知识点18二次函数概念性质和图象2022

第一批一、选择题9．（2022·温州）已知二次函数y=x2-4x+2，关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是 （）A．有最大值-1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值-1C．有最大值7，有最小值-1 D．有最大值7，有最小值-2【答案】D【解析】∵二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2，∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内，当x=2时，y有最小值-2；当x=-1时，y有最大值7．故选D.7．（2022·绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是()A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位【答案】B【解析】y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选B．10．（2022·嘉兴）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【解析】二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）,①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1,∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上,故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1，解得：x＝m﹣，x＝m+，∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|,解得：m＝0或1,∴存在m＝0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结论②正确；③∵x1+x2＞2m,∴,∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m,∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,∵x1＜x2，且﹣1＜0,∴y1＞y2,故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0,∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选C．10．（2022·杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M=N-1或M=N+1 B．M=n-1或M=N+2 C．M=N或M=N+1 D．M=N或M=N-1【答案】A【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．∵y=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+1，∴（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，∴函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N；当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N或M=N+1．故选C．11．（2022·烟台）已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：x-10234y50-4-30下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若，是抛物线上两点，则．其中正确的个数是（）．A．2B．3C．4D．5【答案】B【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为，，所以抛物线的对称轴为直线且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当时，，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若，是抛物线上两点，既有可能，也有可能，所以结论⑤错误．7．（2022·绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是()A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位【答案】B【解析】y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选B．10．（2022·益阳）已知二次函数如图所示，下列结论:①ae＜0，②b-2a＜0，③＜0，④a-b+c＜0，正确的是（）A.①②B.①④C.②③D.②④第10题图【答案】A【解析】∵抛物线开口向下，且与y的正半轴相交，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，故①正确；∵对称轴在-1至-2之间，∴，∴4a＜b＜2a，∴b-2a＜0，故②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=＞0，∴③错误；∵当x=-1时，y=a-b+c＞0，∴④错误.∴正确的说法是①②.故选A.11．（2022·娄底）二次函数的图象如图（5）所示，下列结论中正确的有（）① abc<0 ② ③ ④A．1个 B． 2个 C． 3个 D．4个【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口方向向下知a<0，对称轴在y轴的左侧得a、b同号，抛物线与y轴交于正半轴得c>0,所以abc>0 ；故结论①错误；②由抛物线与x轴有两个交点得，故结论②错误；③由图象知对称轴得；由a<0，结合不等式的性质三可得b>2a,即2a<b；故结论③错误；④由图象知：当x＝1时，y<0即a+b+c<0；当x＝－1时，y>0即a－b+c>0；∴，即；∴．故结论④正确．故答案A正确．1.（2022·济宁）将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－1)2－3C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－4)2－2【答案】D【解析】y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2．