电磁场镜像法

关于电磁场镜像法第1页，共48页，2023年，2月20日，星期五

根据前面的讨论知道：在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用Laplace'sequation求解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，用Poisson'sequation

求解场分布。如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何求解？这就是本节主要研究的：解决这类问题的一种特殊方法—称为镜象法。第2页，共48页，2023年，2月20日，星期五1、镜象法的基本问题

在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。

在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？光学成像理论给我们的启发：当我们把点电荷作为物，把导体或介质界面作为面镜，那么导体的感应电荷或介质的极化电荷就可作为我们所说的象，然后把物和象在场点处的贡献迭加起来，就是我们讨论的结果。第3页，共48页，2023年，2月20日，星期五2、镜象法的理论基础

镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的“象电荷”来代替真实的导体感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外的位置由Poisson'sequationorLaplace'sequation

和边界条件决定。这里要注意几点：

a)

唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的Poisson‘sequationorLaplace’sequation，即所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。第4页，共48页，2023年，2月20日，星期五

b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。

c)一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。

d)象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过在某些问题中，它们却恰好相等。

e)镜象法所适应的范围是：①所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替；②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。第5页，共48页，2023年，2月20日，星期五3、镜象法的具体应用

用镜象法解题大致可按以下步骤进行：a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；（坐标系选择仍然根据边界形状来定）b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；d)根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。镜像法往往比分离变量法简单，但它只能用于一些特殊的边界情况。第6页，共48页，2023年，2月20日，星期五点电荷与平面导体(a)Q(b)Q(c)Q点电荷与球形导体Qo(d)(e)oQ点电荷的镜像第7页，共48页，2023年，2月20日，星期五各种简单边界的组合作为边界(c)Q(a)Q(b)Q第8页，共48页，2023年，2月20日，星期五线电荷与平面导体(a)λ(b)λ(c)λ线电荷与圆柱形导体λo(a)(b)oλ线电荷的镜像第9页，共48页，2023年，2月20日，星期五导体上的感应电荷密度为：（1）镜像电荷与导体上的感应电荷不一定相等。（2）由镜像法求出电势分布以后，由上式可求感应平面与圆柱形边界的组合作为边界电荷(a)λ(b)λ(c)λ第10页，共48页，2023年，2月20日，星期五电偶极子的镜像(b)(a)p(c)pp(d)po(e)p(f)op注意：镜像电荷的位置由边界形状决定，与电量及界面性质无关。第11页，共48页，2023年，2月20日，星期五应用举例接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。解：根据唯一性定理左半空间右半空间，Q在（0，0，a）点，电势满足泊松方程。边界上设电量为，位置为（0，0，）

从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左与电荷Q对称的位置上放一个假想电荷Q’，然后把板抽去。这样，没有改变所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）QQ/zPrr′a第12页，共48页，2023年，2月20日，星期五由边界条件确定和、唯一解是

因为象电荷在左半空间，所以舍去正号解讨论：（a）导体面上感应电荷分布第13页，共48页，2023年，2月20日，星期五（b）电荷Q产生的电场的电力线全部终止在导体面上它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空间完全相同。

（c）

与位置对于导体板镜象对称，故这种方法称为镜象法（又称电象法）（d）导体对电荷Q的作用力相当两点电荷间的作用力第14页，共48页，2023年，2月20日，星期五导体板上部空间的电场可以看作原电荷与镜象电荷共同激发的电场。场点P的电势导体板上的感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q’代替。可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是一种求解泊松方程的简洁方法。第15页，共48页，2023年，2月20日，星期五镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。例2设电容率分别为ε1和ε2的两种均匀介质，以无限大平面为界。在介质1中有一点电荷Q，求空间电势分布。解：先考虑介质1

中的电势，设想将下半空间换成与上半空间一样，并在z=-a处有Q的像电荷Q’来代替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。则在Z>0的区域，空间一点的电势为Q介质1介质2a-aQ’zx(1)第16页，共48页，2023年，2月20日，星期五再考虑介质ε2中的电势φ2，这时我们不能用上面的像电荷Q'来计算ε2区域内的电势。这是因为，按照电像法，像电荷必须在所考虑的区域之外。所以，我们现在把在ε2区域外的电荷Q及其引起的极化电荷合起来，用ε2区域外的一个像电荷Q''来统一考虑。设z>0上半空间的介质ε1全部换为介质ε2

，并在z=b处有一电荷Q''，则z<0下半空间里任一点的电势为(2)第17页，共48页，2023年，2月20日，星期五下面由边界条件定Q’,Q”和b，边界条件为：(3)(4)(5)(6)即将(1)(2)两式带入(3)并取x=y=0,可得到将(1)(2)两式带入(4)并取x=y=0,可得到(7)第18页，共48页，2023年，2月20日，星期五将(1)(2)两式带入(5)，消去分子中的x后，再取x=y=0,(8)由以上三式解得a=b所以第19页，共48页，2023年，2月20日，星期五交界面上极化电荷面密度Q所受的库仑力等于它的像电荷Q’对它的作用力，即第20页，共48页，2023年，2月20日，星期五解：（1）分析：因导体球接地故球的电势为零。根据镜象法原则假想电荷应在球内。因空间只有两个点电荷，场应具有轴对称，故假想电荷应在线上，即极轴上。3.真空中有一半径R0的接地导体球，距球心a>R0

