实验具有科学性、周密性，是教育实验取得成功的先决条件[1].研究对象：研究采用整群抽样方法，以云南省大理第一中学2018届高三文科394班共42名学生为研究对象，全部编号参加.实验时间：两周.研究路线：在建构主义、元认知和掌握学习等理论的指导下，运用文献研究法和教育实验法，有目的、有计划地进行了两周的复习备考实践.其研究路线如图1所示.统计方法：对研究的测试结果利用SPSS（StatisticalProgramforSocialSciences）19.0统计软件（即社会科学统计程序）进行数据输入整理以及相应地分析处理.二、实验的实施按照所制订的研究路线，结合实际情况，研究者依次展开了下面的实验.（一）前期测试1.前期测试试卷的编制从近几年的高考数学全国卷文科试题的考查特点看，数列一直是高考考查的重点，而且都是以大题的形式出现.考虑到前测工作是在高三第一轮复习前开展，难度不宜太大.因此，命题者仍以大题形式，拟从五个方面进行设计，每个方面命制一道大题，每题20分，满分100分.具体测试题目如下：此题属于等差数列与等比数列的基本问题.主要考查两种数列的通项公式与前n项和公式的应用，突出基本量法和数列分组求和的方法.此题立足基础，引入新定义，属于创新型问题，主要考查基本量法和数列求和的方法.此题属于递推数列问题.第（Ⅰ）问考查等差数列的判定方法；第（Ⅱ）问与不等式结合，考查不等式恒成立问题.此题仍属于递推数列问题.第（Ⅰ）问需先判定数列是等差数列还是等比数列，然后再求通项公式；第（II）问与对数运算结合，考查运用裂项相消法求数列前n项的和.此题仍属于递推数列问题.第（Ⅰ）问利用数列前n项和的定义转化为等差数列的“知三求二”问题；第（Ⅱ）问与指数运算结合，考查运用错项相减法求数列前n项的和.以上五道试题都选自高考试题.围绕两种基本数列，重点考查判定等差数列、等比数列的方法，及求通项公式和数列求和的方法.同时五道试题与函数、指数、对数、不等式等有机结合，适当体现了创新性.2.前期测试结果与总体分析按每道题答题时间为10min安排，共利用50min进行了前期测试.测试结果统计如表1.从表1可以看出，学生对数列内容的掌握程度总体处于中等水平.第3题，学生对利用已知和的关系判定新数列是等差数列的方法不熟练，对数列背景下的不等式恒成立问题的解决方法没有掌握.第5题，学生对数列前n项和的概念理解不到位，同时未能准确使用错项相减法求数列的前n项和.此外，第1题和第2题的标准差较小，说明学生间关于该题的测试成绩的差异较小.第5题标准差较大，说明学生间关于该题的测试成绩的差异较大.通过相关性检验发现，五道题的成绩与测试总成绩都呈显著正相关.同时除了第1题与第4题呈显著正相关外，各题之间明显不相关.这进一步说明五道题各自代表数列的五类不同问题，共同对学生的数列学习情况产生直接影响；同时也反映了学生在数列与其他知识结合上仍存在一定的不足.（二）系统复习从前期测试的结果可以看出，学生对数列部分的掌握仍存在一些问题.为此，有必要对其进行系统复习，并在复习过程中对所存在的问题进行有针对性的突破.1.引导学生列出问题清单对前期测试结果的分析是对全班总体的评价.事实上，学生个体存在的问题是不同的，即个体对数列内容的掌握程度仍存在差异.为此，结合前期测试的结果，笔者要求学生列出个人的问题清单，清单仍以表格的形式体现.下页表2是学生甲列出的个人问题清单.复习时，教师可从总体上统一要求，但不同学生在具体复习时还应根据其存在的问题而有所侧重.这恰恰是当下复习最容易忽视的地方.2.带领学生逐点突破应当说这是整个复习过程中的核心环节.根据前期测试分析得出学生存在的问题，结合近几年高考试题的特点，笔者先就高考对数列的考查要求进行整体把握，然后将其分成以下四个部分：一是等差数列和等比数列的概念和性质；二是根据条件求通项公式；三是数列求和；四是数列与其他知识的融合与创新.不难看出，复习过程已经不是学习过程的简单重复.教师须结合教材带领学生进行逐点突破.下面以第一部分等差数列的概念和性质为例，谈谈笔者的具体做法.课题：等差数列的概念和性质.知识准备：三个性质：通过一题多解，突出等差数列问题的通性通法，拓宽学生的视野，使学生进一步学习多元解题策略，从而提升学生综合分析问题的能力.例题探源：上述例题源于人教A版《数学5》（必修）第44页例2“已知等差数列的前10项和是310，前20项和是1220.”由这些条件能确定这个等差数列的前n项和公式吗？此题有多种方法可以求解，但核心仍是基本量法，这其实就是高考考查的重点.下面可采用一题多变的方法进行多方面的拓展.变式1：等差数列的判定.变式2：化基本量求通项.变式3：化基本量为求两项和.A.12B.16C.20D.24变式4：渗透数学文化.（人教A版《数学5》（必修）第67页复习参考题A组1（4））《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的3份之和的是较小的2份之和.问最小1份为（）.变式5：化基本量为求数列的前n项和.（人教A版《数学5》（必修）第45页例4）已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值.以上复习过程充分利用教材和高考试题，通过一题多解和一题多变，不仅让学生能够充分掌握基本量法，而且还能实现灵活应用.3.指导学生进行科学训练学习数学训练必不可少，如何安排训练是很有讲究的.复习过程中笔者主要进行了以下三个方面的训练：一是结合前期测试进行逐点复习并及时开展有针对性的训练.二是将最近两年的高考题整合后进行课堂训练，让学生领悟高考的要求.三是在月考时让学生进行实战演练，并反馈复习中存在的不足.以上三个方面的训练统一进行，并及时指导学生，个别典型问题另让学生进行训练，力争达到理解、熟练的程度.4.带动学生进行知识和方法盘点在复习完本部分的所有内容后，笔者用一个课时引导学生就所复习的知识和方法进行全面盘点.一般的做法是教师利用思维导图进行引导，就基本知识和基本问题进行整理，图略.课后，要求学生结合复习材料将重点知识和典型例题进行逐一对照，查漏补缺，力求达到知识清楚和方法熟练.（三）后效测试后效测试是就前期测试中发现的问题，有针对性地进行统一策划，并系统完成复习后对这一部分内容的复习效果的检测.1.后效测试试卷的设计由于是对复习效果的检测，后效测试试卷一方面要尽可能的高覆盖，另一方面试题难度略高于前期测试试题.2.后效测试结果与总体分析测试时间仍为50分钟，每题20分，总分100分.测试结果统计如表3、表4.表3中的t表示所计算的T检验统计量的数值；Df表示自由度；Sig.（双尾T检验）表示统计量的P值.从表中可以看出，T检验的双侧显著性概率为0.000，远小于0.05，可以认为后效测试和前期测试成绩呈现显著性差异，后效测试成绩明显高于前期测试成绩.同时，离散程度和前期测试相比略有增大，这说明中等以上学生的成绩提高比较明显，但基础弱的学生的成绩提高幅度不大，影响了离散程度的变化.从表4中可以看出，相关系数为0.731，不线性相关的概率为0.000，远小于0.05，学生对前期测试试题的解答与对后效测试试题的解答呈明显偏强相关.这说明对数列的复习是有目的、有计划进行的，笔者正确把握了数列考查的方向和学生学习的实际情况.可见，通过一系列有针对性的复习，学生整体成绩提高幅度较大，达到了