专题06 基本初等函数（教师版）

6/19专题06基本初等函数考点20指数与指数函数1．（2020北京卷6】已知函数，则不等式的解集是 （）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式化为在同一直角坐标系下作出y=2x，y=x+1的图象（如图），得不等式的解集是，故选C．2．(2018全国卷Ⅱ)函数的图像大致为【答案】B【解析】当时，因为，所以此时，故排除A．D；又，故排除C，选B．3．（2017新课标Ⅰ）设为正数，且QUOTE，则A．

B．

C．

D．【答案】D【解析】设，因为为正数，所以，则，，，所以，则，排除A、B；只需比较与，，则，选D．4．（2016年全国I卷）函数在[–2，2]的图像大致为A．B．C．D．【答案】D【解析】∵是偶函数，设，则，所以，所以排除A，B；当时，，所以，又，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以在有，所以在存在零点，所以函数在单调递减，在单调递增，排除C，故选D．5．（2017北京）已知函数，则A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】，得为奇函数，，所以在R上是增函数．选A．6．（2015四川）设都是不等于1的正数，则“”是“”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由指数函数的性质知，若，则，由对数函数的性质，得；反之，取，，显然有，此时，于是，所以“”是的充分不必要条件，选B．7．（2015山东）设函数，则满足的的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】由可知，则或，解得．8．（2014安徽）设，，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，，所以．9．（2014浙江）在同意直角坐标系中，函数的图像可能是【答案】D【解析】当时，函数单调递增，函数单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C错；当时，函数单调递增，函数单调递减，且过点(1，0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知C错，因此选D．10．（2012天津）已知，，，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，，所以，选A．11．（2015江苏）不等式的解集为_______．【答案】【解析】由题意得：，解集为．12．（2012山东）若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则a＝．【答案】【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意．若，则，故，检验知符合题意．考点21对数与对数函数1．（2020全国Ⅰ文8）设，则 （）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，∴，∴有，故选B．2．（2020全国Ⅰ理12）若，则 （）A． B． C． D．【答案】B【思路导引】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案．【解析】设，则为增函数，∵，∴，∴，∴．∴，当时，，此时，有；当时，，此时，有，∴C、D错误，故选B．3．（2020全国Ⅱ理9）设函数，则 （）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确．故选D．4．（2020全国Ⅱ文12理11）若，则 （）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定，故选A．5．（2020全国Ⅲ文理4）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logisic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（） （）A．B．C．D．【答案】C【解析】，∴，则，∴，解得，故选C．6．（2020全国Ⅲ文10）设，则 （）A．B．C．D．【答案】A【思路导引】分别将a，b改写为，，再利用单调性比较即可．【解析】因为，，所以，故选：A．7．（2020全国Ⅲ理12）已知．设，则 （）A．B．C．D．【答案】A【思路导引】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系．【解析】解法一：由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得．综上所述，．故选A．解法二：易知，由，知．∵，，∴，，即，又∵，，∴，即．综上所述：，故选A．8．（2020天津6）设，则的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【思路导引】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系．【解析】因为，，，所以，故选D．9．（2019全国Ⅰ理3）已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，可知，，，所以最大，，都小于1，因为，，而，所以，即，所以，故选A．10．(2018全国卷Ⅲ)设，，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，由得，所以，所以，得．又，，所以，所以．故选B．11．(2018全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为，则其关于直线的对称点的坐标为，由对称性知点在函数的图象上，所以，故选B．12．(2018全国卷Ⅰ)已知函数，若，则=________．【答案】【解析】由得，，所以，即．13．(2018全国卷Ⅲ)已知函数，，则___．【答案】【解析】由，得，所以．14．(2018全国卷Ⅰ)已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】函数存在2个零点，即关于的方程有2个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，，解得，故选C．15．（2017新课标Ⅰ）已知函数，则A．在单调递增B．在单调递减C．的图像关于直线对称D．的图像关于点对称【答案】C【解析】由，知，在上单调递增，在上单调递减，排除A、B；又，所以的图象关于对称，C正确．16．（2017新课标Ⅱ）函数的单调递增区间是A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得或，设，则，关于单调递减，，关于单调递增，由对数函数的性质，可知单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为．选D．17．（2016年全国II卷）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是A．y=xB．y=lgxC．y=2xD．【答案】D【解析】函数的定义域为，又，所以函数的值域为，故选D．18．（2015新课标Ⅱ）设函数，则A．3B．6C．9D．12【答案】C【解析】由于，，所以，故选C．19．（2015新课标1）设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则A．B．C．D．【答案】C【解析】设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知知（）在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得，故选C．20．（2013新课标）设，则A．B．C．D．【答案】D【解析】，由下图可知D正确．21．（2012新课标）当时，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由指数函数与对数函数的图像知，解得，故选B．22．（2019天津理6）已知，，，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，可知，．，所以最大，，都小于1．因为，，而，所以，即，所以，故选A．23．(2018天津)已知，，，则a，b，c的大小关系为A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，．所以，故选D．24．（2017天津）已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意为偶函数，且在上单调递增，所以，又，，所以，故，选C．25．（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（参考数据：≈0．48）A．B．

