线性代数二次型及其标准形

关于线性代数二次型及其标准形第1页，共56页，2023年，2月20日，星期五

1.二次型的定义定义含有个变量的二次齐次函数称为二次型.(二次齐次多项式)当系数为复数时，称为复二次型；当系数为实数时，称为实二次型.第2页，共56页，2023年，2月20日，星期五3.二次型的矩阵表示式令，则于是第3页，共56页，2023年，2月20日，星期五第4页，共56页，2023年，2月20日，星期五记第5页，共56页，2023年，2月20日，星期五

其中为对称阵：.——二次型的矩阵表示式说明对称阵与二次型一一对应；若，二次型的矩阵满足：⑴的对角元是的系数；⑵的元是系数的一半.则对称阵称为

二次型的矩阵；二次型称为对称阵的二次型；3.二次型的矩阵表示式第6页，共56页，2023年，2月20日，星期五例如：二次型的矩阵为于是第7页，共56页，2023年，2月20日，星期五二、二次型的标准形二次型研究的主要问题是：寻找可逆变换，使

这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形(法式).特别地，如果标准形中的系数只在三个数中取值，那么这个标准形称为二次型的规范形.标准形的矩阵是对角阵.第8页，共56页，2023年，2月20日，星期五三、化二次型为标准型1.经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：因为有所以与的关系为：第9页，共56页，2023年，2月20日，星期五2.矩阵的合同关系定义

设和是阶矩阵，若有可逆矩阵，使则称矩阵与合同.说明合同关系是一个等价关系.设与合同，若是对称阵，则也对称阵.对称阵一定合同相似于一个对角阵.若与合同，则.经可逆变换后，二次型的矩阵由变为与合同的矩阵,且二次型的秩不变.第10页，共56页，2023年，2月20日，星期五把二次型化成标准形相当于把对称阵用合同变换化成对角阵(称为把对称阵合同对角化)，3.化二次型为标准形对二次型作可逆变换，相当于对对称阵作合同变换；即寻找可逆阵,使.定理8任给二次型,总其中是的矩阵的特征值.即任何二次型都可用正交变换化为标准形.（主轴定理，P262Th6.1）存在正交变换，使化为标准形第11页，共56页，2023年，2月20日，星期五推论任给二次型，总有可逆变换，使为规范形.即任何二次型都可用可逆变换化为规范形.

第12页，共56页，2023年，2月20日，星期五证设有二次型由定理8知，存在正交变换，使设二次型的秩为，则特征值中恰有个不为0，不妨设不等于0，于是，令其中则可逆，且变换把化为第13页，共56页，2023年，2月20日，星期五记，则可逆变换能把化为规范形第14页，共56页，2023年，2月20日，星期五推论任给二次型，总有可逆变换，使为规范形.即任何二次型都可用可逆变换化为标准形.

4.用正交变换化二次型为标准形的步骤：⑴写出二次型的矩阵；⑵求出的特征值；⑶求出的两两正交的单位特征向量；⑷用表示在中⑶求得的特征向量构成的矩阵，写出所求的正交变换和二次型的标准型.第15页，共56页，2023年，2月20日，星期五4.用正交变换化二次型为标准形的步骤：⑴写出二次型的矩阵；⑵求出的特征值；⑶求出的两两正交的单位特征向量；⑷用表示在中⑶求得的特征向量构成的矩阵，写出所求的正交变换和二次型的标准型.将对称阵正交相似对角化的步骤：(1)求特征值；(2)求两两正交的单位特征向量；(3)写出正交矩阵和对角阵.第16页，共56页，2023年，2月20日，星期五例1

已知二次型用正交变换把二次型化为标准形，并写出相应的正交矩阵.解

析：此题是一道典型例题.目的是熟悉用正交变换化二次型为标准形的“标准程序”.⑴

写出二次型对应的矩阵二次型对应的矩阵为第17页，共56页，2023年，2月20日，星期五⑵求的特征值由，求得的特征值为第18页，共56页，2023年，2月20日，星期五⑶求的两两正交的单位特征向量对应，解方程，由得基础解系为将其单位化，得第19页，共56页，2023年，2月20日，星期五对应，解方程，由得基础解系为将其单位化，得第20页，共56页，2023年，2月20日，星期五对应，解方程，由得基础解系为将其单位化，得第21页，共56页，2023年，2月20日，星期五⑷写出正交矩阵和二次型的标准形令矩阵则为正交阵，于是，经正交变换原二次型化为标准形第22页，共56页，2023年，2月20日，星期五例1+：求一个正交变换x=Py，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形（规范形）．第23页，共56页，2023年，2月20日，星期五例1+：求一个正交变换x=Py，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形．解：二次型的矩阵有正交阵使得于是正交变换x=Py把二次型化为标准形f=－2y12+y22+y32第24页，共56页，2023年，2月20日，星期五如果要把f