(2022·巴中)二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b－c>0,④a+b+c<0,其中正确的是()A.①④ B.②④ C.②③ D.①②③④第10题图【答案】A【解析】①:因为图象与x轴有两个不同的交点,所以b2－4ac>0,即b2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x＝－1,所以,所以2a＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b－c<0,③错误;④当x＝1时,y＝a+b+c,由图可得,x＝－3时,y<0,由对称性可知,当x＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,故选A.3.（2022·达州）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合.现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与点B重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时t的函数图像大致是()【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t，面积S与t的函数关系式为，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G在正方形内部时，重合部分为四边形，设运动时间为t，面积S与t的函数关系式为，函数图像为开口向下的二次函数，故选C.4.（2022·凉山）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a–b=0；②b2-4ac＞0；③5a-2b+c＞0；④4b+3c＞0,其中错误结论的个数是（▲）A.1 B.2 C.3 D.4第12题图【答案】A【解析】根据对称轴得b=3a，故可得3a–b=0，所以结论①正确；由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2-4ac＞0，结论②正确；根据结论①可知b=3a，∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c，观察图像可知a＜0,c＞0，∴5a-2b+c=-a+c＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x=1时，y=a+b+c＜0，∵a=，∴+c＜0，∴4b+3c＜0，所以结论④错误.故选A.5.（2022·攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx－a的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】据参数符号可排除A、D选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C．【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象6（2022·天津）二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：且当时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0;(2)-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；（3）0<m+n<,其中，正确结论的个数是A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】(1)因为当时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y随x的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当时，与其对应的函数值y>0可得，当x=-1时，m=a-b-2=2a-2>,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n，所以m+n>，故（3）错误，故选C.【知识点】二次函数图像的性质.7.（2022·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（A）A.（） B.（1，-3） C.（） D.（）【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），所以y=（x-1）2+3的顶点坐标是（），故选A.8.（2022·重庆B卷）物线y＝的对称轴是（）A.直线B.直线C.直线D.直线【答案】Ｃ【解析】设的解析式是y=，则二次函数的为,为顶点纵坐标为.所以抛物线y＝的对称轴是直线.故选Ｃ．9（2022·自贡）一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx【答案】A.【解析】∵双曲线y=cx∴c＞0.∴抛物线与y轴交于正半轴.∵直线y=ax+b经过第一、二和四象限，∴a＜0，b＞0，即-b2a∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴在y轴的右侧.故选A.9.（2022·遂宁）二次函数y=x2-ax+b的图像如图所示，对称轴为直线x=2，下列结论不正确的是()A.a=4B.当b=-4时，顶点的坐标为（2，-8）C.当x=-1时，b>-5D.当x>3时，y随x的增大而增大【答案】C【解析】选项A,由对称轴为直线x=2可得，∴a=4，正确；选项B,∵a=4,b=-4∴代入解析式可得，y=x2-4x-4，当x=2时，y=-8,∴顶点的坐标为（2，-8），正确；选项C，由图像可知，x=-1时，y=0，代入解析式得B=-5，∴错误；选项D由图像可以看出当x>3时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，正确，故选C.二、填空题（2022·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A,点C分别在x轴，y轴的正半轴上，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数经过点B，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过C（0,3），G、A三点，则该二次函数的解析式为（填一般式）【答案】【解析】∵矩形OABC，C（0,3）∴B点的纵坐标为3，∵反比例函数经过点B，∴B(4,3），A（4,0），∴OA=4，∵C（0,3），∴OC=3，∴Rt△ACO中，AC=5.