新教材高中数学第六章平面向量及其应用1平面向量的概念学案新人教A版必修第二册

/10/10/平面向量的概念在一次军事演习中，某导弹部队接到射击某目标的命令．【问题1】如果只知道目标距离导弹发射地点的距离，导弹能击中目标吗？【问题2】要使导弹击中目标，还需要知道什么条件？1．向量与数量(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．向量与数量的区别(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使|a|>|b|，也不能说a>b.2．有向线段(1)定义：具有方向的线段叫做有向线段．(2)表示方法：以A为起点、B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→)).(3)长度：线段AB的长度也叫做有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|．(4)三个要素：起点、方向、长度．3．向量的表示方法(1)用有向线段表示：用有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))表示的向量记作eq\o(AB,\s\up6(→))．有向线段的长度|eq\o(AB,\s\up6(→))|表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．(2)字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字母eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))_，eq\o(c,\s\up6(→))….4．向量的模及两个特殊向量(1)向量的模：向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|．(2)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．0与0相同吗？0是不是没有方向？提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.0有方向，其方向是任意的．5．相等向量(1)定义：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(2)表示方法：向量a与b相等，记作a＝b．6．平行向量(或共线向量)定义方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．规定：零向量与任意向量平行．任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．表示方法向量a与b平行，记作a∥b，对于任意向量a，都有0∥a.剖析共线向量与相等向量(1)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同；(2)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，则从直线AB与直线CD的关系和eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的方向关系两个方面考虑有哪些情况？提示：分四种情况，(1)直线AB和直线CD重合，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))同向；(2)直线AB和直线CD重合，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))反向；(3)直线AB∥直线CD，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))同向；(4)直线AB∥直线CD，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))反向．1.向量的模是一个正实数吗？2．任意两个单位向量都相等吗？3．向量eq\o(BC,\s\up6(→))与向量eq\o(CB,\s\up6(→))是相等向量吗？提示：1.不一定；2.不一定；3.不是．1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度．其中不是向量的有()A.1个B．2个C．3个D．4个【解析】选C.②③④⑤既有大小，又有方向，是向量；①⑥⑦只有大小，没有方向，不是向量．2．(教材例题改编)如图所示，四边形ABCD和BCEF都是平行四边形．(1)写出与eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量：________；(2)写出与eq\o(BC,\s\up6(→))共线的向量：________．答案：(1)eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))(2)eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))基础类型一向量、零向量与单位向量的概念(数学抽象)1．下列说法中正确的个数是()①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的摩擦力、重力都是向量．A．0B．1C．2D．3【解析】选B.只有④物理学中的摩擦力、重力既有大小又有方向，是向量，①②③错误．④正确．2．判断下列说法是否正确．(1)有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))表示同一向量；(2)若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；(3)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))是单位向量，则eq\o(BA,\s\up6(→))也是单位向量；(4)以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．【解析】(1)错误．有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的方向相反，不表示同一向量，因此说法(1)错误；(2)错误．由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，但是对方向没有任何要求，因此说法(2)错误；(3)正确．因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|，所以当eq\o(AB,\s\up6(→))是单位向量时，eq\o(BA,\s\up6(→))也是单位向量．因此说法(3)正确．(4)正确．由于向量|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝1，所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点．1．判断一个量是否为向量的两个关键条件(1)有大小．(2)有方向．两个条件缺一不可．2．理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．微提醒：两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等．基础类型二向量的表示(直观想象)【典例】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000eq\r(2)(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))；(2)问：D地在A地的什么方向？D地距A地多远？【解析】(1)由题意，作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，如图所示．(2)依题意知，△ABC为正三角形，所以AC＝2000km.又因为∠ACD＝45°，CD＝1000eq\r(2)km，所以△ACD为等腰直角三角形，所以AD＝1000eq\r(2)km，∠CAD＝45°，所以D地在A地的东南方向，距A地1000eq\r(2)km.准确画出向量的方法和注意事项(1)方法①确定向量的起点．②根据运动方向确定向量的方向，并根据向量的大小确定向量的终点．(2)注意事项用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10eq\r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求eq\o(AD,\s\up6(→))的模．【解析】(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，如图所示：(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq\r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq\r(52＋102)＝5eq\r(5)(米)，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝5eq\r(5)米．