第三章点、直线和平面的投影新

第三章点、直线和平面的投影3-1点的投影3-2直线的投影3-3平面的投影3-1点的投影3.1.1点的两面投影3.1.2点的三面投影3.1.3点的投影与坐标3.1.3特殊位置点的三面投影3.1.3两点的相对位置HVOXaAa

点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。点A的正面投影点A的水平投影3.1.1点的两面投影点的两个投影能唯一确定该点的空间位置HVOXa

aAaxXOa

aax1.点的V面投影与H面投影之间的连线a‘

a垂直于投影轴0X

；

2.点的一个投影到0X投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离，即a'ax=Aa，aax=Aa'。

HVXZYWOA

点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，H面向下旋转90，W面向右旋转90。aaaHa

aa

VWXOZYWYH3.1.2点在三投影面体系中的投影a

aa

XOZYWYH点的两个投影已能确定该点在空间的位置，故只要知道已知点的任意两个投影，就可以运动投影规律来求出点的第三个投影。三投影面体系中点的投影规律HVXZYWOayaxazxyzaaaa

aa

XOZYWYHaxayazay

点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即a'

a⊥0X；点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a'a'

'

⊥0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。长对正高平齐宽相等例1

已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。ZYHXYWOa

aaHVXZYWOayaxazxyzaaaHa

aa

VWXOZYWYHaxayazay3.1.3点的投影与坐标

若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。yAxAzA3.1.4特殊位置点的投影OXb

bc

cHVOXCcca

bBb

Aaa

a

投影面上的点：其一个投影与自身重合，另两个投影在相应的投影轴上；

投影轴上的点：其两个投影与自身重合，另一个投影在投影原点上；与原点重合的点：其三个投影与自身重合为一点。XOZYa

a

ab

b

bBAXZYWYHOaa

ab

bb

两点中x值大的点，在左；两点中y值大的点，在前;两点中z值大的点,在上。3.1.5两点的相对位置根据两个点的相对位置关系，可以根据两个点对于投影面的距离差，即坐标差来确定未知点。

例2已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

12106cd(c)dCDa(b)abABHV

若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。重影点：XYHZYWOc(d)ba(b)acda

b

c

d

判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。（重影点的可见判别规律为：上遮下，前遮后，左遮右。）3-2直线的投影3.2.1各种位置直线3.2.2一般位置直线的实长和倾角3.2.3直线上的点3.2.4两直线的相对位置

直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。abc(d)OXZY

直线的三面投影ABbbabaaZXabaOYYabb

空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。3.2.1各种位置直线1.一般位置直线

与三个投影面都倾斜的直线2.投影面平行线平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线

(1)

水平线

(2)

正平线

(3)

侧平线

3.投影面垂直线

垂直于某一投影面的直线

(1)

铅垂线

(2)

正垂线

(3)

侧垂线OXZY1.一般位置直线ABbbabaaZXabaOYHYWabb对于三个投影面都倾斜（既不平行也不垂直）的直线称为一般位置直线，简称一般线。直线对投影面的夹角称为直线的倾角。直线对H面、V面、W面的倾角分别用、

、标记。OXZYABbbabaaZXabaOYHYWabb一般位置直线投影特性：1、ab、

ab、ab均小于实长

2、ab、ab、ab均倾斜于投影轴

3、不反映

、

、

实角2.投影面平行线

水平线

—平行于水平投影面H的直线XZYOaababb

Xa

b

ab

OzYHYWbaAB投影特性：1.abOX;abOYW

2.ab=AB(实长一般用TL来表示）

3.ab与投影轴的夹角反映、

角的真实大小正平线—只平行于正面投影面V的直线XZYOXabab

baOZYHYWAB

投影特性：1、abOX;abOZ2、ab=AB3、反映、角的真实大小aababbXZYO侧平线—平行于侧面投影面W的直线XZOYHYWa

b

babaAB投影特性：1、abOZ;abOYH2、ab

=AB3、反映、角的真实大小aa

b

a

bb3.投影面垂直线OXZYZb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特性：1、ab

积聚成一点

2、abOX;ab

OY

3、ab=ab=AB铅垂线—

垂直于水平投影面H的直线ABb

a(b)a

ab正垂线—垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性：1、ab积聚成一点

2、ab

OX;ab

OZ

3、ab=ab=ABABzXab

baOYHYWabbababa侧垂线—垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性：1、ab

积聚成一点

2、

ab

OYH;ab

OZ

3、ab=ab=ABbaababZXabbaOYHYWab例3.如图所示，已知A点的两面投影，正平线AB=20,且α=300，作出直线AB的三面投影。αb’b’’a’’b|zA-zB

|ABABbbaaCXO|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|abXaabbO3.2.2一般位置直线的实长及倾角直角三角形法：用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。