设G（m,0)则OG=m∵翻折∴GP=OG=m,CP=CO=3,∴AP=2，AG=4-m,∴Rt△AGP中，m2+22=(4-m)2,∴m=,∴G(,0），∵A（4,0）C（0,3）G(,0）∴解析式为15．(2022·广元)如图,抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)过点(－1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M＝4a+2b+c,则M的取值范围是________.第15题图【答案】－6<M<6【解析】∵y＝ax2+bx+c过点(－1,0),(0,2),∴c＝2,a－b＝－2,∴b＝a+2,∵顶点在第一象限,∴>0,∴a<0,b>0,a+2>0,a>－2,∴－2<a<0,M＝4a+2b+c＝4a+2(a+2)+2＝6a+6,∴－6<M<6.18．（2022·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知点A坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2022的坐标为．【答案】（－1010，10102）【解析】A（1，1），A1（－1，1），A2（2，4），A3（－2，4），A4（3，9），A5（－3，9），…，A2022（－1000，10002）．11．（2022·株洲）若二次函数的图像开口向下，则a0（填“＝”或“＞”或“＜”）．【答案】＜【解析】二次函数开口向下，则a<0。15．（2022·陇南）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．【答案】y=（x-2）2+1【解析】y=x2-4x+5=（x-2）2+1，故答案为：y=（x-2）2+1．（2022·无锡）某个函数具有性质：当>0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是____________（只要写出一个符合题意的答案即可）.【答案】y=x2【解析】本题主要考查了一次函数与二次函数的增减性，y=kx（k>0）和y=ax2（a>0）都符合条件，故答案可以为y=x2.2.（2022·济宁）如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是______________．【答案】x＜－3或x＞1【解析】由所给的图象可知，x＜－3或x＞1时，ax2＋c＞－mx＋n．3.(2022·泰安)若二次函数y＝x2+bx－5的对称轴为直线x＝2,则关于x的方程x2+bx－5＝2x－13的解为________.【答案】x1＝2,x2＝4【解析】∵二次函数y＝x2+bx－5的对称轴为直线x＝2,∴,∴b＝－4,∴原方程化为x2－4x－5＝2x－13,解之,得x1＝2,x2＝4.4.（2022·达州）如图，抛物线（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.①抛物线与直线y=m+2有且只有一个交点；②若点M（-2，y)、点N（，y)、点P（2，y)在该函数图像上，则y<y<y；③将该抛物线向左平移2个单位，在向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为；④点A关于直线x=1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为.其中正确判断的序号是____________.【答案】①③④【解析】抛物线与直线y=m+2的交点为：,得：,因为,∴抛物线与直线y=m+2有且只有一个交点，①正确;由图可得：，故②错误；=，将该抛物线向左平移2个单位，在向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为，故③正确；点A关于直线x=1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为，故④正确.5.（2022·凉山）当0≤x≤3时，直线y=a与抛物线y=(x-l)2-3有交点，则a的取值范围是．【答案】-3≤a≤-2【解析】抛物线y=(x-1)2-3的顶点坐标为（1，-3），当x=0时，y=-2，当x=3时，y=1，∴当0≤x≤3时，-3≤y≤-2，∴直线y=a与抛物线有交点时，a的取值范围为-3≤a≤-2.三、解答题一、选择题21．（2022浙江省温州市，21，10分）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围；（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n+6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．【解题过程】(1)令y=0，则-x2+2x+6=0，∴x1=-2，x2=6，∴A(-2，0)，B(6，0).由函数图像得，当y≥0时，x的取值范围为-2≤x≤6；(2)由题意得B2(6-n，m)，B3(-n，m)，函数图像的对称轴为直线x==2.∵点B2、点B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴=2，∴n=1，∴m=-×(-1)2+2×(-1)+6=，∴m，n的值分别为，1.23．（2022山东威海，23，10）在画二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下x……﹣10123……y甲……63236……乙写错了常数项，列表如下：x……﹣10123……y乙……﹣2﹣12714……通过上述信息，解决以下问题：（1）求原二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的表达式；（2）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当x时，y的值随x的值增大而增大；（3）若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【解题过程】（1）因为根据甲同学的错误可知c＝3，根据乙同学提供的数据，选择x＝﹣1，y＝﹣2；x＝1，y＝2代入得，解得∴，∴y＝﹣3x2＋2x＋3；（2）y＝﹣3x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝，∵二次项系数为-3，故抛物线开口向下，∴当x≤时，y的值随x的值增大而增大；故答案为≤；（3）∵方程ax2＋bx＋c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，即﹣3x2＋2x＋3﹣k＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4＋12（3﹣k）＞0，解得k＜.22．