经典求极限方法

x1xx1x1xx11mm求极限的用方法典型题1约零子极例1：求极限

4【说明】

表明无限接近，，所以这一零子可以约去。(xxxlim(xx26【解】=42分分同求限例2：求极限

323x【说明】型分子分母以多项式出的极限,可通过分分母同除来。【解】

lim

x1lim33

3

13【】(1)一般子母除的高方(2)

lim

axxbxm0

0b

mmm3分)有化极限lim(

x

例3：求极限x【明分或母理求极，通有化去理式【解】

x

x2

limx

(

xxxxx2

例4：求极限

x0

1tanx【解】

limx0

x3

limx0

tanxx1【注】本题了使用分有理化方外，及时分离极限式中的非零因子解题的关4．应用两个重极限求极

1xxnx0x02111xxnx0x0211xxax两个重要极是

sin11lim(1)lim(1)nlim(1)和，一个重要极限过于简单可通过等价无穷小实现。主考第二个要极限。lim例5：求极限【说明】第个重要极主要搞清凑的步骤：先凑出１，再凑

1

，最后凑指部分。【解】

limx

1

2

lim

12

2

21limlim例6：(1)；(2)已知，求。5．用等价无穷量代换求限(1)常等价无小有：当

时,

xxtanx~arcsinx~arctanln(1)~e

x

,11cos~x2

2,

；(2)等无穷小代换,只能代换极式中的因；(3)此法在各求极限的方法中应作为选。例7：求极限

x

x1

【解】

limx

xln(1)xlimx12

.例8：求极限

x

sintanx【解】

x

sintanx

limx

xlim03x2

limx0

x23x

2

166．用罗必塔法求极限例9：求极限

00

2xx)【说明】或型的限,可通过罗塔法则来求。

xx0xx20精心整理xx0xx20【解】

0

2sin

2

)

limx

2sin22xcossin2x【注】许多动上显的分表示的限，常用罗必塔法则求解例10：设函数f(x)连续且

f(0)

，求极限

lim0

(xf(t)()dt

【解】由于

0

(x)dt

x

(u)()(u)du0

,于是lim

(x)f()dt

lim0

f()dtt)dt()

=

lim0

f()xfx)(x)()xfx)

=

lim0

()f(u)xfx)

x

f(t)=

limx0

0

0f()

x

xf(x)

=

f(0)f(0)f2

limfx

()7．用对数恒等求

极限lim[1)]例11：极限x0

2x【解】

lim[1ln(1)]x0

2x

=

limex0

2x

ln[1)]

=

e

2ln[1)]

2ln(1)

2

【注】对于型未式

limfx)

()

的极限，也用公式limf(x)

()

(1

)

=

e

f()g()例12：求极限

limx

1x

23

x

.【解1】原式

limx

xln

233

limx0

ln

x【解2】原式

limx

xln

233

limx0

ln

x8．利用Taylor公式极限ax()例13求极限.

1616【解】

a

lna

1

lna

22

ln

(x)

,a

1

lna

2

a

(x

2

)

;

a

xlnaxx2

(x

2

)

a

.例14求极限

1lim(cotxx

.【解】

1sinlim(xxx0sinlim0

(

11)x3)2!3!x

.9．数列极限转成函数极求解例15：极限

lim

n

1n

【说明】这形的的数列限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直求有一定度，若转成函数极限，可通过7提的方法合罗必塔法求解。【解】考虑助极限

1sinxx

x

limex

x

xsinx

limy

yy所以，

lim

nsin

1n

610．和数列限问题n项和数列限问题极问题有两处理方法(1)用积分的义把极限转化为定积分计算;(2)利两边夹则求极限.例16：极限

lim

n

112n

1

【说】用定积分的定义把极转化为定积计算,是把

f(x

看成0,1］积分。lim

()