C．D．【答案】D【解析】设，两边取对数得，，所以，即最接近，选D．26．（2015北京）如图，函数的图像为折线，则不等式的解集是A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，函数的图象可知，的解集是．27．（2015天津）已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数为偶函数，所以，即，所以，，，所以，故选C．28．（2014山东）已知函数（为常数，其中）的图象如图，则下列结论成立的是A． B．C． D．【答案】D【解析】由图象可知，当时，，得．29．（2013陕西）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是A．B．C．D．【答案】B【解析】，，≠1．考察对数2个公式：，对选项A：，显然与第二个公式不符，所以为假．对选项B：，显然与第二个公式一致，所以为真．对选项C：，显然与第一个公式不符，所以为假．对选项D：，同样与第一个公式不符，所以为假．所以选B．30．（2013浙江）已知为正实数，则A．B．C．D．【答案】D【解析】取特殊值即可，如取．31．（2013天津）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间单调递增．若实数a满足，则a的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且，所以，即，因为函数在区间单调递增，所以，即，所以，解得，即a的取值范围是，选C．32．（2012安徽）=A．B．C．2D．4【答案】D【解析】．33．（2011北京）如果那么A．B．C．D．【答案】D【解析】根据对数函数的性质得．34．（2011安徽）若点在图像上，，则下列点也在此图像上的是A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，所以点在函数图象上．35．（2011辽宁）设函数，则满足的的取值范围是A．，2]B．[0，2]C．[1，+）D．[0，+）【答案】D【解析】当时，解得，所以；当时，，解得，所以，综上可知．36．(2018江苏)函数的定义域为．【答案】【解析】要使函数有意义，则，即，则函数的定义域是．37．(2016年浙江)已知，若，，则=，=．【答案】【解析】设，则，因为，因此（2015浙江）若，则_______．【答案】【解析】∵，∴，∴．（2014天津）函数的单调递减区间是________．【答案】【解析】，知单调递减区间是．（2014重庆）函数的最小值为_________．【答案】【解析】．当且仅当，即时等号成立．（2013四川）的值是____________．【答案】1【解析】．（2012北京）已知函数，若，则．【答案】2【解析】由，得，于是．43．（2011天津）已知，则的最小值为__________．【答案】18【解析】，∵且，则=．当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为18．44．（2011江苏）函数的单调增区间是__________．【答案】【解析】由题意知，函数的定义域为，所以该函数的单调增区间是．考点22二次函数与幂函数1．（2020江苏7）已知是奇函数，当时，，则的值是．【答案】【解析】是奇函数，当时，，则．2．（2020浙江9）已知且，若在上恒成立，则