处有一点电荷Q，求空间各点电势。球坐标系PROZθQQ/r′r第21页，共48页，2023年，2月20日，星期五（2）由边界条件确定和设

PR0OZ因任意的解得①

②第22页，共48页，2023年，2月20日，星期五①

，Q发出的电力线一部分会聚到导体球面上，剩余传到无穷远。（3）讨论：第23页，共48页，2023年，2月20日，星期五②球面感应电荷分布导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷移到地中去了。第24页，共48页，2023年，2月20日，星期五总感应电荷为即感应电荷的大小等于象电荷Q'的大小。也可以这样证明：根据Gauss定理，对球作Gauss面，即aQRoQ感bQ'第25页，共48页，2023年，2月20日，星期五式中的是象电荷Q'和真实电荷Q共同产生的，即故Q感=Q'即感应电荷的电量Q感等于象电荷的电量Q'。第26页，共48页，2023年，2月20日，星期五根据上述例子，作如下几点讨论：

a)导体球既不接地又不带电这种情况与本例的差别仅在于边界条件，这里导体球不带电，即要求满足电中性条件显然，例3的解不满足电中性的条件，如果在球内再添置一个象电荷

，则满足电中性条第27页，共48页，2023年，2月20日，星期五件，为了不破坏导体是等位体的条件，由对称性知道，Q"必须放在球心处，于是再由第28页，共48页，2023年，2月20日，星期五得到

b)导体球不带电其电势为U0

这种情况与例3的差别仍然在边界条件，这里U0

是已知常数，导体球的电势为U0，相当于在球心处放置了电量为的点电荷，显然，其解为第29页，共48页，2023年，2月20日，星期五由得到c)若点电荷Q在导体球壳内距球心a处这时与例3的情况相比，仅是源电荷的位置由球第30页，共48页，2023年，2月20日，星期五外搬进到球内。此时，接地球壳外无场强，场的区域在球内。故可根据光路可逆性原理来解释：球内的电势等于源电荷Q和球面上的感应电荷（球壳内表面）—象电荷Q'（在球外处）产生的电势：这里要注意：象电荷的电量Q‘大于源电荷的电量Q，球壳内的电势与导体球壳是否接地、是否带电无关。

第31页，共48页，2023年，2月20日，星期五d)若导体球带电q但不接地这种情况的物理模型为：则球心有电荷（q-Q')，则P点的电势为RobQ'aQxrr'Pq-Q'第32页，共48页，2023年，2月20日，星期五由得到第33页，共48页，2023年，2月20日，星期五顺便计算导体对点电荷Q的作用力：此时，源电荷Q所受到的作用力来自球面上的电荷，即从而得到第34页，共48页，2023年，2月20日，星期五当a>>R0

，，即近似为两点电荷作用，作用力为排斥力；当Q靠近球面时，，此时不论q与Q是否同号，作用力永远为引力，这可由在Q附近的感应电荷与其反号来解释。就是Q与Q'及位于球心处的等效电荷q+Q''的作用力之和。第35页，共48页，2023年，2月20日，星期五4.均匀场中的导体球所产生的电势由于静电屏蔽，场区域只能在球外。Solution:

本题的物理图象是在原有的均匀电场中放置一中性导体球。此时导体球上的感应电荷也要在空间激发场，故使原来的场空间电场发生了变化，如图所示。由此可见，球外空间任一点的场将是一个均匀场和一个球体感应电荷等效的偶极子的场的迭加。R0------++++++第36页，共48页，2023年，2月20日，星期五

第一步：用两个点电荷±Q激发一均匀场点电荷±Q放在对称轴z=±a处，a很大，Q也很大，在坐标原点附近的区域内。

第二步：将一中性导体球放在均匀场中+Q-Qzaao第37页，共48页，2023年，2月20日，星期五这样一来，±Q相当于两个场源电荷，球面上将出现感应电荷，由象电荷来代替它，即

此时+Q在球面上感应的电量为，-Q在球面上感应电量为，这仍然保持导体球为电中性（不管导体球接地与否）。根据唯一性定理，导体球外的

+Q-QzaaR0bbo第38页，共48页，2023年，2月20日，星期五电势就是这四个点电荷分别在某点产生的电势的迭加，即因为a>>R，

则选略去和第39页，共48页，2023年，2月20日，星期五即又因为

皆为小量，应用展开式第40页，共48页，2023年，2月20日，星期五则有第41页，共48页，2023年，2月20日，星期五

第一项恰好等于原均匀场以o点为参考点电势。第二项恰好等于位于o点的电偶极矩为的电偶极子的电势。原点附近像电荷代替感应电荷所产生的电偶极矩第42页，共48页，2023年，2月20日，星期五5.半径为R0,电容率为ε的介质球置于均匀外电场E0中，求电势分布。解：设均匀电场E0方向为Z轴正方向，则E0可看成是由Z轴上两个等量异号电荷激发，一是位于z=-∞处的正电荷Q，一是位于z=+∞处的负电荷-Q。这一对正负电荷的镜像电荷正好组成一个电偶极子位于坐标原点，所以，求球外空间的电势φ1时，可用原点处的电偶极子p代替极化电荷的作用。(1)第43页，共48页，2023年，2月20日，星期五求球