1n22221n2222xnnlsinll【解】原式

11lim1

例17：极限

lim

1nnn

【说明】(1)该题遇一题类似，但是不能凑

lim

n

f

的形式，因用两边夹则求解；(2)两夹法则要放大不等式，常用的法是都换最大的或小的。【解】

lim

nnn

因为

2

2

2

2

2

又

n

2

n

2

所以

lim

n

1112

＝１12．单有界数列极限问题例18：设数列

满足

0x1n

(1,2,n

limx（Ⅰ）证明

存在，并求极限；lim（Ⅱ）计算.【分析】一利用单调加有上界单调减少有下界数列必有极限的准来证明数极限的存.【详解】（）因为

0x1

，则

0xx2

.可推得

0xn

n

,n1,2,

，则数列

有界.nn于是n，因当

x时x

x），则有n

，可见数列

单调减，故由单减少有limx下界数列必极限知极n

存在limx设

，在

x

n

sin

n

limx两边令，得，得，即.

xx1xx精心xx1xx（Ⅱ）

因

lim

lim

，由（Ⅰ）该极限为型，limxlimex0x

1x

sin

sinlimxx0

1

(使用了罗必塔则)故

limn

.第二部分掌握求简单限的常用法。求极的常用方法有(1)利极限的则运算法则；(2)利两个重极限；(3)利无穷小的性质（无穷小量乘以界变量还无穷小量；(4)利连续函的定义。例求下列极：（1）

x

9

（2）

x

sin(xx2（3）

lim(1)0

1

（4）

limx

x

x(x)（5）

lim(exx

1x

)解（1）对分进行有理，然后消零因子，再利用四则运算法则和第重要极限算，即==

lim

(93x3)(sin3)93)303=

11362（2）利用第一要极限和数的连续计算，即（3）利用第二要极限计，即x)x

1x

lim[(1＝0

1

]

。（4）利用无穷量的性质无穷小量以有界变量还是无穷小量）计算，

x＝，精心整理x＝，limx

2x(xsin)2

x

221]xsinxx)lim(1)2x

=1注：其中当时，

sinsinxx

，

2(cosxx2

都是无穷小乘以有界量，即它还是无穷小量。（5）利用函数连续性计，即lim(xx

1x

1)00第三部分1．义：说明：（1一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定lim(3义证明，例如：；（2）在后面求极限时1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导的定义求极这种方法要求熟练的掌握导数的定义。2．限运算则定理已知

limf()limg()

都存在极限值分别，，则面极限存在，且有）lim[f(x)(x)]A（2）

limf(x))（3）

f(x),(此时需立)(x)B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。.?利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

13xx精心整理13xx8.初等方法变后，再用极限运算则求极例1

x1

x解：原式=

limx

(32(x32)

limx1

3x3(x32)

。注：本题也可以用洛比达法则。limnn例2解：原式=

limn

n[(n2)1)]n

分子分母同除以

n

limn

3211nn

32

。例3

limn

(nn

n解：原式

上下同除3

limn

()n()n

。3．个重要限sinlimx（1）1x)（2）x

；

lim(1)

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，sinlimlim(1)例如：x0，x

1

lim(1)3x，；等等。利用两个重要极限求极限

x0～～～～时（，f(x0～～～～时（，f()xxg()2例5

limx

1x3解：原式=

limx

2sin

22

x

limx

x2sin2x)

。注：本题也可以用洛比达法则。x)例6x0

lim(1x)解：原式=

3sin

x)

x

]

。例7

lim(n

nn

)

n解：原式=

lim(1

)

nn

)]

。4．价无穷定理2无小与有界函的乘积然是穷小（极限是）。定理3当时，下列函数都是无穷小（即极限是），且相互等价，即有：

～

xarcsinxarctan)

～

。说明：当上面每个函数中的自变量x换成

x)()

），仍有上面的等价关系成立，例如：当0exln(12)～。定理4如果函数

f),g(f(()11

都是

0时的无穷小

f(x

～

f(x)

g)

～

g()

