高中数学单元质量评估二含解析人教A版选修4-

PAGE7-单元质量评估(二)(第二讲)(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a>b>c>0,A=a2ab2bc2c,B=ab+cbc+aca+b,则A与B的大小关系是()A.A>B B.A<BC.A=B D.不确定【解析】选A.因为a>b>c>0,所以A>0,B>0,所以AB=aaaabbbbcccc=ab因为a>b>0,所以ab>1,a-b所以aba-b>1,同理ac所以AB2.若实数x,y适合不等式xy>1,x+y≥-2,则()A.x>0,y>0 B.x<0,y<0C.x>0,y<0 D.x<0,y>0【解析】选A.x,y异号时,显然与xy>1矛盾,所以可排除C,D.假设x<0,y<0,则x<1y所以x+y<y+1y≤-2与x+y≥-2矛盾,故假设不成立.又xy≠3.(2016·威海高二检测)使不等式3+8>1+a成立的正整数a的最大值是()A.10 B.11 C.12 D.13【解析】选C.用分析法可证a=12时不等式成立,a=13时不等式不成立.4.设a>0,b>0,a+b=1,M=1a+1b+A.M=8 B.M≥8C.M<8 D.M≤8【解析】选B.因为a>0,b>0,a+b=1,所以1=a+b≥2ab,所以ab≤12,所以所以1a+1b+1ab=(a+b)1a+1b+1所以1a+1b+1ab≥当且仅当a=b=125.(2016·石家庄高二检测)已知a>b,则不等式①a2>b2;②1a<1b;③1a-bA.0 B.1 C.2 D.3【解析】选D.因为a>b,①a2-b2=(a-b)(a+b)符号不确定,即a2>b2不一定成立;②1a-1b=b-aab符号不确定,即1a<1b不一定成立;③1a-b-16.已知△ABC中,∠C=90°,则a+bA.(0,2) B.0C.1,2【解析】选C.因为∠C=90°,所以c2=a2+b2,即c=a2所以1<a+bc=a+ba27.若x,y,a∈R+,且x+y≤ax+yA.22 B.2 C.1 D.【解题指南】根据x2+y22≥x+y2得到x【解析】选B.因为x2+y2222(x+y),所以x+y≥22(x而x+y≤ax+y即x+y≥1a(x+y)恒成立,得1a即a≥2.8.(2016·济南高二检测)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc>0,则1a+1b+A.一定是正数 B.一定是负数C.可能是0 D.正负不能确定【解析】选B.因为实数a,b,c满足a+b+c=0,abc>0,不妨设a>b>c,则a>0>b>c,1a+1b+1c==bc-二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2016·菏泽高二检测)已知a>0,b>0,若P是a,b的等差中项,Q是a,b的正的等比中项,1R是1a,1b【解析】由已知得P=a+b2,Q=1R=12所以R=2aba+b;所以R≤Q答案:R≤Q≤P10.若T1=2sm+n,T2=s(m+n)2mn,则当s,m,n∈R+时,T1与T【解析】因为2sm+n-s(m+n)2mn=s·4nm-(m+n)22mn(m+n)=答案:T1≤T211.(2016·湛江高二检测)若函数a,b满足a+b=1,则aa+1+bb+1的最大值是【解析】aa+1+bb+1=a=2-3ab+2,则a+b=1≥2ab知ab≤所以aa+1+bb+1=2-3ab+2≤2-3当且仅当a=b=12答案:212.(2016·太原高二检测)已知a>b>c,且1a-b+1b-c≥ma-c【解析】因为a>b>c,所以a-b,b-c,a-c均为正数,(a-c)1a-b+=b-ca-b+a-b于是1a-b+1b-c≥所以m≤4.答案:4三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)设a,b,c为三角形的三边,求证:ab+c-a+ba+c-b+c【证明】设x=b+c-a,y=a+c-b,z=a+b-c,则有a+b+c=x+y+z,a=12(y+z),b=1c=12(x+y).此时,原不等式等价于y+z2x+x+z而y+z2x+x+z1212所以原不等式成立.14.(10分)已知x,y∈R,且x<1,y<1,求证:11-x2+1【证明】因为x<1,y<1,所以11-x2所以11-x2+1故要证明结论成立,只需证2(1-x2即证1-xy≥(1-因为(y-x)2≥0,有-2xy≥-x2-y2,所以(1-xy)2≥(1-x2)(1-y2),所以1-xy≥(1-所以不等式成立.15.(10分)(2016·莱芜高二检测)已知函数f(x)=tanx,x∈0,π2.若x1,x2∈0,π2且x1≠x2.求证:12【证明】要证12[f(x1)+f(x2)]>fx即证:12(tanx1+tanx2)>tanx只需证明12sinx只需证明sin(x1由于x1,x2∈0,π2,故x1+x2∈所以cosx1cosx2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0.故只需证明1+cos(x1+x2)>2cosx1cosx2.即证1+cosx1cosx2-sinx1sinx2>2cosx1cosx2.即证cos(x1-x2)<1.由于x1,x2∈0,π2且x1≠x2因此12[f(x1)+f(x2)]>fx16.(10分)(2016·盐城高二检测)已知x1,x2均为正数,求证:1+x1【解题指南】直接证明不易找到切入点,可采用分析法或反证法完成证明.【证明】假设1+x1两边平方得:(1+1+x1即(1+x12)(1+再两边平方得1+x12+x22+x12x即x12+x22<2x这与x12+x22≥2x17.(10分)(2015·湖南高考)设a>0,b>0,且a+b=1a+1(1)a+b≥2.(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.【解题指南】(1)将已知条件中的式子可等价变形为ab=1,再由基本不等式即可得证.(2)利用反证法,假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,可求得0<a<1,0<b<1,从而与ab=1矛盾,即可得证.【证明】由a+b=1a+1b=(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2ab=2,即a+b≥(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1,同理0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾,故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.18.(10分)(2015·全国卷Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若ab>cd,则a+b>c+d.(2)a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件.【解题指南】(1)由a+b=c+d及ab>cd,可证明(a+b)2>(c+d)2,开方即得a+b>c+d.(2)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.【证明】(1)因为(a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd由题设a+b=c+d,ab>cd得(a+b)2>(c+d)2.因此a+b>c+d.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,a,b,c,d均为正数