化为规范形，令，即可得f

的规范形：f=－z12+z22+z32第25页，共56页，2023年，2月20日，星期五例2

已知二次型的秩为2.⑴求参数以及此二次型对应矩阵的特征值；⑵指出表示何种曲面.解

⑴二次型的矩阵因为的秩为2，所以的秩也为2，因而第26页，共56页，2023年，2月20日，星期五当时，的特征多项式为第27页，共56页，2023年，2月20日，星期五于是，的特征值为⑵由定理8知，必存在正交变换其中为正交矩阵(不必具体求出)，使二次型于是，曲面这表示准线是平面上椭圆、母线平行于轴的椭圆柱面.在新变量下称为标准形第28页，共56页，2023年，2月20日，星期五第29页，共56页，2023年，2月20日，星期五一、情形1配方法的系数例3用拉格朗日配方法化二次型成标准形，并求所用的变换矩阵.

解第30页，共56页，2023年，2月20日，星期五用到的线性变换为即用到的线性变换为即配方法第31页，共56页，2023年，2月20日，星期五配方法第32页，共56页，2023年，2月20日，星期五33所用的变换矩阵为于是，的标准形为配方法第33页，共56页，2023年，2月20日，星期五二、情形2的系数例4用拉格朗日配方法化二次型成规范形，并求所用的变换矩阵.解先用下面可逆变换，使二次型中即配方法第34页，共56页，2023年，2月20日，星期五用到的线性变换为即配方法第35页，共56页，2023年，2月20日，星期五用到的线性变换为即配方法第36页，共56页，2023年，2月20日，星期五配方法第37页，共56页，2023年，2月20日，星期五配方法第38页，共56页，2023年，2月20日，星期五于是，配方法第39页，共56页，2023年，2月20日，星期五于是，所用的变换矩阵为因此，的规范形为配方法第40页，共56页，2023年，2月20日，星期五三、惯性定理定理9

(惯性定理)设有二次型，它的秩为，有两个可逆变换及使及则正数的个数相等.（证明：P275Th6.3）中正数的个数与中第41页，共56页，2023年，2月20日，星期五说明二次型的标准形正系数的个数称为二次型的负系数的个数称为负惯性指数.

正惯性指数；若二次型的正惯性指数为，秩为，则的规范形变可确定为只有用正交变换把二次型化为标准形，标准形的系数才是二次型矩阵的特征值.第42页，共56页，2023年，2月20日，星期五例5下列矩阵中，与矩阵合同的矩阵是哪一个？为什么？第43页，共56页，2023年，2月20日，星期五解析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性定理解题.容易求得的特征值，于是可知，所对应的二次型的正惯性指数为；负惯性指数为.合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，故选(B).应选(B)，理由是:第44页，共56页，2023年，2月20日，星期五例5下列矩阵中，与矩阵合同的矩阵是哪一个？为什么？第45页，共56页，2023年，2月20日，星期五一、正定二次型的概念定义设有二次型，⑴如果对任何，都有⑵如果对任何，都有，则称为负定二次型，并称对称阵是负定的；阵是正定的；(显然0)，则称为正定二次型，并称对称第46页，共56页，2023年，2月20日，星期五说明按定义，当变量取不全为零的值时，二次型若是正定()二次型，则它的对应值总是正数().负定负数若是正定二次型，则就是负定二次型.第47页，共56页，2023年，2月20日，星期五二、正定二次型的性质与判别法定理10二次型为正定的充要条件是：它的标准形的个系数全为正数，即它的正惯性指数等于.推论1正定二次型(正定矩阵)的秩为.推论2对称阵为正定矩阵的充要条件是：的特征值全为正.证明第48页，共56页，2023年，2月20日，星期五定理10的证明证已知，有可逆变换，使先证充分性：设，任给，则，故再证必要性:

用反证法.

假设有，取(单位坐标向量)，这与为正定相矛盾.这就证明了.则有，且第49页，共56页，2023年，2月20日，星期五定理11

(霍尔维茨定理)⑴对称阵为正定的充要条件是：的各阶主子式都为正.即⑵对称阵为负定的充要条件是：的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正.即第50页，共56页，2023年，2月20日，星期五正定二次型的判定：正定的正惯性指数的个特征值全为正的规范形为合同于单位阵的各