(2022·泰州)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,－3),该图象与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.(1)求该二次函数的表达式;(2)求tan∠ABC.第22题图【解题过程】(1)因为二次函数图像的顶点坐标为(4,－3),设该二次函数表达式为y＝a(x－4)2－3,因为图象与x轴相交于点A,A的坐标为(1,0),把A的坐标代入y＝a(x－4)2－3,解得a＝,所以y＝(x－4)2－3;(2)令x＝0,得y＝,所以C(0,),OC＝,令y＝0,得,x1＝1,x2＝7,所以B(7,0),OB＝,所以在Rt△OBC中,tan∠ABC＝＝;1.(2022·宁波)如图,已知二次函数y＝x2+ax+3的图形经过点P(－2,3).(1)求a的值和图象的顶点坐标;(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上:①当m＝2时,求n的值;②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.解：(1)把P(－2,3)代入y＝x2+ax+3,得3＝(－2)2+a(－2)+3,解之,得a＝2,∴y＝x2+2x+3＝(x+1)2+2,∴顶点坐标为(－1,2);(2)①把x＝2代入y＝x2+2x+3,得y＝11,∴当m＝2,时,n＝11;②当点Q到y轴的距离小于2时,即－2<m<2,函数可以取得最小值为2,当x＝－2时,y＝3,当x＝2时,y＝11,∴n的取值范围为2≤n<11.第二批一、选择题10．（2022·陕西）已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【思路分析】根据“当时，”，得到一个关于m不等式，在根据抛物线，可知抛物线开口向上，再在根据“当时，y的值随x值的增大而减小”，可知抛物线的对称轴在直线的右侧或者是直线，从而列出第二个关于m的不等式，两个不等式联立，即可解得答案．【解题过程】因为抛物线，所以抛物线开口向上．因为当时，，所以①，因为当时，y的值随x值的增大而减小，所以可知抛物线的对称轴在直线的右侧或者是直线，所以②，联立不等式①，②，解得．【知识点】二次函数的图象（抛物线）的性质、一元一次不等式组．11．（2022·兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线上，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，可得：抛物线开口向下，对称轴为x=－1，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵－1＜1＜2，∴2＞y1＞y2，故选A.【知识点】二次函数的图象和性质10.（2022·齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0）与x轴交于点（-3,0），其对称轴为直线x=结合图像分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为，，⑤⑥若m,n（m＜n)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根，则m＜-3，n＞2，其中正确的结论有（）(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个【答案】C【解析】①由图像可知a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，∴①正确；②由于对称轴是直线x=，所以a=b,∵与x轴的一个交点是（-3,0），∴另一个交点是（2，0），把（2,0）点代入解析式可得4a+2b+c=0,∴6a+c=0,∴3a+c=-3a,∵a＜0，∴-3a＞0，∴3a+c＞0,故②正确；③由图像可知当＜x＜0时，y随x的增大而减小，所以当x＜0时，y随x的增大而增大是错误的；④一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-3,x2=2,∴一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为，，正确；⑤由图像顶点的纵坐标大于0可知，，∴正确；⑥若m,n（m＜n)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根，则a(x+3)(x-2)=-3，由图像可知，当y=-3时，方程的两根为m,n,∴m＜-3，n＞2，正确，综上正确的有5个，所以选择C【知识点】二次函数的性质8．（2022·河南）已知抛物线经过（-2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）【答案】B【解题过程】由题意知抛物线过（-2，n）和（4，n）,说明这两个点关于对称轴对称，即对称轴为直线x=1，所以-=1，又因为a=-1，所以可得b=2，即抛物线的解析式为y=-x2+2x+4，把x=-2代入解得n=-4.【知识点】二次函数的对称性;中点坐标公式;求对称轴的公式及二次函数解析式10．（2022·福建）若二次函数y＝｜a｜x2＋bx＋c的图象经过A(m，n)、B(0，y1)、C(3－m，n)、D(，y2)、E(2，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y1<y3<y2C．y3<y2<y1D．y2<y3<y1【答案】D【解析】把A(m，n)、C(3－m，n)两点分别代入y＝｜a｜x2＋bx＋c，得｜a｜m2＋bm＝｜a｜＋b（3－m），整理得b＝－3｜a｜，对称轴x＝－＝，∵｜a｜＞0，开口向上，∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大，∵0＜＜＜3－＜2，∴y2<y3<y1．【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；对称轴9．（2022·深圳）已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=ax+b与y=的图象为（）A． B．C． D．