2021届高三大一轮复习40分钟单元基础小练 40 推理与证明

40分钟单元基础小练41推理与证明一、选择题1．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c，d中恰有一个偶数”时正确的假设为()A．自然数a，b，c，d都是奇数B．自然数a，b，c，d都是偶数C．自然数a，b，c，d中至少有两个偶数D．自然数a，b，c，d中至少有两个偶数或都是奇数答案：D解析：反证法证明命题时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c，d中至少有两个偶数或都是奇数．2．要证明eq\r(3)＋eq\r(7)<2eq\r(5)可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法答案：B解析：综合法一般由已知条件和某些定义、定理等入手开始证明，分析法是从所要证明的结论入手寻找使其成立的条件，反证法一般先假设原命题不成立，然后得出矛盾，归纳法适合证明与正整数有关的题目．结合以上特点，知本题的证明适合采用分析法．3．下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无理数，结论——π是无限不循环小数B．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无限不循环小数，结论——π是无理数C．大前提——π是无限不循环小数，小前提——无限不循环小数是无理数，结论——π是无理数D．大前提——π是无限不循环小数，小前提——π是无理数，结论——无限不循环小数是无理数答案：B解析：A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C、D都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以C、D都不正确，只有B正确，故选B.4．设m，n，t都是正数，则m＋eq\f(4,n)，n＋eq\f(4,t)，t＋eq\f(4,m)三个数()A．都大于4B．都小于4C．至少有一个大于4D．至少有一个不小于4答案：D解析：依题意，令m＝n＝t＝2，则三个数为4,4,4，排除A，B，C选项，故选D.5．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为()A．21B．34C．52D．55答案：D解析：由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.故选D.6．某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了()A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇答案：C解析：若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.7．36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为1＋3＋32＋2＋2×3＋2×32＋22＋22×3＋22×32＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91.参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为()A．435B．465C．478D．496答案：B解析：类比得到36的所有正约数之和的方法知，200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.8．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数组成，从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是()2017201620152014……654321403340314029…………11975380648060………………201612816124……362820…………A．2017×22016B．2018×22015C．2017×22015D．2018×22016答案：B解析：由题意知第1行的最后一个数为2×2－1，第2行的最后一个数为3×20，第3行的最后一个数为4×21，……第n行的最后一个数为(n＋1)×2n－2，表中最后一行仅有一个数，则这个数是2018×22015.9．[2019·荆州质检]若正偶数由小到大依次排列构成一个数列，则称该数列为“正偶数列”，且“正偶数列”有一个有趣的现象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；……按照这样的规律，则2018所在等式的序号为()A．29B．30C．31D．32答案：C解析：由题意知，每个等式中正偶数的个数组成等差数列3,5,7，…，2n＋1，其前n项和Sn＝eq\f(n[3＋2n＋1],2)＝n(n＋2)，所以S31＝1023，则第31个等式中最后一个偶数是1023×2＝2046，且第31个等式中含有2×31＋1＝63个偶数，故2018在第31个等式中．10．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”，则索的因应是()A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0答案：C解析：要证eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a，需证b2－ac<3a2，因为a＋b＋c＝0，所以即证(a＋c)2－ac<3a2，即证a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0，即证－2a2＋ac＋c2<0，即证2a2－ac－c2>0，即证(2a＋c)(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.故选C.11．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案：A解析：四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.12．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆的面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4)，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,64)D.eq\f(1,27)答案：D解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).二、填空题13．有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．答案：8月4日解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日，8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．14．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2018个数是________．答案：3972解析：由题意可设第1组的数为1，第2组的数为2,4，第3组的数为5,7,9，……所以第1组有1个数，第2组有2个数……根据等差数列的前n项和公式，可知前n组共有eq\f(nn＋1,2)个数．由于2016＝eq\f(6363＋1,2)<2018<eq\f(6464＋1,2)＝2080，因此，第2018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9……第n组最后一个数是n2，因此，第63组最后一个数为632,632＝3969，第64组为偶数组，其第1个数为3970，第2个数为3972.15．如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．答案：eq\f(S1,sinα1)＝eq\f(S2,sinα2)＝eq\f(S3,sinα3)解析：类比三