，则当

f(x)xx()

存在时，

lim

f)(x

f(x)1也存在且等于1

，即

lim

f)()

xx

f(x)()

。利用等价无穷小代换（定理4求极限例9

x0

xx)arctan(2)解：xln(1x

x)

～，

lim原式x0

xx2

。

x和和和也一定存在，且等于，即=精心x和和和也一定存在，且等于，即=例10

0

sinxsin解：原式=

x

esin(exe(xsinxxsinx

。注：下面的解法是错误的：原式=

lim

(exxlimx

。正如下面例题解法错误一样：limx0

tanxsinxxlimx3

。例11

limx0

1tan(x2sin)sinx解：

1当x时sin是穷小xsin与2等xx

，所以，原式=

1x2sin1limlimxsinxxx

。（最后一步用到定理2）五、利无穷小的性求极限有限个穷小的和是穷小，界函数与无小乘积无穷小。用价无穷替换求极限常行之有效例1.

lim(x0

e

)

lim2.

sinsin(lnx5．比达法定理5假当自变量趋近于某定值或无穷），数

f()(

满1）

f()(x)的极限都是0都是无穷大；（2）

f(xg()

都可导，且

g)

的导数不为0；（3）

lim

f

存在（或是无穷大）；则极限

lim

f()ff)flimlimlim()(xg

。说明：定5为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛

36精心整36

比达法则就不能应用。特别要注意条件（）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“型；条件）一般都满足，而条件）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。利用洛达法则求极说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法时，洛比达法则还可以连续使用。例12

limx

1x3

（例4）解：原式=

limx0

sin166

。（最后一步用到了重要极限）例13

limx

cosx解：原式=

limx1

。例14

limx0

sin1cos1limlim解：原式=0=0

。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15解：

limx

sinxxsin例18

1lim[]0ln(1)解：错误解法：原式=

lim[]xxx

。正确解法：应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。xxlim3x例19解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：

lim

12cos3

，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

精心整理原式=

limx

（分子、分母同时除以x3（利用定理和定理）6．续性定理一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果f(x(x)则有x。

是函数

f()

的定义去间内的一点，利用函数的连续性（定理6）求极限2ex例42解：因为0

是函数

1f)xex

的一个连续点，所以原式=

2

。7．限存在则定理（准则1单调界数列有极。四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例1.设

，

x

x,

x(

)求极限

x

。定理（准则2已知

{}{y},{}n

为三个列，且满足（）

yx(2,3,)nnlimy（）n

limz，lim则极限n

lima一定存，且极限值是，即n

。夹逼定理

nn精心整理nn利用极存在准则求限例20已知

,1

n

(2,)n

x，求n

n解易证数列

{}

单调递增且有（

由准则极限n

n

xa存在设n

。对已知的递推公式

n

2

n

两边求极限，得：

，解得：或

（不合题意，舍去）x2所以n

。例21

lim(n

2

2

)解：易见：

2

2

2

2

2

因为

lim

，

lim

所以由准则2：

lim(

n2

2

)

。9.?洛必达法则与等价无穷小替换结合法

精心整理对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。勒展开法用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。8.?利用复合函数求极限

精心整理十、利级数收敛的要条件极限级数收敛的必要条件是：若级数

n

n

收敛，则

limu0limf()n，故对某些极，可将函数f(n)

作为级数

n

f(n)

limf(n的一般项，只须证明此技术收敛，便n。lim

!十一、用幂级数的函数求限当数列本身就是某个级数的部分和数列时该数列的极限就成了求相应级数的和时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。3lim(1例求

7等比等差列公式应（对付数极限）（q绝值符号要小于18各项的拆相加（来掉中间的多数）（对付的还是数列极限）可以使用待系数法来分化简函9求右求极限的方式（对付数列极限）如知道与Xn+1的关系，知Xn的极限存在的情况下，??xn的极限xn+1的极限一样的，应为极限去掉限项目