2021届高三大一轮复习40分钟单元基础小练 34 抛物线的定义、标准方程及性质

40分钟单元基础小练34抛物线的定义、标准方程及性质一、选择题1．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12xB．y2＝－12xC．x2＝－12yD．x2＝12y答案：D解析：由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.2．抛物线x＝4y2的准线方程为()A．y＝eq\f(1,2)B．y＝－1C．x＝－eq\f(1,16)D．x＝eq\f(1,8)答案：C解析：将x＝4y2化为标准形式为y2＝eq\f(1,4)x，所以2p＝eq\f(1,4)，p＝eq\f(1,8)，开口向右，所以抛物线的准线方程为x＝－eq\f(1,16).3．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y答案：D解析：设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.故选D.4．抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为()A．2eq\r(2)B．1C．2D．3答案：A解析：根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.根据抛物线定义，得yP＋1＝3，解得yP＝2，代入抛物线方程求得xP＝±2eq\r(2)，∴点P到y轴的距离为2eq\r(2).故选A.5．已知双曲线eq\f(y2,4)－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为1，则p的值为()A．1B.eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4答案：B解析：双曲线eq\f(y2,4)－x2＝1的渐近线y＝±2x与抛物线y2＝2px的准线x＝－eq\f(p,2)的交点分别为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，p))，则|AB|＝2p，△AOB的面积为eq\f(1,2)×2p×eq\f(p,2)＝1，p>0，解得p＝eq\r(2).6．已知点Q(0,2eq\r(2))及抛物线y2＝4x上一动点P(x，y)，则x＋|PQ|的最小值为()A．4B．2C．6D.eq\r(2)答案：B解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则由抛物线的定义得其准线方程为x＝－1.设d为点P(x，y)到准线的距离．∴x＋|PQ|＝d－1＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1，∴x＋|PQ|的最小值是|QF|－1.∵点Q(0,2eq\r(2))，∴|QF|＝3.∴x＋|PQ|的最小值是|QF|－1＝3－1＝2.故选B.7．直线x－y＋1＝0与抛物线y2＝2px的对称轴及准线相交于同一点，则该直线与抛物线的交点的横坐标为()A．－1B．1C．2D．3答案：B解析：由题意可得，直线x－y＋1＝0与抛物线y2＝2px的对称轴及准线交点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，代入x－y＋1＝0，得－eq\f(p,2)＋1＝0，即p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x.将y2＝4x与直线方程x－y＋1＝0联立可得交点的坐标为(1,2)．故选B.8．[2019·广东中山一中统测]过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．如果x1＋x2＝6,那么|AB|＝()A．6B．8C．9D．10答案：B解析：由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.∵过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，∴|AB|＝x1＋x2＋2.又∵x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8.故选B.9．[2019·重庆酉阳月考]已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P(x，y)在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝()A.eq\f(9,8)B.eq\f(3,2)C.eq\f(17,8)D.eq\f(5,2)答案：C解析：由y＝2x2，得x2＝eq\f(y,2)，则p＝eq\f(1,4).由x＝1得y＝2.由抛物线的性质，得|PF|＝2＋eq\f(p,2)＝2＋eq\f(1,8)＝eq\f(17,8).故选C.10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，P是抛物线上一点，若|PF|＝5，则△PKF的面积为()A．4B．5C．8D．10答案：A解析：通解由抛物线y2＝4x，知eq\f(p,2)＝1，则焦点F(1,0)．设点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)，y0))，则由|PF|＝5，得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)－1))2＋y\o\al(2,0))＝5，解得y0＝±4，所以S△PKF＝eq\f(1,2)×p×|y0|＝eq\f(1,2)×2×4＝4，故选A.优解由题意知抛物线的准线方程为x＝－1.过点P作PA⊥l于点A，由抛物线的定义知|PF|＝xp＋eq\f(p,2)＝xp＋1＝5，所以xp＝4，代入抛物线y2＝4x，得yp＝±4，所以S△PKF＝eq\f(1,2)×p×|yp|＝eq\f(1,2)×2×4＝4，故选A.11．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()A．±eq\f(\r(3),3)B．±eq\f(3,4)C．±1D．±eq\r(3)答案：D解析：设M(x，y)，由题意知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，由抛物线的定义，可知x＋eq\f(p,2)＝2p，故x＝eq\f(3p,2)，由y2＝2p×eq\f(3p,2)，知y＝±eq\r(3)p.当Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，\r(3)p))时，kMF＝eq\f(\r(3)p－0,\f(3p,2)－\f(p,2))＝eq\r(3)，当Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，－\r(3)p))时，kMF＝eq\f(－\r(3)p－0,\f(3p,2)－\f(p,2))＝－eq\r(3)，故kMF＝±eq\r(3).故选D.12．[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为eq\f(2,3)的直线与C交于M，N两点，则eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝()A．5B．6C．7D．8答案：D解析：由题意知直线MN的方程为y＝eq\f(2,3)(x＋2)，联立直线与抛物线的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4.))不妨设M为(1,2)，N为(4,4)．又∵抛物线焦点为F(1,0)，∴eq\o(FM,\s\up6(→))＝(0,2)，eq\o(FN,\s\up6(→))＝(3,4)．∴eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0×3＋2×4＝8.故选D.二、填空题13．抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点到直线y＝2的距离为5，则p＝________.答案：6解析：由题意得2＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝6.14．已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点．若|AB|＝eq\f(8\r(5),5)，则抛物线C2的方程为________．答案：y2＝eq\f(32,5)x解析：由题意得圆C1与抛物线C2的其中一个交点B为原点，设A(x，y)，圆C1的圆心为C(0,2)．∵|AB|＝eq\f(8\r(5),5)，∴sineq\f(1,2)∠BCA＝eq\f(\f(|AB|,2),|BC|)＝eq\f(2\r(5),5)，coseq\f(1,2)∠BCA＝eq\f(\r(5),5).∴y＝|AB|sineq\f(1,2)∠BCA＝eq\f(8\r(5),5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(16,5)，x＝|AB|·coseq\f(1,2)∠BCA＝eq\f(8\r(5),5)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(8,5)，∴点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(16,5))).∵点A在抛物线C2上，∴2p×eq\f(8,5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))2，解得p＝eq\f(16,5)，∴抛物线C2的方程为y2＝eq\f(32,5)x.15．已知焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上一点A(m，2eq\r(2))，若以A为圆心，|AF|为半径的圆A被y轴截得的弦长为2eq\r(5)，则m＝________.答案：2解析：因为圆A被y轴截得的弦长为2eq\r(5)，所以eq\r(m2＋5)＝|AF|＝m＋eq\f(p,2)①，又A(m,2eq\r(2))在抛物线上，故8＝2pm②由①与②可得p＝2，m＝2.16．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则eq\f(|PF|,|PA|)的最小值是________．答案：eq\f(\r(2),2)解析：根据抛物线