【答案】C【思路分析】先根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象确定a，b，c的正负，则判断一次函数与反比例函数的图象所在的象限．【解题过程】由二次函数的图象可知，a<0，b>0，c<0．当a<0，b>0，c<0时，一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限；反比例函数y=位于第二、四象限，选项C符合．故选C．【知识点】二次函数的图象与系数的关系；一次函数的图象与系数的关系；反比例函数的图象与系数的关系；符号判断10.（2022•广安）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①②③④当时，其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】①对称轴位于轴的右侧，则，异号，即．抛物线与轴交于正半轴，则．．故①正确；②抛物线开口向下，．抛物线的对称轴为直线，．时，，，而，，，即，故②正确；③时，，，而，，．故③正确；④由抛物线的对称性质得到：抛物线与轴的另一交点坐标是．当时，，故④正确．综上所述，正确的结论有4个．故选．【知识点】二次函数图象及其性质；抛物线与轴的交点；二次函数图象与系数的关系11.（2022·绵阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②2a﹣c＞0；③a+2b+4c＞0；④4abA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；②∵图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，∴2+02＜-b当-b2a＜32∵当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，∴b＝﹣2a-12∴﹣2a-12c＞﹣3a，∴2a﹣c＞0，故③∵-b2a＜1，∴2a∵c＞0，4c＞0，∴a+2b+4c＞0，故③正确；④∵-b2a＜1，∴2a+b＞0，∴（2a+b）2＞0，4a2+b2+4ab＞0，4a2+b2∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，dengx∴4a2+b2故选D．，故选B．【知识点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点10.（2022·南充）抛物线，，是常数），，顶点坐标为，，给出下列结论：①若点与，在该抛物线上，当时，则；②关于的一元二次方程无实数解，那么A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误【答案】A【解析】①顶点坐标为，，，点关于抛物线的对称轴的对称点为，点与，在该抛物线上，，，，当时，随的增大而增大，，故此小题结论正确；②把，代入中，得，一元二次方程中，△，一元二次方程无实数解，故此小题正确；故选：A．【知识点】二次函数图象及其性质；根的判别式；抛物线与轴的交点10.（2022·资阳）如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0【答案】C【解析】如图1所示，当t等于0时，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），当x＝4时，y＝5，∴C（4，5），∴当m＝0时，D（4，﹣5），∴此时最大值为0，最小值为﹣5；如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1．综上所述：0≤m≤1，故选：C．【知识点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值10.（2022·甘肃）如图是二次函数的图象，对于下列说法：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小，其中正确的是A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤【答案】C【解析】解：①由图象可知：，，，故①错误；②由于对称轴可知：，，故②正确；③由于抛物线与轴有两个交点，△，故③正确；④由图象可知：时，，故④正确；⑤当时，随着的增大而增大，故⑤错误；故选C．【知识点】二次函数图象与系数的关系10．（2022·随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a＋b＋c＞0；③ac＋b＋1＝0；④2＋c是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【思路分析】根据函数图象判断a，b，c的符号可确定①是否正确，根据抛物线的对称轴为直线x＝1，将x＝2代入抛物线解析式即可判断②是否正确，根据OA＝OC，可知A点坐标，可知③④两式是否正确．【解题过程】∵抛物线开口向下，则a＜0，又对称轴为直线x＝－＝1，则b＞0，抛物线与y轴交点C在正半轴y轴，则c＞0，∴abc＜0，故①正确；根据对称轴为x＝1，抛物线与x轴的交点A在x负半轴，则当x＝2时，y＞0，即4a＋2b＋c＞0，∴a＋b＋c＞0，即②正确；∵OA＝OC＝c，∴A(－c，0)，则ac2＋b(－c)＋c＝0，∴ac－b＋1＝0，∴ac＋b＋1＝ac－b＋1＋2b＝2b＞0，故③错误；∵A(－c，0)，对称轴为x＝1，∴B(2＋c，0)，∴2＋c是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，故④正确．综上所述①②④正确．故选项C正确．【知识点】二次函数性质15.（2022·天水）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a﹣b．则M、N的大小关系为MN．（填“＞”、“＝”或“＜”）【答案】＜【解析】当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，M﹣N＝4a+2b﹣（a﹣b）＝4a+2b+c﹣（a﹣b+c）＜0，即M＜N，故答案为：＜【知识点】二次函数图象与系数的关系9（2022·鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①正确；②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵-b2a=1，∴b把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴a+c＜﹣b，∵a＞0，c＞0，﹣b＞0，∴（a+c）2＜（﹣b）2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，∴a+b+c≤am2+mb+c，即a+b≤m（am+b），所以④正确．