直角三角形的四个要素：

实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。

例4已知线段的实长AB以及ab和a’，求它的正面投影a’b’。aXabAOBb0bb0bb0b’

b’

2）定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac

:cb

利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。3.2.3直线上的点ABbbaaXOccCc直线上的点具有两个特性：1）从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。bXaabcc

例5已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C的投影。O

例6已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHVO例7.已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。cLABzA-zBcabBCXa’b’ab3.2.4两直线的相对位置（1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。反之，若两直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。（2）平行两线段之比等于其投影之比。XbaadbbccABCDXbaabdcdc1.两直线平行OO2.两直线相交

两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交。bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkkOO3.交叉两直线

凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。XOBDACbbaaccdd211(2)21bXaabcddc11(2)2OdacboYWYHZXaacddcbb例8判断两直线的相对位置bbcddcXaa3(4)34121(2)例9判断两直线重影点的可见性O4.

两直线垂直两直线互相垂直包括：垂直相交和垂直交叉空间的投影以垂直相交的两直线为例：AHBCacbcXbacbaO直角投影定理（垂直投影定理）：定理二

两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。定理一空间互相垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有abacbbaaOfeefX例10过点A作EF线段的垂线AB的投影。例11求点E到水平线AB的距离。XOa’b’abe’ed’dyD-yE所求距离nmaaXmn例12补作三角形ABC的投影，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。bbcABab|yA-yB|bc=BCcO3.3平面的投影3.3.1平面的表示3.3.2各种位置平面3.3.3平面内的点和直线3.3.1平面的表示法一、用几何元素表示平面用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。二、平面的迹线表示法平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。1.几何元素表示法aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd用几何元素表示平面有五种形式：（1）不在一直线上的三个点；（2）一直线和直线外一点；（3）相交两直线；（4）平行两直线；（5）任意平面图形。2.迹线表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW3.3.2各种位置平面1.一般位置平面2.投影的垂直面(1)铅垂面(2)正垂面(3)侧垂面3.投影的平行面(1)水平面(2)正平面(3)侧平面1）一般位置平面abcbacababbaccbacCAB对于三个投影面都倾斜（既不平行又不垂直）的平面称为一般位置平面，简称一般面。平面对投影面的夹角称为平面的倾角。平面对H面、V面、W面的倾角分别用、

、标记。abcbacababbaccbacCAB一般位置平面投影特性

1.abc、abc

、abc均为ABC的类似形

2.不反映、、

的真实角度

铅垂面投影特性：1、

水平投影abc积聚为一条直线

2、正面投影

abc、

侧面投影abc为ABC的类似形

3、

abc与OX、OY的夹角反映、角的真实大小VWHPPHABCacbababbaccc2）投影面垂直面铅垂面迹线表示VWHPPHPHPVPW

正垂面投影特性：1、正面投影abc积聚为一条直线

2、水平投影abc、侧面投影abc是ABC的类似形

3、abc与OX、OZ的夹角反映α、角的真实大小VWHQQVαababbacccAcCabB正垂面的迹线表示VWHQQVαγQV侧垂面投影特性：1、侧面投影abc积聚为一条直线

2、水平投影abc、正面投影abc为

ABC的类似形

3、abc与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大小VWHSWSCabABcabbbaaαβccc侧垂面的迹线表示VWHSHSZXOYHSHYαβ水平面VWHCABabcbacabccabbbaacc投影特性：

1.abc、abc积聚为一直条线，具有积聚性

2.水平投影abc反映

ABC实形（一般用TS标记）。3）投影面平行面

正平面VWHcabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：

1.abc

、abc积聚为一条直线，具有积聚性

2.正平面投影abc反映

ABC实形

侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa投影特性：

1.abc

、abc积聚为一直条线，具有积聚性

2.侧平面投影abc

反映

ABC实形3.3.3平面内的点和直线（1）平面上的点

点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。（2）平面上的直线直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。

在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。1）点和直线在平面内的几何条件（1）

平面上取点ABCDEabcabcddee

取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线（2）

平面上取直线

取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。abcabcddeeABCEDFff例13已知ABC给定一平面，（1）判断点K是否属于该平面。（2）已知平面上一点E的正面投影e’，作出E的水平投影。kkabcabcddee11XO2）平面内的投影面平行线VHPPVPH（1）平面上投影面平行线—既在平面上又平行于投影面的直线。在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。水平线正平线例14abcbacmnnm已知

ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。例15已知点E

在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V面10，试求点E的投影。Xabcbacmnmn