大题专练训练29：圆锥曲线（探索性问题1）-2021届高三数学二轮复习

二轮大题专练29—圆锥曲线（探索性问题1）1．已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．（1）若，点在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（3）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线斜率；若不能，说明理由．解：（1），椭圆，两个焦点，设，，，，，的范围是，（4分）（2）设，的坐标分别为，，，，则两式相减，得，，即，故；（8分）（3）直线过点，直线不过原点且与椭圆有两个交点的充要条件是且．设，，设直线，即，由（2）的结论可知，代入椭圆方程得，，（10分）由与，联立得．（12分）若四边形为平行四边形，那么也是的中点，所以，即，整理得解得，．所以当时，四边形为平行四边形．（16分）2．在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为4，且过点．（1）求椭圆的方程（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于、两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．解：（1）由已知可得，解得，，所以椭圆的方程为．（2）由已知可得，，，，，可设直线的方程为，代入椭圆方程整理，得．设，，，，则，，，，即．，，，即．，或．由△，得．又时，直线过点，不合要求，，故存在直线满足题设条件．3．已知椭圆，离心率，且过点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线上有一点，且与轴交于点，过的直线交椭圆于，两点，交直线于点，是否存在实数使得恒成立？若存在，求出；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）由题意可得，且，又，解得：，，所以椭圆的方程为：；（Ⅱ）当直线的斜率为0时，根据椭圆的对称性，设，，，设点，，，又因为，所以；当直线的斜率不为0时，设，，，，，直线的方程为：，联立直线与椭圆的方程：，整理可得：，则，，故，易知点，则，假设存在实数，则，无解，因此不存在这样的使得恒成立，综上所述，只有当直线与轴重合时，．4．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得，即，又椭圆经过点，可得，解得，，所以椭圆的方程为；（2）假设存在符合条件的点，设，，，，则，，，，，①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得，可得△成立，且，，，，对于任意的值，上式为定值，故，解得，此时，为定值；②当直线的斜率不存在时，直线，，，，由，得为定值，综合①②知，符合条件的点存在，其坐标为，．5．已知椭圆的焦距为4，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点引圆的两条切线，，切线，与椭圆的另一个交点分别为，，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出其定值，若不是，请说明理由．解：（1）椭圆的焦距为4，所以，左焦点，右焦点，则，，所以，即，则椭圆的方程为．（2）设，则，所以设，则，所以所以，是方程的两根，即．设，，，联立有，，．同理：．．6．已知椭圆的两个焦点分别为，，，，以椭圆短轴为直径的圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于、两点，设点，记直线，的斜率分别为，，问：是否为定值？并证明你的结论．解：（1）椭圆的两个焦点分别为，，，，以椭圆短轴为直径的圆经过点，，解得，，椭圆的方程为．（2）是定值．证明如下：设过的直线：或者①时，代入椭圆，，令，，，，．②代入椭圆，设，，，．则，，，，，，．7．已知椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，且椭圆截直线所得弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围；（3）试问在轴上是否存在一点，使得恒为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意椭圆过点，且椭圆的离心率为，则满足方程组，解得，，所以椭圆方程为，（2）设直线的方程为，联立方程，消去整理得，△，设点，，，，，，的中点，，则，所以，的垂直平分线的方程为，令得，因为，所以，所以点的横坐标的取值范围为．（3）假设存在，设，．结合第（2）问知：，所以所以设则对任意恒成立，所以，解得，，所以存在点，使得为定值．8．已知椭圆的右焦点为，右准线为．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与右准线交于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可得，，解得，，则椭圆的方程为；（2）由，设的方程为，，交轴于，交于，由，可得，设，即有，解得，所以，的斜率为，由，可得，则，可得