故选：D．【知识点】二次函数图象与系数的关系5.（2022·荆门）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4），当y＝0时，﹣x2+4x﹣4＝0，解得x1＝x2＝2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），所以抛物线与坐标轴有2个交点．故选：C．【知识点】二次函数的图象；抛物线与x轴的交点二、填空题15.（2022·武威）将二次函数化成的形式为．【答案】【解析】，所以．故答案为．【知识点】二次函数的三种形式17.（2022·荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：①abc＞0，②3a+c＜0，③a（m﹣1）+2b＞0，④a＝﹣1时，存在点P使△PAB为直角三角形．其中正确结论的序号为．【答案】②③【解析】将A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）代入解析式y＝ax2+bx+c，∴对称轴x=m-1∴-ba∵1＜m＜3，∴ab＜0，∵n＜0，∴a＜0，∴b＞0，∵a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＞0①abc＜0；错误；②当x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0，②正确；③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0，③正确；④a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c，∴P（b2，b+1+若△PAB为直角三角形，则△PAB为等腰直角三角形，∴AP的直线解析式的k＝1，∴b+1+b∴b＝﹣2，∵b＞0，∴不存在点P使△PAB为直角三角形．④错误；故答案为②③；【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的图象11.（2022·宜宾）将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为．【答案】【解析】将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为：．故答案为：．【知识点】二次函数图象与几何变换三、解答题26．（2022·兰州）如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，点D为BC的中点，BE=DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转度（），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M,N两点间的距离为ycm.小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小涛的探究过程，请补充完整.（1）列表：下表的已知数据是B,M两点间的距离x进行取点、画图、测量,分别得到了y与x的几组对应值：请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y）,并画出函数y关于x的图象.（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：.（4）解决问题：当MN=2BM时，BM的长度大约是cm.（保留两位小数）.【思路分析】【解题过程】解：（1）①当x=BM=0时，连接AD，则AD⊥BC，BD=CD=BC=4，cos∠ABD===cosα，则sinα=，则y=MN=BN==3；②x=BM=，在△MBD中，BD=4，BM=，cos∠B==cosα，tanα=，过点M作MH⊥BD于点H，则BH=BMcosα=，则EH=，MD2=HD2+EH2=，则BD2=BM2+MD2，故∠BMD=90°，则y=MN=MDtanα=（DBsinα）tanα=；（2）描点出如下图象，从图象可以看出：0≤x≤时，y随x最大而减小，当＜x≤时，y随x最大而增大；（3）MN=2BM，即y=2x，在上图中作直线y=2x，直线与曲线交点的纵坐标为：和，故答案为：或．【知识点】24.（2022·遵义）如图，抛物线C1：y=x2-2x与抛物线C2：y=ax2+bx开口大小相同，方向相反，它们相交于点O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA=2OB.(1)求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO,MC，M运动到什么位置时，△MOC的面积最大？并求出最大面积.【思路分析】（1）根据抛物线C1：y=x2-2x与抛物线C2：y=ax2+bx开口大小相同，方向相反，可知a=-1,由抛物线C1与x轴交于点B（2,0），OA=2OB.可知A（4,0），将A点代入可以求出抛物线C2的解析式联立抛物线C1与抛物线C2的解析式可以求出点C的坐标，A点关于对称轴的对称点为点O，直线OC与对称轴的交点就是所求的点P；如图，设M(m,-m2+4m),作铅锤高MN交直线OC于点N，则MN=-m2+3m，∴△MOC的面积=从而可以求解.【解题过程】解：∵抛物线C1：y=x2-2x与抛物线C2：y=ax2+bx开口大小相同，方向相反，∴a=-1,∵由抛物线C1与x轴交于点B∴B（2,0），∵OA=2OB.∴A（4,0），∵抛物线C2：y=ax2+bx∴0=-16+4b∴b=4∴抛物线C2的解析式为y=-x2+4x存在∵抛物线C1：y=x2-2x与抛物线C2：y=-x2+4x∴x1=0,x2=3,∴C（3,3），∵A(4，0)∴A关于对称轴直线x=2的对称点为O(0，0)∴设直线OC：y=kx,过C(3，3)∴k=1,∴直线OC:y=x当x=2时，y=2∴P(2,2)（3）如图，设M(m,-m2+4m),作铅锤高MN交直线OC于点N，则N(m,m)∴MN=-m2+3m，∴S△MOC===当m=时，此时M（，），S△MOC最大=∴M运动到M（，）位置时，△MOC的面积最大，最大面积为.【知识点】二次函数解析式，对称点，二次函数的最值26.（2022·河北）如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x-b与y轴交于点B；抛物线L：的顶点为C，且L与x轴右交点为D.