【加固训练】一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后改变方向向北偏西40°行驶了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|.【解析】(1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))如图所示：(2)由题意，易知eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，所以在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.所以四边形ABCD为平行四边形．所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝200km.综合类型相等向量与平行向量(数学抽象)概念辨析【典例】有下列说法：①若a≠b，则a一定不与b共线；②在?ABCD中，一定有eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④共线向量是在一条直线上的向量．其中，正确的说法是________．(填序号)【解析】对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；对于②，在?ABCD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))平行且方向相同，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，故②正确；对于③，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故③正确；对于④，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故④不正确．答案：②③1．本例②改为若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，则四边形ABCD一定是平行四边形吗？【解析】若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共线或AD∥BC，故此说法不正确．2．将本例③改为若a∥b，b∥c，则a∥c.判断此说法是否正确．【解析】因为当b＝0时，a，c可以是任意向量，故a，c不一定平行；只有当b≠0时，才有a∥b，b∥c，则a∥c，故此说法不正确．1．相等向量的判断方法先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向的．2．共线向量的判断方法先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找出同向或反向的向量．3．共线向量与相等向量的关系相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若两向量共线，则两向量方向相同或相反．微提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．【加固训练】下列说法中，正确的序号是________．①零向量都相等；②任一向量与它的平行向量不相等；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．【解析】因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以①正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，所以②错误；由eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))方向相同，模相等，可推出eq\o(BA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))方向相同，模相等，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以③正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以④不正确．答案：①③根据图形写出相等向量或共线向量【典例】如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的eq\f(1,3)处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中画出了长度均为eq\f(a,3)的若干个向量．(1)写出图中与向量eq\o(GH,\s\up6(→))相等的向量；(2)写出图中与向量eq\o(GH,\s\up6(→))平行，且模相等的向量；(3)写出图中与向量eq\o(EA,\s\up6(→))平行，且模相等的向量．【解析】(1)与向量eq\o(GH,\s\up6(→))相等的向量是eq\o(LB′,\s\up6(→))，eq\o(HC,\s\up6(→))；(2)与向量eq\o(GH,\s\up6(→))平行，且模相等的向量是eq\o(EC′,\s\up6(→))，eq\o(LE,\s\up6(→))，eq\o(LB′,\s\up6(→))，eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(HC,\s\up6(→))；(3)与向量eq\o(EA,\s\up6(→))平行，且模相等的向量是eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(HA′,\s\up6(→))，eq\o(HK,\s\up6(→))，eq\o(KB′,\s\up6(→)).相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找出同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．微提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．【加固训练】如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中：(1)写出与eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))相等的向量；(2)写出与eq\o(AD,\s\up6(→))模相等的向量．【解析】(1)与eq\o(AF,\s\up6(→))相等的向量为eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，与eq\o(AE,\s\up6(→))相等的向量为eq\o(BD,\s\up6(→)).(2)与eq\o(AD,\s\up6(→))模相等的向量为eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→)).创新题型向量的实际应用(数学建模)【典例】某人在天安门广场的正中向北前进100米，再左转90°后前进100米，再左转90°后前进100米，再左转90°后前进100米，请用向量画出它从出发点到达终点的示意图．如果他每次不是左转90°，而是每次左转60°后前进100米，他能回到出发点吗？如果能，则要经过多少次才能回到出发点？每次左转45°后前进100米呢？【解析】用长度为1cm的向量表示该人前进100米，他四次左转90°后前进100米的示意图如图1.他每次左转60°后前进100米，能回到出发点，需经过六次才能回到出发点．如图2.他每次左转45°后前进100米，也能回到出发点，需经过八次才能回到出发点，如图3.揭秘向量的实际应用向量是为了表示、刻画既有大小，又有方向的量而产生的，物理中有许多相关背景材料，数学中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理论和方法，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的实际应用．【加固训练】如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法．此图中，马可以从A处跳到A1处，用向量表示马走了“一步”，也可以跳到A2处，用向量表示．请在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况．【解析】如图，马在B处只有3步可走，马在C处有8步可走，人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大．1．下列说法中正确的是()A．若a≠b，则|a|≠|b|B．模为0的向量的方向是不确定的C．向量就是有向线段D．任意两个单位向量的方向相同B.a】选B.a与b方向不同但模相等时，a≠b，故A错误；模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，故B正确；有向线段是向量的几何表示，是个图形，而向量是带方向的量，不是有向线段，故C错误；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故D错误．2．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量()A．都相等 B．都共线C．都不共线 D．模都相