(1)若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设≠0，点()，()，()分别在l，a和L上，且是、的平均数，求点()与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把橫、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2022和b=时“美点”的个数.第26题图【思路分析】(1)先利用点AB的长度、点A、点B的坐标求出b的值，进而得到函数解析式，然后利用函数解析式求交点坐标；(2)利用抛物线的顶点坐标求出点C与l的距离为，然后使用配方法求出点C与l距离的最大值；(3)利用平均数确定，解得，再利用y=0解得，，进而确定点(，0)与点D的距离为.(4)利用“美点”的定义求出当b=2022和b=时“美点”的个数.【解题过程】解：(1)当x=0时，y=x-b=-b，∴B(0，-b).∵AB=8，A为(0，b)，∴b-(-b)=8，∴b=4.∴L为，∴L的对称轴为x=2.当x=2时，y=x-4=-2.∴L的对称轴与a的交点为(2，-2).(2)∵，∴L的顶点C为().∵点C在l下方，∴C与l的距离为，∴点C与l距离的最大值为1.(3)由题意得，即，∴，解得或.但≠0，∴取.对于L，当y=0时，，即0=-x(x-b)，解得，，∵b>0，∴右交点D为(b，0).∴点(，0)与点D的距离为.(4)4040；1010.【知识点】一次函数图象的性质、二次函数图象的性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值、点到直线的距离、一元二次方程的解法、阅读理解题第三批一、选择题12.（2022·梧州）已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是A． B． C． D．【答案】A【解析】解：关于的一元二次方程的解为，，可以看作二次函数与轴交点的横坐标，二次函数与轴交点坐标为，，如图：当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或；又，；，故选：A．【知识点】抛物线与轴的交点；一元二次方程根与系数的关系；根的判别式26.（2022·台湾）如图，坐标平面上有一顶点为的抛物线，此抛物线与方程式的图形交于、两点，为正三角形．若点坐标为，则此抛物线与轴的交点坐标为何？A． B． C． D．【答案】B【解析】解：设，，点坐标为，，为正三角形，，，，设抛物线解析式，，，，当时，；故选：B．【知识点】二次函数的性质；二次函数的图象；等边三角形的性质（2022·呼和浩特）3.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．答案：D【解析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选D．9．（2022·雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图像顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图像可以由y=x2的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到【答案】C【解析】根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2)2+1，得它的顶点是（2，1），对称轴为直线x=2，当x=2时，函数的最小值是1，图像开口向上，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小，可由y=x2的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以C是错误的，故选C．【知识点】二次函数的图象与性质12.（2022·泸州）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜2【答案】D【解析】y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，∵抛物线与x轴没有公共点，∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，∵抛物线的对称轴为直线x=--2a而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴a≥﹣1，∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．故选：D．【知识点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点-1-11AB第10题图10．（2022·安顺）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c-1-11AB第10题图①abc＞0；②4ac-b2＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0．其中正确的个数是（）A．4个 B．3个C．2个 D．1个【答案】B【解析】①abc＞0，从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，故正确；②4ac-b2＞0，由抛物线顶点纵坐标为﹣1得＝﹣1，4ac-b2=—4a＜0，故错误；③a﹣b+c＞0，当x＝﹣1时y＝a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，∴a﹣b+c＞0，故正确．④ac+b+1＝0，设C（0，c），则OC＝|c|，∵OA＝OC＝|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c＝0，又c≠0，∴ac+b+1＝0，故正确；【知识点】二次函数图象与系数的关系．二、填空题11.（2022·荆州）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是．【答案】7【解析】解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，故答案为：7．【知识点】二次函数的最值17.（2022·贺州）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是（填写序号）．【答案】①③④【解析】根据图象可得：，，对称轴：，，，，，故①正确；把代入函数关系式中得：，由抛物线的对称轴是直线，且过点，可得当时，，，故②错误；，，即：，故③正确；由图形可以直接看出④正确．故答案为：①③④．【知识点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与轴的交点12.（2022·镇江）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则代数式的最小值是．【答案】【解析】解：抛物线过点，两点，线段的长不大于4，的最小值为：；故答案为．【知识点】二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数的图象（2022·呼和浩特）16.对任意实数a，若多项式2b2-5ab+3a2的值总大于-3，则实数B的取值范围是.答案：-6＜b＜6【解析】本题考查一元二次函数与一元二次不等式的关系；熟练掌握判别式与一元二次不等式值的关系是解题的关键．由题意可知：2b2-5ab+3a2＞-3，∴3a2-5ab+2b2+3＞0，∵对任意实数a，3a2-5ab+2b2+3＞0恒成立，∴△=25b2-12（2b2+3）=b2-36＜0，∴-6＜b＜6；故答案为-6＜b＜618.（2022·赤峰）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）【答案】②③④【解析】由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），∴b＝﹣2a，与x轴另一个交点（﹣1，0），①∵a＞0，∴b＜0；∴①错误；②当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0；②正确；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；∴③正确；④由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3∴④正确；故答案为②③④．【知识点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点17．（2022·雅安）已知函数的图像如图所示，若直线y=x+m与该图像恰有三个不同的交点，则m的取值范围为___________.【答案】0<m<【解析】由y=x+m与得，整理得，当有两个交点为时，，解得m<，当直线y=x+m经过原点时与函数的图像有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0，∴m的取值范围为0<m<，故答案为0<m<．【知识点】二次函数与一元二次方程14.（2022·长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+(a＞0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则ɑ的值为【答案】2.【解析】令x=0，可得y=，∴点A的坐标为（0，），∴点M的坐标为（2，）.∵y=ax2-2ax+=a(x-1)2+-a，∴抛物线的顶点P的坐标为（1，-a），∴直线OP的方程为y=(-a)x，令y=，可得x=，∴点B的坐标为（，）.∵M为线段AB的中点，∴=4，解得a=2，故答案为2.【知识点】二次函数的性质；中点坐标公式.三、解答题24．（2022·永州）(本小题10分)如图，已知抛物线经过两点A(－3，0)，B(0，3)，且其对称轴为直线x＝－1．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，点B)，求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，根据题意得解得所以抛物线的解析式为y=－x2－2x＋3．(2)易知直线AB的表达式为y=x＋3，设P(m，－m2－2m＋3)，过P作PC∥y轴交AB于点C，则C(m，m＋3)，PC=(－m2－2m＋3)－(m＋3)=－m2－3m，S△PAB=×(－m2－3m)×3=－×(m2＋3m)=－(m＋)2＋．所以当m=－时，S△PAB有最大值．此时点P的坐标为(－，)．24.（2022·长春）已知函数当n=5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值.已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围；当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围.解：（1）当n=5时，，①∵点P在此函数图象上，∴b=；②当x≥5时，y=-x2+5x+5=-(x-)2+，∴当x=5时，y的值最大，最大值为y=-52+5×5+5=5.当x＜5时，y=-x2+x+=-(x-)2+，∴当x=时，y的值最大，最大值为，综上所述，y的最大值为.（2）当n＞4时，根据题意可得，即无解；当n＜2时，根据题意可得，即无解；当n=4时此时与线段AB无交点；当n=2时此时与线段AB有一个交点；当2＜n＜4时，根据题意可得或，解得n＞或n＜，∴2＜n＜或＜n＜4，综上所述2≤n＜或＜n＜4；（3）∵此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，∴当n＞0时，或=4，解得n≥8或n=4；当n＜0时，≥4或=4，解得n≤-8或n=-2-2.【知识点】二次函数的性质；分类讨论的思想.24.（2022·孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，-4）.点A的坐标为☆，点B的坐标为☆，线段AC的长为☆，抛物线的解析式为☆.（4分）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形。求点Q的坐标.②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线交BC于点F，交x轴于点G，记PE=，求关于t的函数解析式；当t取m和时，试比较的对应函数值和的大小.（5分）解析：本题考查了二次函数与四边形等知识的综合应用．（1）通过因式分解求得点A,B坐标，再由点C坐标求得抛物线的解析式及线段AC的长；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点P，通过分类讨论确定点Q坐标；②作PH∥AB交BC于点H，根据△EPH∽△CAB导出EP与PH关系，设出点P坐标（t，yp），再将根据P,H纵坐标相等建立方程，用含t的代数式表示EP，将t等于m和代入EP，通过求差法比较大小。答案：解：（1）点A的坐标为（一2，0），点B的坐标为（4，0）；线段AC的长为；2，抛物线的解析式为：y=x²-x-4;（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点P.∵点C（0，-4）,∴-4=x2-x-4，x1=2，x2=0，∴P（2，-4）∴PC=2，若BCPQ为平行四边形，则BQ=CP=2，∴OQ=OB+BQ=6∴Q（6，0）;若BPCQ为平行四边形，则BQ=CP=2，∴OQ=O